Utiliser une suite auxiliaire arithmétique pour étudier une autre
suite
On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0$=1 et pour tout entier naturel $n$,
$u_{n+1}=\sqrt{3+{u_n}^2}$.
On admet que la suite $(u_n)$ a tous ses termes positifs.
Démontrer que la suite $(u_n)$ n'est ni
arithmétique, ni géométrique.
Pour tout entier naturel $n$, on pose:
$v_n=u_n^2$.
Démontrer que $(v_n)$ est arithmétique. Préciser le premier terme et la raison.
Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
En déduire l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.
Exercice
2:
Utiliser une suite auxiliaire arithmétique pour étudier une autre
suite
On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 1$ et pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1} =
\dfrac{u_n}{1+2u_n}$.
Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
On admet que pour tout entier naturel $n$, $u_n\neq 0$. On définit la suite $(v_n)$ pour
tout entier naturel $n$ par $v_n = \dfrac{1}{u_n}$.
Calculer $v_0$, $v_1$ et $v_2$.
Démontrer que la suite $(v_n)$ est arithmétique.
En déduire l'expression de $v_n$ en fonction de $n$ pour tout entier naturel
$n$ puis
celle de $u_n$.
Exercice
3:
Utiliser une suite auxiliaire arithmétique pour étudier une autre
suite
On considère la suite $(u_n)_{n \in\mathbb{N}}$ définie par $u_{n+1} = u_n + 2n - 1 $ et $u_0 = 3$.
Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
On pose pour tout entier naturel $n$, $v_n = u_n - n^2$.
Calculer $v_0$, $v_1$, $v_2$ et $v_3$.
Montrer que la suite $(v_n)_{n \in\mathbb{N}}$ est arithmétique.
Exprimer $v_n$ en fonction de $n$ pour tout entier naturel $n$.
En déduire $u_n$ en fonction de $n$ pour tout entier naturel $n$.
Exercice
4:
Somme et produit de $u_0$ et de $u_1$ d'une suite arithmétique
La suite $(u_n)$ est une suite arithmétique de raison négative.
On sait que la somme des deux premiers termes vaut $\dfrac{5}{6}$. Le produit des deux premiers
termes vaut $\dfrac{1}{16}$.
Déterminer pour tout entier naturel $n$, $u_n$ en fonction de $n$.
Exercice
5:
Somme et produit de $u_0$, $u_1$ et $u_2$ d'une suite arithmétique
La suite $(u_n)$ est une suite arithmétique de raison négative. On sait que la somme des trois
premiers termes
vaut $81$ et que leur produit vaut 18 360.
On note $r$ la raison de cette suite. Exprimer $u_0$ et $u_2$ en fonction de $u_1$ et
$r$.
Montrer que l'on a :
$\begin{cases}
3u_1 & = 81\\
u_1^3 - r^2u_1 &= 18360
\end{cases}$
En déduire la valeur de $u_1$ et de $r$.
Calculer $u_{40}$.
Exercice
6:
suite arithmétique - Retrouver $u_0$ et $r$ sans indication
La suite $(u_n)$ est une suite arithmétique telle que $u_4 = 1$ et $ \dfrac{1}{u_1u_2} + \dfrac{1}{u_2u_3} =
2$.
Déterminer $u_0$ et la raison $r$.
Exercice
7:
suite arithmétique - Somme des entiers impairs
Soit $n$ un entier naturel non nul.
Démontrer que la somme des $n$ premiers entiers naturels impairs est un carré parfait.
Exercice
8:
nombres de poignées de mains dans une réunion
Dans une réunion, $25$ personnes sont présentes et elles se sont toutes serré la main pour se saluer.
Combien de poignées de mains ont été échangées ?
Dans une autre réunion, $496$ poignées de mains ont été échangées. Sachant que tout le monde s'est salué,
combien de personnes étaient présentes à cette réunion ?
Ce site ne convient pas aux enfants de moins de 36 mois, sauf s'ils insistent vraiment.
Ne pas dépasser la dose prescrite.
Posologie: 1 fois/jour la semaine avant le contrôle.
L'efficacité du traitement dépend d'une prise régulière.
Effet secondaire: Peut procurer du plaisir surtout en cas de réussite !
En cas de persistance des difficultés, arrêter le traitement pendant une nuit, puis reprendre le
lendemain.
