Somme d'une suite géométrique Première spé : cours, formule et exercices

Conseils

Somme des termes d'une suite géométrique

Dans cette page, tu vas apprendre à calculer la somme de termes consécutifs d'une suite géométrique.

👉 connaître la formule de la somme ;
👉 repérer le premier terme de la somme ;
👉 déterminer correctement le nombre de termes : c'est souvent là que l'on se trompe ;
👉 calculer une somme de la forme $u_m+\cdots+u_n$.

🚀 Choisis ton parcours

👉 Option 1 : Commence par un exercice guidé en vidéo.

📺 Exercice type : calculer la somme d'une suite géométrique 👇

👉 Option 2 : Regarde d'abord le cours complet.

📺 Cours complet : somme d'une suite géométrique 👇

🎯 La formule à connaître

Pour additionner des termes consécutifs d'une suite géométrique de raison $q\neq1$ :

\[ \boldsymbol{ \color{black}{\text{Somme}=} \color{blue}{\text{Premier}} \color{black}{\times} \dfrac{ \color{black}{1-q^{\color{green}{\text{Nombre de termes}}}} }{ \color{black}{1-q} } } \]

Premier désigne le premier terme de la somme.
Nombre de termes désigne le nombre de termes présents dans la somme.

⚠️ Attention : pour trouver le nombre de termes, il ne faut pas oublier de rajouter 1.

Par exemple, dans la somme \[ u_{\color{blue}{3}}+u_4+\cdots+u_{10}, \] il y a \[ \boldsymbol{ \color{black}{10-} \color{blue}{3} \color{orange}{+1} \color{black}{=} \color{green}{8} } \] termes.

🎯 Écriture mathématique de cette formule

Si $(u_n)$ est une suite géométrique de raison $q\neq1$ :

\[ \boldsymbol{ \color{black}{u_m+\cdots+u_n=} \color{blue}{u_m} \color{black}{\times} \dfrac{ \color{black}{1-q^{\color{green}{n-m+1}}} }{ \color{black}{1-q} } } \]

👉 Premier terme : $\color{blue}{u_m}$
👉 Nombre de termes : \[ \boldsymbol{ \color{black}{n-m} \color{orange}{+1} } \] 💡 Attention au $+1$ !

🎯 La somme $1+q+\cdots+q^n$

Pour $q\neq1$ :

\[ \boldsymbol{ \color{black}{1+q+\cdots+q^n=} \dfrac{ \color{black}{1-q^{\color{green}{n+1}}} }{ \color{black}{1-q} } } \]

C'est un cas particulier de la formule générale :

Premier : $\color{blue}{1}$
Nombre de termes : $\color{green}{n+1}$

🎯 Exemple : $7+14+28+\cdots+114\,688$

On passe d'un terme au suivant en multipliant par $2$ : ce sont donc des termes consécutifs d'une suite géométrique de raison $2$.

👉 Premier terme : $\color{blue}{u_0=7}$
👉 Dernier terme : $u_n=114\,688$

Pour trouver $n$ (le rang du dernier terme de la somme), on résout : \[ 7\times2^n=114\,688. \] On obtient : \[ 2^n=16\,384=2^{14}, \] donc $n=14$.

Ainsi, $114\,688=u_{14}$. Dans cette somme, il y a donc \[ \boldsymbol{ \color{black}{14-0} \color{orange}{+1} \color{black}{=} \color{green}{15} \color{black}{\text{ termes}} } \]
On applique alors la formule : \[ \boldsymbol{ \color{black}{7+14+28+\cdots+114\,688=} \color{blue}{7} \color{black}{\times} \dfrac{ \color{black}{1-2^{\color{green}{15}}} }{ \color{black}{1-2} } \color{black}{=229\,369} } \]

🎯 L'essentiel sur les sommes

📌 À retenir :

👉 1. Vérifier que les termes sont consécutifs dans une suite géométrique et repérer sa raison $q$.

👉 2. Repérer le premier terme de la somme.

👉 3. Déterminer le nombre de termes.

💡 Pour cela, il faut parfois résoudre une équation pour trouver le rang du dernier terme, comme dans l'exemple $7+14+28+\cdots+114\,688$, où l'on résout $7\times2^n=114\,688$.

👉 4. Appliquer :

\[ \boldsymbol{ \color{black}{\text{Somme}=} \color{blue}{\text{Premier}} \color{black}{\times} \dfrac{ \color{black}{1-q^{\color{green}{\text{Nombre de termes}}}} }{ \color{black}{1-q} } } \]

💡 Le piège classique est de se tromper dans le nombre de termes.

📺 Cours complet : somme d'une suite géométrique 👇

Exercice 1: Somme de termes d'une suite géométrique - Première spécialité maths S - ES - STI

Calculer les sommes suivantes:

${\rm S}=1+3+3^2+...+3^{8}$
${\rm S}=4^3+4^4+4^5+...+4^{8}$

✏️ Tu veux t'entraîner ?

Tu as compris le cours et réussi cet exercice ?
Entraîne-toi avec les autres exercices, classés par difficulté.

📘 Exercices corrigés : sommes de suites géométriques →

🚀 Exercices de synthèse : suites arithmétiques et géométriques →

Tous les niveaux couverts

Collège

Lycée

Supérieur

Manuels scolaires pour lesquels j'ai réalisé les vidéos

Jaicompris.com — dans la presse et les médias

Prêt à transformer ton apprentissage ?

Rejoins des milliers d'élèves qui ont déjà amélioré leurs résultats en mathématiques

Ce site ne convient pas aux enfants de moins de 36 mois, sauf s'ils insistent vraiment.
Ne pas dépasser la dose prescrite.
Posologie: 1 fois/jour la semaine avant le contrôle.
L'efficacité du traitement dépend d'une prise régulière.
Effet secondaire: Peut procurer du plaisir surtout en cas de réussite !
En cas de persistance des difficultés, arrêter le traitement pendant une nuit, puis reprendre le lendemain.

Site jaicompris 100% gratuit avec accès illimité aux vidéos et exercices

Académie de Poitiers – page mathématiques

Icône humoristique : satisfait ou remboursé, mais gratuit

🎥 10 ans de collaboration avec les éditions Nathan

🎬 Ma dernière vidéo

Somme des termes d'une suite géométrique
Cours : formule, nombre de termes et méthode

🚀 Choisis ton parcours

🎯 La formule à connaître

🎯 Écriture mathématique de cette formule

🎯 La somme \(1+q+\cdots+q^n\)

🎯 Exemple : \(7+14+28+\cdots+114\,688\)

🎯 L'essentiel sur les sommes

Exercice 1: Somme de termes d'une suite géométrique - Première spécialité maths S - ES - STI