Formule des probabilités totales

1. Compléter l'arbre de probabilités ci-dessous:
   
2. À l'aide de cet arbre :
   1. Donner $\rm p(\overline C)$, $\rm p_{\overline C}(D)$.
   2. Déterminer $\rm p(\rm C \cap D)$.
   3. Déterminer ${\rm p}(\rm D)$.

1. Compléter l'arbre de probabilités ci-dessous:
   
2. À l'aide de cet arbre :
   1. Calculer $\rm p(\rm C \cap D)$ puis ${\rm p}(\rm D)$.
   2. En déduire $\rm p_{D}(\rm C)$.

Dans un hypermarché, 75% des clients sont des femmes. Une femme sur cinq achète un article au rayon bricolage, alors que sept hommes sur dix le font.
On choisit une personne au hasard dans cet hypermarché et on appelle :
$\bullet$ F : l'événement « La personne est une femme »
$\bullet$ B : l'événement « La personne a acheté un article au rayon bricolage »

1. Représenter cette situation par un arbre pondéré.
2. Calculer la probabilité que la personne soit une femme qui achète un article au rayon bricolage.
3. Calculer la probabilité que la personne achète un article au rayon bricolage.
4. Une personne a acheté un article au rayon bricolage, quelle est la probabilité que ce soit un homme ?

Un magasin de sport propose des réductions sur les trois marques (A, B et C) de vêtements qu'il distribue.
La marque A représente 64 % des vêtements vendus, la marque B 28 %.
30 % des vêtements de la marque A, 60 % de la marque B et 80 % de ceux de la marque C sont soldés.
On interroge au hasard un client ayant acheté un vêtement de sport.

1. Représenter cette situation par un arbre pondéré.
2. Quelle est la probabilité que le client interrogé ait acheté un vêtement soldé ?
3. Le client interrogé a acheté un vêtement soldé. Quelle est la probabilité que ce vêtement soit de la marque B ?

Le parc informatique d'une entreprise est constitué d'ordinateurs de marques A, B ou C référencés au service de maintenance.

1. 60% des ordinateurs sont de la marque A et parmi ceux-ci, 15% sont des portables.
2. 30% des ordinateurs sont de la marque B et 20% d'entre eux sont des portables.
3. Les autres ordinateurs sont de la marque C et 50% d'entre eux sont des portables.

On consulte au hasard la fiche d'un ordinateur, quelle est la probabilité que ce soit la fiche d'un ordinateur portable ?

A et B sont deux évènements tels que $\rm P(A)=0,4$ et $\rm P(B)=0,16$ et $\rm P(A\cap \overline{B})=0,3$. Déterminer $\rm P_{\overline{A}}\left(\overline{B}\right)$.

Une maladie se propage dans une population. On sait que :

• 20% de la population est vaccinée.
• 95% des personnes vaccinées ne sont pas malades.
• 6% de la population est malade.

Déterminer la probabilité pour un individu non vacciné d'être malade. Commenter ce résultat.

Un sportif est choisi au hasard dans un groupe pour subir un contrôle antidopage.
On appelle T l'évènement: « Le contrôle est positif ». D'après les statistiques, on admet que $\rm P(T)=0,05$.
On appelle D l'évènement: « Le coureur est dopé ».
Le contrôle antidopage n'étant pas fiable à 100%, on sait que:

• Si un coureur est dopé, le contrôle est positif dans 97% des cas.
• Si un coureur n'est pas dopé, le contrôle est positif dans 1% des cas.

1. On note $p$ la probabilité de D. Déterminer $p$ à l'aide d'un arbre pondéré.
2. Un coureur a un contrôle positif. Quelle est la probabilité qu'il ne soit pas dopé ?

Des étudiants d'une université se préparent à passer un examen pour lequel quatre thèmes (A, B, C et D) sont au programme. Le thème A reste pour beaucoup d'étudiants une partie du programme difficile à maîtriser. Un stage de préparation est alors proposé pour travailler ce thème. Lors de l'examen, on a constaté que s'il y a un exercice portant sur le thème A :

• $30\%$ des étudiants n'ayant pas suivi le stage ne traitent pas l'exercice.
• $\dfrac 56$ des étudiants ayant suivi le stage l'ont traité.

On sait de plus que 20% des étudiants participent au stage.
Lors des résultats de l'examen, un étudiant s'exclame : « Je n'ai pas du tout traité le thème A ».
Quelle est la probabilité que cet étudiant ait suivi le stage? On arrondira le résultat à 0,001 près.

Un tiroir $\rm T_1$ contient cinq pièces d'or et cinq pièces d'argent, un tiroir $\rm T_2$ en contient quatre d'or et six d'argent. On choisit au hasard l'un des tiroirs et dans ce tiroir, on prend une pièce au hasard.

1. Construire l'arbre pondéré de cette expérience aléatoire.
2. Calculez la probabilité de prendre une pièce d'or.
3. On a extrait une pièce d'or. Quelle est alors la probabilité qu'elle provienne du tiroir $\rm T_1$ ?

Un lot de cent dés contient vingt dés truqués. Tous les dés ont six faces numérotées de 1 à 6. Pour un dé truqué, la probabilité d'apparition du 6 est égale à $\dfrac 12$.

1. On prend au hasard un dé, on le lance. Calculer la probabilité d'obtenir 6.
2. On prend au hasard un dé, on le lance et on obtient 6. Calculer la probabilité que ce dé soit truqué.

On interroge au hasard un membre du personnel d'un hôpital. Le personnel de l'hôpital est réparti en trois catégories : M (médecins), S (soignants) et AT (personnel administratif).
• 10% sont des médecins et 70% des soignants.
• 60% des médecins sont des hommes et 90% des soignants sont des femmes.
On note $x$ : la probabilité que la personne interrogée soit une femme sachant que cette personne est AT. On appelle :

1. Construire un arbre pondéré correspondant à la situation.
2. On sait de plus que 81% du personnel est féminin. En déduire la valeur de $x$.

Un virus touche $1$% de la population. Un laboratoire fournit un test pour lequel $95$% des malades sont positifs et $95$% des personnes saines sont négatifs.
Vous êtes testé positif. Quelle est votre probabilité d'être atteint par le virus ?