Somme des termes consécutifs d'une suite géométrique

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Somme des termes d'une suite géométrique

Exercice type

pour savoir calculer la somme des termes d'une suite géométrique

(en 5 min!)

Cours complet

Comment calculer une somme de termes consécutifs d'une suite géométrique

• $1+q+...+q^n=$

• $u_m+...+u_n=$

• Exemple $7+14+28+...+114~688=$

$7+14+28+...+114~688=7 \times\dfrac{1-2^{15}}{1-2}=229~369$

Dans cette somme, on passe d'un terme au suivant en multipliant par $2$. Il s'agit donc des termes consécutifs d'une suite géométrique de raison $2$.
• Le premier terme $u_0$ vaut $7$.
• Le dernier terme $u_n$ vaut $114~688$.
Pour savoir combien il y a de termes dans cette somme, on résout:
$7\times 2^n=114~688$

$2^n=16~384$
On calcule $2^n$ avec sa calculatrice en faisant varier $n$ jusqu'à obtenir $16~384$.

On trouve $2^{14}=16~384$

Il y a donc 15 termes dans cette somme

Exercice 1: Somme de termes d'une suite géométrique - Première spécialité maths S - ES - STI

Calculer les sommes suivantes:

${\rm S}=1+3+3^2+...+3^{8}$
${\rm S}=4^3+4^4+4^5+...+4^{8}$

Exercice 2: Somme de termes d'une suite géométrique - Première spécialité maths S - ES - STI

$(u_n)$ est une suite géométrique de raison $5$ et de premier terme $u_0=2$.
Calculer la somme ${\rm S}=u_2+...+u_{7}$

Exercice 3: Somme & suite géométrique - Première spécialité maths S - ES - STI

Calculer les sommes suivantes:

${\rm S}=3+6+12+24+...+98~304$
${\rm S}=\dfrac 12-\dfrac 14+\dfrac 18-\dfrac 1{16}-\dfrac 1{256}$

Exercice 4: Calculer des sommes de suite arithmétique ou géométrique - Première spécialité maths S - ES - STI

Calculer les sommes suivantes. Le résultat final sera donné à l'aide de la calculatrice:

$S_1 = 11 + 22 + 33 + 44 + \cdots + {9999}$
$S_2 = 1 - 2 + 4 - 8 + \cdots - 2^{27}$
$S_3 = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - 8 + \cdots - 1000$

Exercice 5: Somme de suite géométrique & intérêt • Première spécialité maths S - ES - STI

Une entreprise met en vente un produit qui connaît un succès grandissant. La première semaine de mise sur le marché de son produit lui a apporté 1000 € de recette. Chaque semaine, ses recettes augmentent de 5% par rapport à la semaine précédente. Quel est le montant total des recettes perçues en 30 semaines ?
On arrondira au centime près.

Exercice 6: Somme de suite géométrique • Première spécialité maths S - ES - STI

Soit $n$ un entier naturel, on pose : $S_n = 1 + \dfrac{2}{3} + \left(\dfrac{2}{3}\right)^2 + \cdots + \left(\dfrac{2}{3}\right)^n$.

Calculer $S_0$, $S_1$ et $S_2$.
Montrer que la suite $(S_n)$ est strictement croissante.
Montrer que pour tout entier naturel $n$, on a : $S_n = 3\left(1 - \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n+1}\right)$.
En déduire que la suite $(S_n)$ converge et donner sa limite.

Exercice 7: Somme de terme d'une suite géométrique et jeu d'échec - Première spécialité maths S - ES - STI

D'après la légende, c'est en Inde que le jeu d'échecs a été inventé, pour le roi Belkib par le sage Sissa.
Le roi enchanté, décida de récompenser Sissa.
« - Que veux-tu ? » demanda alors le roi au sage.
«Voyez ce plateau de jeu, offrez moi un grain de riz sur la première case, puis 2 grains de riz sur la seconde case, 4 grains sur la troisième, 8 sur la quatrième, etc… » répliqua Sissa.
Le roi accepta sans hésitation, persuadé de s'en tirer à bon compte.

Déterminer le nombre de grain de riz que le roi doit donner, sachant que le plateau comporte 64 cases.
Sachant qu'un kilogramme de riz compte 4000 grains de riz, combien Sissa doit-il recevoir de tonne de riz?
Trouver sur internet, la production mondiale de riz et commenter ce résultat.

Exercice 8: Somme de suite géométrique et aire de cercle - Première spécialité maths S - ES - STI

Sur la figure ci-dessous, le premier cercle a un rayon de 2 cm. Chaque cercle suivant a un rayon égal à la moitié du rayon du cercle précédent. Soit $A_n$ l'aire du $n$-ième cercle.

Exprimer $A_{n+1}$ en fonction de $A_n$.
Déterminer l'aire formée par ces cercles lorsqu'on continue cette construction indéfiniment.

Exercice 9: Somme de suite géométrique et aire - Première spécialité maths S - ES - STI

On partage un carré de 1 cm de côté en quatre carrés de même taille. On noircit le carré supérieur gauche. On recommence l'opération avec le carré inférieur droit.

Déterminer l'aire de la partie noircie lorsqu'on répète indéfiniment la construction.

Exercice 10: Somme de suite arithmétique et géométrique - Première spécialité maths S - ES - STI

Soit la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n=3n+2-0,8^n$.
Calculer la somme $u_0+u_1+...+u_{20}$.

Exercice 11: Somme de suite géométrique et fractale - Aire du flocon de von Koch - Première spécialité maths S - ES - STI

On rappelle que pour tout entier naturel $n$, la figure $\mathscr{F}_n$ a un nombre de côtés égal à $c_n = 3 \times 4^n$, que ces côtés ont pour longueur $l_n = \dfrac{1}{3^n}$ et on note $A_n$ l'aire de $\mathscr{F}_n$.

Montrer que l'aire d'un triangle équilatéral de côté $a$ est égale à $\dfrac{\sqrt3}{4}a^2$.
Montrer que pour tout entier naturel $n$, $A_{n+1} = A_n + \dfrac{\sqrt3}{12}\left(\dfrac{4}{9}\right)^n$.
En déduire que pour tout entier naturel $n$, $A_n = \dfrac{\sqrt3}{4} + \dfrac{3\sqrt{3}}{20}\left(1-\left(\dfrac{4}{9}\right)^n\right)$.
Le flocon de von Koch est la figure obtenue quand $n$ tend vers l'infini. Que dire de son aire ?

Exercice 12: Somme de terme d'une suite géométrique : Démonstration de la formule - Première spécialité maths S - ES - STI

Compléter sans justifier l'égalité $1+q+q^2+q^3+....+q^n=...$
Préciser la condition de validité de cette formule.
On considère une suite géométrique $(u_n)$ de raison $q\ne 1$.
Démontrer que pour tous entiers naturels $m$ et $n$ avec $m\leqslant n$: $\boldsymbol{u_m+...+u_n=u_m\times \dfrac{1-q^{n-m+1}}{1-q}}$
A l'aide du résultat précédent, calculer la somme: $16+8+4+2+1+\dfrac12+...+\dfrac{1}{4096}$