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Suite $u_{n+1}=f(u_n)$ ♦ Limite ♦ Théorème du point fixe

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Suite $u_{n+1}=f(u_n)$ ♦ Limite ♦ Théorème du point fixe
Cours Trouver la limite d'une suite convergente (Comprendre le cours + un exemple en 10 min 😜)

Exercice 1: suite convergente - théorème de la limite monotone - suite arithmético-géométrique

$(u_n)$ est la suite définie par $u_0=18$ et pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1}=0,2~\!u_n+4$.
  1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$: $5\leqslant u_{n+1}\leqslant u_n$.
  2. En déduire que $(u_n)$ converge vers un réel $\ell$.
  3. Déterminer la valeur de $\ell$.

Exercice 2: suite convergente - théorème de la limite monotone - suite arithmético-géométrique

$(u_n)$ est la suite définie par $u_0=2$ et pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1}=\dfrac 12 u_n+3$.
  1. Démontrer par récurrence que $(u_n)$ est majorée par $6$.
  2. Déterminer le sens de variation de $(u_n)$.
  3. En déduire que $(u_n)$ converge vers un réel $\ell$.
  4. Déterminer la valeur de $\ell$.

Exercice 3: suite convergente - théorème de la limite monotone - suite arithmético-géométrique

$(u_n)$ est la suite définie par $u_0=3$ et pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1}=0,3~\!u_n+1$.
  1. Conjecturer à l'aide de la calculatrice:
    • le sens de variation de $(u_n)$.
    • un minorant de $(u_n)$.
  2. Démontrer ces conjectures par récurrence.
  3. En déduire que $(u_n)$ converge vers un réel $\ell$.
  4. Déterminer la valeur de $\ell$.

Exercice 4: suite convergente - théorème de la limite monotone - suite arithmético-géométrique

$(u_n)$ est la suite définie par $u_0=0$ et pour tout entier naturel $n$, $\displaystyle u_{n+1}=\frac 12 u_n+1$.
  1. Montrer que pour tout entier naturel $n$, $u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant 2$.
  2. En déduire que $(u_n)$ est convergente. On note $\ell$ sa limite.
  3. Déterminer la valeur de $\ell$.

Exercice 5: suite convergente - Théorème du point fixe limite Un+1=f(Un)

$(u_n)$ est la suite définie par $u_0=1$ et pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1}=u_n\times e^{-u_n}$.
  1. Démontrer par récurrence que tous les termes de la suite sont strictement positifs.
  2. Déterminer le sens de variation de $(u_n)$.
  3. En déduire que $(u_n)$ converge vers un réel $\ell$.
  4. Déterminer la valeur de $\ell$.

Exercice 6: suite convergente - Théorème du point fixe - limite Un+1=f(Un) monotone

$(u_n)$ est la suite définie par $u_0=0,4$ et pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1}=u_n-u_n^2$.
  1. Déterminer une fonction $f$ telle que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=f(u_n)$.
  2. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $\left[ 0~\!;\dfrac 12\right ]$.
  3. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $0\leqslant u_{n+1}\leqslant u_n\leqslant \dfrac 12$.
  4. En déduire que $(u_n)$ converge vers un réel $\ell$.
  5. Déterminer la valeur de $\ell$.

Exercice 7: suite convergente - théorème de la limite monotone - Un+1=f(Un) représentation graphique

$(v_n)$ est la suite définie par $v_0=0$ et pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1}=\sqrt{3v_n+4}$.
  1. Déterminer une fonction $f$ définie sur $\left[-\dfrac 43;+\infty\right[$ telle que pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1}=f(v_n)$.
  2. Voici ci-dessous, dans un repère orthonormé, la courbe de $f$ et de la droite d'équation $y=x$:
    Expliquer comment représenter $v_1$, $v_2$ puis $v_3$ sur l'axe des abscisses.
  3. Conjecturer le sens de variation, un majorant et un minorant de la suite $(v_n)$.
  4. Démontrer par récurrence les conjectures de la question 3.
  5. En déduire que la suite $(v_n)$ est convergente et déterminer algébriquement sa limite $\ell$.

Exercice 8: suite convergente - théorème de la limite monotone

On considère la suite \((u_n)\) définie pour tout entier naturel \(n\) par $\left\{ \begin{array}{l} u_0=1\\ u_{n+1}=\dfrac {1}{10} u_n(20-u_n) \end{array}\right.$
  1. Soit la fonction \(f\) définie sur [0;20] par $f(x)=\dfrac {1}{10}x(20-x)$
    1. Étudier les variations de \(f\) sur [0;20].
    2. En déduire que si \(x\in[0;10]\), alors \(f(x)\in [0;10]\).
  2. Déterminer \(u_1\), \(u_2\).
  3. Démontrer que pour tout entier naturel \(n\), \(0\leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 10\).
  4. En déduire que la suite \((u_n)\) est convergente.
  5. On note $\ell$ la limite de la suite \((u_n)\):
    1. Démontrer que $\ell$ est solution de l'équation $\ell=\dfrac{1}{10}\ell (20-\ell)$.
    2. Résoudre cette équation et en déduire la valeur de $\ell$.

Exercice 9: suite convergente - théorème de la limite monotone - suite croissante non majorée - raisonnement par l'absurde

On considère la suite \((u_n)\) définie pour tout entier naturel \(n\) par: $\left\{ \begin{array}{l} u_0=2\\ u_{n+1}={u_n}^2 \end{array}\right.$
  1. Démontrer que pour tout entier naturel \(n\), \(u_n\geqslant 2\).
  2. Démontrer que la suite \((u_n)\) est croissante.
  3. Démontrer à l'aide d'un raisonnement par l'absurde que la suite \((u_n)\) n'est pas majorée.

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