Somme d'une suite géométrique Première spé : cours, formule et exercices

Conseils

Somme des termes d'une suite géométrique

Dans cette page, tu vas apprendre à calculer la somme de termes consécutifs d'une suite géométrique.

👉 connaître la formule de la somme ;
👉 repérer le premier terme de la somme ;
👉 déterminer correctement le nombre de termes : c'est souvent là que l'on se trompe ;
👉 calculer une somme de la forme $u_m+\cdots+u_n$.

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🎯 La formule à connaître

Pour additionner des termes consécutifs d'une suite géométrique de raison $q\neq1$ :

\[ \boldsymbol{ \color{black}{\text{Somme}=} \color{blue}{\text{Premier}} \color{black}{\times} \dfrac{ \color{black}{1-q^{\color{green}{\text{Nombre de termes}}}} }{ \color{black}{1-q} } } \]

Premier désigne le premier terme de la somme.
Nombre de termes désigne le nombre de termes présents dans la somme.

⚠️ Attention : pour trouver le nombre de termes, il ne faut pas oublier de rajouter 1.

Par exemple, dans la somme \[ u_{\color{blue}{3}}+u_4+\cdots+u_{10}, \] il y a \[ \boldsymbol{ \color{black}{10-} \color{blue}{3} \color{orange}{+1} \color{black}{=} \color{green}{8} } \] termes.

🎯 Écriture mathématique de cette formule

Si $(u_n)$ est une suite géométrique de raison $q\neq1$ :

\[ \boldsymbol{ \color{black}{u_m+\cdots+u_n=} \color{blue}{u_m} \color{black}{\times} \dfrac{ \color{black}{1-q^{\color{green}{n-m+1}}} }{ \color{black}{1-q} } } \]

👉 Premier terme : $\color{blue}{u_m}$
👉 Nombre de termes : \[ \boldsymbol{ \color{black}{n-m} \color{orange}{+1} } \] 💡 Attention au $+1$ !

🎯 La somme $1+q+\cdots+q^n$

Pour $q\neq1$ :

\[ \boldsymbol{ \color{black}{1+q+\cdots+q^n=} \dfrac{ \color{black}{1-q^{\color{green}{n+1}}} }{ \color{black}{1-q} } } \]

C'est un cas particulier de la formule générale :

Premier : $\color{blue}{1}$
Nombre de termes : $\color{green}{n+1}$

🎯 Exemple : $7+14+28+\cdots+114\,688$

On passe d'un terme au suivant en multipliant par $2$ : ce sont donc des termes consécutifs d'une suite géométrique de raison $2$.

👉 Premier terme : $\color{blue}{u_0=7}$
👉 Dernier terme : $u_n=114\,688$

Pour trouver $n$ (le rang du dernier terme de la somme), on résout : \[ 7\times2^n=114\,688. \] On obtient : \[ 2^n=16\,384=2^{14}, \] donc $n=14$.

Ainsi, $114\,688=u_{14}$. Dans cette somme, il y a donc \[ \boldsymbol{ \color{black}{14-0} \color{orange}{+1} \color{black}{=} \color{green}{15} \color{black}{\text{ termes}} } \]
On applique alors la formule : \[ \boldsymbol{ \color{black}{7+14+28+\cdots+114\,688=} \color{blue}{7} \color{black}{\times} \dfrac{ \color{black}{1-2^{\color{green}{15}}} }{ \color{black}{1-2} } \color{black}{=229\,369} } \]

🎯 L'essentiel sur les sommes

📌 À retenir :

👉 1. Vérifier que les termes sont consécutifs dans une suite géométrique et repérer sa raison $q$.

👉 2. Repérer le premier terme de la somme.

👉 3. Déterminer le nombre de termes.

💡 Pour cela, il faut parfois résoudre une équation pour trouver le rang du dernier terme, comme dans l'exemple $7+14+28+\cdots+114\,688$, où l'on résout $7\times2^n=114\,688$.

👉 4. Appliquer :

\[ \boldsymbol{ \color{black}{\text{Somme}=} \color{blue}{\text{Premier}} \color{black}{\times} \dfrac{ \color{black}{1-q^{\color{green}{\text{Nombre de termes}}}} }{ \color{black}{1-q} } } \]

💡 Le piège classique est de se tromper dans le nombre de termes.

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Exercice 1: Somme de termes d'une suite géométrique - Première spécialité maths S - ES - STI

Calculer les sommes suivantes:

${\rm S}=1+3+3^2+...+3^{8}$
${\rm S}=4^3+4^4+4^5+...+4^{8}$

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🎯 La somme \(1+q+\cdots+q^n\)

🎯 Exemple : \(7+14+28+\cdots+114\,688\)

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