Suite un+1=f(un) Limite Théorème du point fixe Continuité

Conseils

Suite

$u_{n+1}=f(u_n)$ ♦ Limite ♦ Théorème du point fixe

Cours Trouver la limite d'une suite convergente (Comprendre le cours + un exemple en 10 min 😜)

Exercice 1: suite convergente - théorème de la limite monotone - suite arithmético-géométrique

$(u_n)$ est la suite définie par

$u_0=18$ et pour tout entier naturel

$n$ par

$u_{n+1}=0,2~\!u_n+4$ .

Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ : $5\leqslant u_{n+1}\leqslant u_n$ .
En déduire que $(u_n)$ converge vers un réel $\ell$ .
Déterminer la valeur de $\ell$ .

Exercice 2: suite convergente - théorème de la limite monotone - suite arithmético-géométrique

$(u_n)$ est la suite définie par

$u_0=2$ et pour tout entier naturel

$n$ par

$u_{n+1}=\dfrac 12 u_n+3$ .

Démontrer par récurrence que $(u_n)$ est majorée par $6$ .
Déterminer le sens de variation de $(u_n)$ .
En déduire que $(u_n)$ converge vers un réel $\ell$ .
Déterminer la valeur de $\ell$ .

Exercice 3: suite convergente - théorème de la limite monotone - suite arithmético-géométrique

$(u_n)$ est la suite définie par

$u_0=3$ et pour tout entier naturel

$n$ par

$u_{n+1}=0,3~\!u_n+1$ .

Conjecturer à l'aide de la calculatrice:
- le sens de variation de $(u_n)$ .
- un minorant de $(u_n)$ .
Démontrer ces conjectures par récurrence.
En déduire que $(u_n)$ converge vers un réel $\ell$ .
Déterminer la valeur de $\ell$ .

Exercice 4: suite convergente - théorème de la limite monotone - suite arithmético-géométrique

$(u_n)$ est la suite définie par

$u_0=0$ et pour tout entier naturel

$n$ ,

$\displaystyle u_{n+1}=\frac 12 u_n+1$ .

Montrer que pour tout entier naturel $n$ , $u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant 2$ .
En déduire que $(u_n)$ est convergente. On note $\ell$ sa limite.
Déterminer la valeur de $\ell$ .

Exercice 5: suite convergente - Théorème du point fixe limite Un+1=f(Un)

$(u_n)$ est la suite définie par

$u_0=1$ et pour tout entier naturel

$n$ par

$u_{n+1}=u_n\times e^{-u_n}$ .

Démontrer par récurrence que tous les termes de la suite sont strictement positifs.
Déterminer le sens de variation de $(u_n)$ .
En déduire que $(u_n)$ converge vers un réel $\ell$ .
Déterminer la valeur de $\ell$ .

Exercice 6: suite convergente - Théorème du point fixe - limite Un+1=f(Un) monotone

$(u_n)$ est la suite définie par

$u_0=0,4$ et pour tout entier naturel

$n$ par

$u_{n+1}=u_n-u_n^2$ .

Déterminer une fonction $f$ telle que pour tout entier naturel $n$ , $u_{n+1}=f(u_n)$ .
Dresser le tableau de variations de $f$ sur $\left[ 0~\!;\dfrac 12\right ]$ .
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ , $0\leqslant u_{n+1}\leqslant u_n\leqslant \dfrac 12$ .
En déduire que $(u_n)$ converge vers un réel $\ell$ .
Déterminer la valeur de $\ell$ .

Exercice 7: suite convergente - théorème de la limite monotone - Un+1=f(Un) représentation graphique

$(v_n)$ est la suite définie par

$v_0=0$ et pour tout entier naturel

$n$ ,

$v_{n+1}=\sqrt{3v_n+4}$ .

Déterminer une fonction $f$ définie sur $\left[-\dfrac 43;+\infty\right[$ telle que pour tout entier naturel $n$ , $v_{n+1}=f(v_n)$ .
Voici ci-dessous, dans un repère orthonormé, la courbe de $f$ et de la droite d'équation $y=x$ :

Expliquer comment représenter $v_1$ , $v_2$ puis $v_3$ sur l'axe des abscisses.
Conjecturer le sens de variation, un majorant et un minorant de la suite $(v_n)$ .
Démontrer par récurrence les conjectures de la question 3.
En déduire que la suite $(v_n)$ est convergente et déterminer algébriquement sa limite $\ell$ .

Exercice 8: suite convergente - théorème de la limite monotone

On considère la suite

$(u_n)$ définie pour tout entier naturel

$n$ par

$\left\{ \begin{array}{l} u_0=1\\ u_{n+1}=\dfrac {1}{10} u_n(20-u_n) \end{array}\right.$

Soit la fonction f définie sur [0;20] par f(x)=\dfrac {1}{10}x(20-x)
1. Étudier les variations de $f$ sur [0;20].
2. En déduire que si $x\in[0;10]$ , alors $f(x)\in [0;10]$ .
Déterminer $u_1$ , $u_2$ .
Démontrer que pour tout entier naturel $n$ , $0\leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 10$ .
En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente.
On note \ell la limite de la suite (u_n):
1. Démontrer que $\ell$ est solution de l'équation $\ell=\dfrac{1}{10}\ell (20-\ell)$ .
2. Résoudre cette équation et en déduire la valeur de $\ell$ .

Exercice 9: suite convergente - théorème de la limite monotone - suite croissante non majorée - raisonnement par l'absurde

On considère la suite

$(u_n)$ définie pour tout entier naturel

$n$ par:

$\left\{ \begin{array}{l} u_0=2\\ u_{n+1}={u_n}^2 \end{array}\right.$

Démontrer que pour tout entier naturel $n$ , $u_n\geqslant 2$ .
Démontrer que la suite $(u_n)$ est croissante.
Démontrer à l'aide d'un raisonnement par l'absurde que la suite $(u_n)$ n'est pas majorée.

Suite un+1=f(un)u_{n+1}=f(u_n) ♦ Limite ♦ Théorème du point fixe

Exercice 1: suite convergente - théorème de la limite monotone - suite arithmético-géométrique

Exercice 2: suite convergente - théorème de la limite monotone - suite arithmético-géométrique

Exercice 3: suite convergente - théorème de la limite monotone - suite arithmético-géométrique

Exercice 4: suite convergente - théorème de la limite monotone - suite arithmético-géométrique

Exercice 5: suite convergente - Théorème du point fixe limite Un+1=f(Un)

Exercice 6: suite convergente - Théorème du point fixe - limite Un+1=f(Un) monotone

Exercice 7: suite convergente - théorème de la limite monotone - Un+1=f(Un) représentation graphique

Exercice 8: suite convergente - théorème de la limite monotone

Exercice 9: suite convergente - théorème de la limite monotone - suite croissante non majorée - raisonnement par l'absurde

Suite $u_{n+1}=f(u_n)$ ♦ Limite ♦ Théorème du point fixe