Somme d'une suite arithmétique Première spé : cours, formule et exercices

Conseils

Somme des termes d'une suite arithmétique

Dans cette page, tu vas apprendre à calculer la somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique.

👉 connaître la formule de la somme ;
👉 repérer le premier terme et le dernier terme de la somme ;
👉 déterminer correctement le nombre de termes car c'est souvent là que l'on se trompe ;
👉 calculer une somme de la forme $u_m+\cdots+u_n$.

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👉 Option 1 : Commence par un exercice guidé en vidéo.

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👉 Option 2 : Regarde d'abord le cours complet.

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🎯 La formule à connaître

Pour additionner des termes consécutifs d'une suite arithmétique :

\[ \boldsymbol{ \color{black}{\text{Somme}=} \color{green}{\text{Nombre de termes}} \color{black}{\times \dfrac{ \color{blue}{\text{Premier}} \color{black}{+} \color{red}{\text{Dernier}} }{\color{black}{2}}} } \]

Premier désigne le premier terme de la somme.
Dernier désigne le dernier terme de la somme.
Nombre de termes désigne le nombre de termes présents dans la somme.

⚠️ Attention : pour trouver le nombre de termes, il ne faut pas oublier de rajouter 1.

Par exemple, dans la somme \[ u_{\color{blue}{3}}+u_4+\cdots+u_{\color{red}{10}}, \] il y a \[ \boldsymbol{ \color{red}{10} \color{black}{-} \color{blue}{3} \color{orange}{+1} \color{black}{=8} } \] termes !

🎯 Version mathématique de cette formule

Si $(u_n)$ est une suite arithmétique :

\[ \boldsymbol{ \color{black}{u_m+\cdots+u_n=} \color{green}{\text{Nombre de termes}} \color{black}{\times} \dfrac{ \color{blue}{u_m} \color{black}{+} \color{red}{u_n} }{\color{black}{2}} } \]

👉 Premier terme : $ \color{blue}{u_m} $
👉 Dernier terme : $ \color{red}{u_n} $
👉 Nombre de termes : \[ \boldsymbol{ \color{red}{n} \color{black}{-} \color{blue}{m} \color{orange}{+1} } \] 💡 Attention au $+1$ !

🎯 La somme $1+2+\cdots+n$

Pour tout entier naturel non nul $n$ :

\[ \boldsymbol{ \color{black}{1+2+\cdots+n=} \dfrac{ \color{green}{n} \color{black}{(} \color{blue}{1} \color{black}{+} \color{red}{n} \color{black}{)} }{ \color{black}{2} } } \]

C'est un cas particulier de la formule générale :

Nombre de termes : $\color{green}{n}$
Premier : $\color{blue}{1}$
Dernier : $\color{red}{n}$

🎯 Exemple : $5+8+11+\cdots+56$

On passe d'un terme au suivant en ajoutant $3$ : ce sont donc des termes consécutifs d'une suite arithmétique de raison $3$.

👉 Premier terme : $\color{blue}{u_0=5}$
👉 Dernier terme : $\color{red}{u_n=56}$

Pour trouver $n$ (le rang du dernier terme de la somme), on résout : \[ 5+3n=56. \] On obtient $n=17$.

Donc $56$ correspond à $u_{17}$. Donc dans cette somme, il y a \[ \boldsymbol{ \color{red}{17} \color{black}{-} \color{blue}{0} \color{orange}{+1} \color{black}{={\color{green}{18}}\text{ termes}} } \]
Ainsi : \[ \boldsymbol{ \color{black}{5+8+11+\cdots+56=} \color{green}{18} \color{black}{\times} \dfrac{ \color{blue}{5} \color{black}{+} \color{red}{56} }{ \color{black}{2} } \color{black}{=549} } \]

🎯 L'essentiel sur les sommes

📌 À retenir :

👉 1. Repérer le premier terme de la somme.

👉 2. Repérer le dernier terme de la somme.

👉 3. Déterminer le nombre de termes.

💡 Pour cela, il faut parfois résoudre une équation pour trouver le rang du dernier terme de la somme, comme dans l'exemple $5+8+11+\cdots+56$, où l'on résout $5+3n=56$.

👉 4. Appliquer :

💡 Le piège classique est de se tromper dans le nombre de termes.

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