Formule des probabilités totales

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Formule des probabilités totales

Dans ce cours, destiné aux élèves de Première spécialité mathématiques, nous allons découvrir la formule des probabilités totales.

Nous verrons que cette formule des probabilités totales est très simple à comprendre et à retenir avec un arbre : elle correspond à tous les chemins qui mènent à un événement.

Nous découvrirons comment utiliser la formule des probabilités totales en exercice pour calculer des probabilités. Vous verrez que c'est très visuel avec un arbre.

Ce cours est accompagné de nombreux exercices corrigés en vidéo, pour vous entraîner et bien comprendre l'utilisation des arbres de probabilités et de la formule des probabilités totales.

Exercice type

pour comprendre la formule des probabilités totales

Cours

Formule des probabilités totales

Comprendre la formule des probabilités totales grâce à un arbre :

Pour avoir la probabilité de $\rm B_1$:

Prendre tous les chemins qui amènent à $\rm B_1$
Dans l'arbre, il y a 3 chemins qui amènent à $\rm B_1$, ceux qui sont en rose
$\rm A_1$, $\rm A_2$ et $\rm A_3$ forment une partition de l'univers

Dire que $\rm A_1$, $\rm A_2$ et $\rm A_3$ forment une partition de l'univers signifie:

$\rm A_1$, $\rm A_2$ et $\rm A_3$ sont 2 à 2 disjoints

ce qui veut que 2 à 2 leur intersection est vide

$\rm A_1$, $\rm A_2$ et $\rm A_3$ sont non vide

Ils contiennent chacun au moins un élément.

Lorsqu'on réunit $\rm A_1$, $\rm A_2$ et $\rm A_3$, on obtient l'univers tout entier

graphiquement

Une partition correspond graphiquement à ce schéma :

$\rm A_1$, $\rm A_2$ et $\rm A_3$ forment bien une partition de l'univers représenté par l'ensemble vert. En effet $\rm A_1$, $\rm A_2$ et $\rm A_3$ sont bien 2 à 2 disjoints car ces parties ne se chevauchent pas et quand on les réunit, on obtient l'ensemble vert tout entier c'est à dire l'univers.

Exemple

Une entreprise fabrique des ordinateurs de 3 types: $\rm A_1$, $\rm A_2$ et $\rm A_3$.
$\rm A_1$, $\rm A_2$ et $\rm A_3$ forment une partition de l'ensemble des ordinateurs fabriqués.
Trouver la probabilité de chacun de ces chemins
Pour avoir la probabilité d'un chemin, on multiplie les probabilités qui sont sur ce chemin.
- Mathématiquement la probabilité du chemin qui passe par $\rm A_1$ et $\rm B_1$, s'écrit : $\rm P(A_1\cap B_1)=0,6\times 0,2$
- De même la probabilité du chemin qui passe par $\rm A_2$ et $\rm B_1$ est $\rm P(A_2\cap B_1)=0,1\times 0,25$
- Enfin la probabilité du chemin qui passe par $\rm A_3$ et $\rm B_1$ est $\rm P(A_3\cap B_1)=0,3\times 0,8$
Ensuite il n'y a plus qu'à additionner ces probabilités pour avoir la probabilité de $\rm B_1$

$\rm P(B_1)=0,6\times 0,2$$+0,1\times 0,25$$+0,3\times 0,8$$=0,385$
Ce qui s'écrit mathématiquement

D'après la formule des probabilités totales:
$\rm P(B_1)=P(A_1)\times P_{A_1}(B_1)$$\rm +P(A_2)\times P_{A_2}(B_1)$$\rm +P(A_3)\times P_{A_3}(B_1)$

Cette formule peut paraître compliqué, mais avec l'arbre, elle se retrouve très facilement !

$\rm \phantom{P(B_1)}=0,6\times 0,2$$+0,1\times 0,25$$+0,3\times 0,8$
$\rm \phantom{P(B_1)}=0,385$

Résumé du cours en vidéo

Exercice 1: Arbre et probabilités conditionnelles • Première spécialité mathématiques S - ES - STI

Compléter l'arbre de probabilités ci-dessous:
À l'aide de cet arbre :
1. Donner $\rm p(\overline C)$, $\rm p_{\overline C}(D)$.
2. Déterminer $\rm p(\rm C \cap D)$.
3. Déterminer ${\rm p}(\rm D)$.

Exercice 2: Arbre et probabilités conditionnelles - Première spécialité maths S - ES - STI

Compléter l'arbre de probabilités ci-dessous:
À l'aide de cet arbre :
1. Calculer $\rm p(\rm C \cap D)$ puis ${\rm p}(\rm D)$.
2. En déduire $\rm p_{D}(\rm C)$.

Exercice 3:

arbre de probabilités conditionnelles - inverser le conditionnement - option maths première

On considère l'arbre de probabilité :

On sait que $\rm P(S)=0,34$

Déterminer $\rm P(A)$.
Déterminer $\rm P_{S}(A)$.

Exercice 4: arbre & probabilités conditionnelles - Première spécialité maths S - ES - STI

Dans un hypermarché, 75% des clients sont des femmes. Une femme sur cinq achète un article au rayon bricolage, alors que sept hommes sur dix le font.
On choisit une personne au hasard dans cet hypermarché et on appelle :
$\bullet$ F : l'événement « La personne est une femme »
$\bullet$ B : l'événement « La personne a acheté un article au rayon bricolage »

Représenter cette situation par un arbre pondéré.
Calculer la probabilité que la personne soit une femme qui achète un article au rayon bricolage.
Calculer la probabilité que la personne achète un article au rayon bricolage.
Une personne a acheté un article au rayon bricolage, quelle est la probabilité que ce soit un homme ?

Exercice 5: arbre & probabilités conditionnelles - Première spécialité maths S - ES - STI

Un magasin de sport propose des réductions sur les trois marques (A, B et C) de vêtements qu'il distribue.
La marque A représente 64 % des vêtements vendus, la marque B 28 %.
30 % des vêtements de la marque A, 60 % de la marque B et 80 % de ceux de la marque C sont soldés.
On interroge au hasard un client ayant acheté un vêtement de sport.

Représenter cette situation par un arbre pondéré.
Quelle est la probabilité que le client interrogé ait acheté un vêtement soldé ?
Le client interrogé a acheté un vêtement soldé. Quelle est la probabilité que ce vêtement soit de la marque B ?

Exercice 6: Formule des probabilités totales • Première spécialité mathématiques S - ES - STI

Le parc informatique d'une entreprise est constitué d'ordinateurs de marques A, B ou C référencés au service de maintenance.

60% des ordinateurs sont de la marque A et parmi ceux-ci, 15% sont des portables.
30% des ordinateurs sont de la marque B et 20% d'entre eux sont des portables.
Les autres ordinateurs sont de la marque C et 50% d'entre eux sont des portables.

On consulte au hasard la fiche d'un ordinateur, quelle est la probabilité que ce soit la fiche d'un ordinateur portable ?

Exercice 7: Formule des probabilités totales- Arbre - intersection • Première spécialité mathématiques S - ES - STI

A et B sont deux évènements tels que $\rm P(A)=0,4$ et $\rm P(B)=0,16$ et $\rm P(A\cap \overline{B})=0,3$. Déterminer $\rm P_{\overline{A}}\left(\overline{B}\right)$.

Exercice 8: Formule des probabilités totales et arbre pondéré • Première spécialité mathématiques S - ES - STI

Une maladie se propage dans une population. On sait que :

20% de la population est vaccinée.
95% des personnes vaccinées ne sont pas malades.
6% de la population est malade.

Déterminer la probabilité pour un individu non vacciné d'être malade. Commenter ce résultat.

Exercice 9: Probabilités conditionnelles - Dopage - D'après sujet de Bac - Première spécialité maths S - ES - STI

Un sportif est choisi au hasard dans un groupe pour subir un contrôle antidopage.
On appelle T l'évènement: « Le contrôle est positif ». D'après les statistiques, on admet que $\rm P(T)=0,05$.
On appelle D l'évènement: « Le coureur est dopé ».
Le contrôle antidopage n'étant pas fiable à 100%, on sait que:

Si un coureur est dopé, le contrôle est positif dans 97% des cas.
Si un coureur n'est pas dopé, le contrôle est positif dans 1% des cas.

On note $p$ la probabilité de D. Déterminer $p$ à l'aide d'un arbre pondéré.
Un coureur a un contrôle positif. Quelle est la probabilité qu'il ne soit pas dopé ?

Exercice 10: Probabilités conditionnelles - Formule des probabilités totales - D'après sujet de Bac - Première spécialité maths S - ES - STI

Des étudiants d'une université se préparent à passer un examen pour lequel quatre thèmes (A, B, C et D) sont au programme. Le thème A reste pour beaucoup d'étudiants une partie du programme difficile à maîtriser. Un stage de préparation est alors proposé pour travailler ce thème. Lors de l'examen, on a constaté que s'il y a un exercice portant sur le thème A :

$30\%$ des étudiants n'ayant pas suivi le stage ne traitent pas l'exercice.
$\dfrac 56$ des étudiants ayant suivi le stage l'ont traité.

On sait de plus que 20% des étudiants participent au stage.
Lors des résultats de l'examen, un étudiant s'exclame : « Je n'ai pas du tout traité le thème A ».
Quelle est la probabilité que cet étudiant ait suivi le stage? On arrondira le résultat à 0,001 près.

Exercice 11: Probabilités conditionnelles - Formule des probabilités totales - Première spécialité maths S - ES - STI

Un tiroir $\rm T_1$ contient cinq pièces d'or et cinq pièces d'argent, un tiroir $\rm T_2$ en contient quatre d'or et six d'argent. On choisit au hasard l'un des tiroirs et dans ce tiroir, on prend une pièce au hasard.

Construire l'arbre pondéré de cette expérience aléatoire.
Calculez la probabilité de prendre une pièce d'or.
On a extrait une pièce d'or. Quelle est alors la probabilité qu'elle provienne du tiroir $\rm T_1$ ?

Exercice 12: Probabilités conditionnelles - Formule des probabilités totales - Première spécialité maths S - ES - STI

Un lot de cent dés contient vingt dés truqués. Tous les dés ont six faces numérotées de 1 à 6. Pour un dé truqué, la probabilité d'apparition du 6 est égale à $\dfrac 12$.

On appelle : $\bullet$ T l'événement : « Le dé est truqué » $\bullet$ S l'événement : « On obtient 6 »

On prend au hasard un dé, on le lance. Calculer la probabilité d'obtenir 6.
On prend au hasard un dé, on le lance et on obtient 6. Calculer la probabilité que ce dé soit truqué.

Exercice 13: Probabilités conditionnelles - Formule des probabilités totales - Première spécialité maths S - ES - STI

On interroge au hasard un membre du personnel d'un hôpital. Le personnel de l'hôpital est réparti en trois catégories : M (médecins), S (soignants) et AT (personnel administratif).
• 10% sont des médecins et 70% des soignants.
• 60% des médecins sont des hommes et 90% des soignants sont des femmes.
On note $x$ : la probabilité que la personne interrogée soit une femme sachant que cette personne est AT. On appelle :

$\bullet$ M l'événement : « La personne est médecin » $\bullet$ S l'événement : « La personne est soignant » $\bullet$ AT l'événement : « La personne est AT » $\bullet$ F l'événement : « La personne est une femme »

Construire un arbre pondéré correspondant à la situation.
On sait de plus que 81% du personnel est féminin. En déduire la valeur de $x$.

Exercice 14: Probabilités conditionnelles - Test de dépistage virus - Première spécialité maths S - ES - STI

Un virus touche $1$% de la population. Un laboratoire fournit un test pour lequel $95$% des malades sont positifs et $95$% des personnes saines sont négatifs.
Vous êtes testé positif. Quelle est votre probabilité d'être atteint par le virus ?

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En cas de persistance des difficultés, arrêter le traitement pendant une nuit, puis reprendre le lendemain.

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Exercice 1: Arbre et probabilités conditionnelles • Première spécialité mathématiques S - ES - STI

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Exercice 5: arbre & probabilités conditionnelles - Première spécialité maths S - ES - STI

Exercice 6: Formule des probabilités totales • Première spécialité mathématiques S - ES - STI

Exercice 7: Formule des probabilités totales- Arbre - intersection • Première spécialité mathématiques S - ES - STI

Exercice 8: Formule des probabilités totales et arbre pondéré • Première spécialité mathématiques S - ES - STI

Exercice 9: Probabilités conditionnelles - Dopage - D'après sujet de Bac - Première spécialité maths S - ES - STI

Exercice 10: Probabilités conditionnelles - Formule des probabilités totales - D'après sujet de Bac - Première spécialité maths S - ES - STI

Exercice 11: Probabilités conditionnelles - Formule des probabilités totales - Première spécialité maths S - ES - STI

Exercice 12: Probabilités conditionnelles - Formule des probabilités totales - Première spécialité maths S - ES - STI

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