Formule des probabilités totales

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Formule des probabilités totales

Exercice type

pour comprendre la formule des probabilités totales

Cours

Formule des probabilités totales

Comprendre la formule des probabilités totales grâce à un arbre :

Pour avoir la probabilité de $\rm B_1$:

Prendre tous les chemins qui amènent à $\rm B_1$
Dans l'arbre, il y a 3 chemins qui amènent à $\rm B_1$, ceux qui sont en rose
$\rm A_1$, $\rm A_2$ et $\rm A_3$ forment une partition de l'univers

Dire que $\rm A_1$, $\rm A_2$ et $\rm A_3$ forment une partition de l'univers signifie:

$\rm A_1$, $\rm A_2$ et $\rm A_3$ sont 2 à 2 disjoints

ce qui veut que 2 à 2 leur intersection est vide

$\rm A_1$, $\rm A_2$ et $\rm A_3$ sont non vide

Ils contiennent chacun au moins un élément.

Lorsqu'on réunit $\rm A_1$, $\rm A_2$ et $\rm A_3$, on obtient l'univers tout entier

graphiquement

Une partition correspond graphiquement à ce schéma :

$\rm A_1$, $\rm A_2$ et $\rm A_3$ forment bien une partition de l'univers représenté par l'ensemble vert. En effet $\rm A_1$, $\rm A_2$ et $\rm A_3$ sont bien 2 à 2 disjoints car ces parties ne se chevauchent pas et quand on les réunit, on obtient l'ensemble vert tout entier c'est à dire l'univers.

Exemple

Une entreprise fabrique des ordinateurs de 3 types: $\rm A_1$, $\rm A_2$ et $\rm A_3$.
$\rm A_1$, $\rm A_2$ et $\rm A_3$ forment une partition de l'ensemble des ordinateurs fabriqués.
Trouver la probabilité de chacun de ces chemins
Pour avoir la probabilité d'un chemin, on multiplie les probabilités qui sont sur ce chemin.
- Mathématiquement la probabilité du chemin qui passe par $\rm A_1$ et $\rm B_1$, s'écrit : $\rm P(A_1\cap B_1)=0,6\times 0,2$
- De même la probabilité du chemin qui passe par $\rm A_2$ et $\rm B_1$ est $\rm P(A_2\cap B_1)=0,1\times 0,25$
- Enfin la probabilité du chemin qui passe par $\rm A_3$ et $\rm B_1$ est $\rm P(A_3\cap B_1)=0,3\times 0,8$
Ensuite il n'y a plus qu'à additionner ces probabilités pour avoir la probabilité de $\rm B_1$

$\rm P(B_1)=0,6\times 0,2$$+0,1\times 0,25$$+0,3\times 0,8$$=0,385$
Ce qui s'écrit mathématiquement

D'après la formule des probabilités totales:
$\rm P(B_1)=P(A_1)\times P_{A_1}(B_1)$$\rm +P(A_2)\times P_{A_2}(B_1)$$\rm +P(A_3)\times P_{A_3}(B_1)$

Cette formule peut paraître compliqué, mais avec l'arbre, elle se retrouve très facilement !

$\rm \phantom{P(B_1)}=0,6\times 0,2$$+0,1\times 0,25$$+0,3\times 0,8$
$\rm \phantom{P(B_1)}=0,385$

Résumé du cours en vidéo

Exercice 1: Formule des probabilités totales • Première spécialité mathématiques S - ES - STI

Le parc informatique d'une entreprise est constitué d'ordinateurs de marques A, B ou C référencés au service de maintenance.

60% des ordinateurs sont de la marque A et parmi ceux-ci, 15% sont des portables.
30% des ordinateurs sont de la marque B et 20% d'entre eux sont des portables.
Les autres ordinateurs sont de la marque C et 50% d'entre eux sont des portables.

On consulte au hasard la fiche d'un ordinateur, quelle est la probabilité que ce soit la fiche d'un ordinateur portable ?

Exercice 2: Formule des probabilités totales- Arbre - intersection • Première spécialité mathématiques S - ES - STI

A et B sont deux évènements tels que $\rm P(A)=0,4$ et $\rm P(B)=0,16$ et $\rm P(A\cap \overline{B})=0,3$. Déterminer $\rm P_{\overline{A}}\left(\overline{B}\right)$.

Exercice 3: Formule des probabilités totales et arbre pondéré • Première spécialité mathématiques S - ES - STI

Une maladie se propage dans une population. On sait que :

20% de la population est vaccinée.
95% des personnes vaccinées ne sont pas malades.
6% de la population est malade.

Déterminer la probabilité pour un individu non vacciné d'être malade. Commenter ce résultat.

Exercice 4: Probabilités conditionnelles - Dopage - D'après sujet de Bac - Première spécialité maths S - ES - STI

Un sportif est choisi au hasard dans un groupe pour subir un contrôle antidopage.
On appelle T l'évènement: « Le contrôle est positif». D'après les statistiques, on admet que $\rm P(T)=0,05$.
On appelle D l'évènement: « Le coureur est dopé».
Le contrôle antidopage n'étant pas fiable à 100%, on sait que:

Si un coureur est dopé, le contrôle est positif dans 97% des cas.
Si un coureur n'est pas dopé, le contrôle est positif dans 1% des cas.

On note $p$ la probabilité de D. Déterminer $p$ à l'aide d'un arbre pondéré.
Un coureur a un contrôle positif. Quelle est la probabilité qu'il ne soit pas dopé ?

Exercice 5: Probabilités conditionnelles - Formule des probabilités totales - D'après sujet de Bac - Première spécialité maths S - ES - STI

Des étudiants d'une université se préparent à passer un examen pour lequel quatre thèmes (A, B, C et D) sont au programme. Le thème A reste pour beaucoup d'étudiants une partie du programme difficile à maîtriser. Un stage de préparation est alors proposé pour travailler ce thème. Lors de l'examen, on a constaté que s'il y a un exercice portant sur le thème A :

$30\%$ des étudiants n'ayant pas suivi le stage ne traitent pas l'exercice.
$\dfrac 56$ des étudiants ayant suivi le stage l'ont traité.

On sait de plus que 20% des étudiants participent au stage.
Lors des résultats de l'examen, un étudiant s'exclame : « Je n'ai pas du tout traité le thème A ».
Quelle est la probabilité que cet étudiant ait suivi le stage? On arrondira le résultat à 0,001 près.

Ce site ne convient pas aux enfants de moins de 36 mois, sauf s'ils insistent vraiment.
Ne pas dépasser la dose prescrite.
Posologie: 1 fois/jour la semaine avant le contrôle.
L'efficacité du traitement dépend d'une prise régulière.
Effet secondaire: Peut procurer du plaisir surtout en cas de réussite !
En cas de persistance des difficultés, arrêter le traitement pendant une nuit, puis reprendre le lendemain.