Probabilités conditionnelles et arbres pondérés

Conseils

Probabilités conditionnelles ♦ Arbres pondérés

Dans ce cours sur les probabilités conditionnelles, destiné aux élèves de Première spécialité mathématiques, nous allons découvrir la probabilité de A sachant B, sa définition et les formules à connaître.

Nous apprendrons à construire des arbres pondérés et des tableaux à double entrée et nous verrons leur lien avec les probabilités conditionnelles.

Nous verrons également les règles à connaître avec les arbres de probabilités. Vous verrez que c'est très visuel.

Nous apprendrons à utiliser ces arbres ou tableaux pour calculer des probabilités comme par exemple P(A∩B).

Ce cours est accompagné de nombreux exercices corrigés en vidéo, pour vous entraîner et vérifier que vous avez bien compris les probabilités conditionnelles et les arbres de probabilité.

Exercice type

Probabilités conditionnelles avec un tableau (probabilité de A sachant B)

Exercice type

Maîtriser les arbres de probabilité

Exercice type

Savoir appliquer la formule $\rm P_B(A)$ (probabilité de A sachant B)

Exercice type

Savoir traduire un énoncé à l'aide des probabilités conditionnelles

Exercice type contrôle

Probabilité conditionnelle et arbre pondéré

Cours

Comprendre d'où vient la définition des probabilités conditionnelles, probabilité de A sachant B

Cours

Propriétés à connaître sur les probabilités conditionnelles

Ce qu'il faut savoir sur les probabilités conditionnelles

• $\rm P_A(B)$

• $\rm P_A(B)$ se lit

• $\rm P_A(B)=$

• $\rm P_A(...)$ n'a de sens que

• $...\!~\leqslant\rm P_A(B)\leqslant~\!...$

• $\rm P_A(A)=$

• $\rm P_A\left(\overline B\right)=$

• Si A et B sont incompatibles alors $\rm P_A(B)=$

• Calculer $\rm P(A\cap B)=$

Arbre pondéré

Règle 1 dans un arbre pondéré

Règle 2 dans un arbre pondéré

Résumé du cours en vidéo

Exercice 1: probabilités conditionnelles • Première spécialité mathématiques S - ES - STI

Voici la répartition des élèves de première d'un lycée selon leur genre et s'ils sont gauchers ou droitiers:

	Gaucher	Droitier	Total
Garçon	$12$	$79$	$91$
Fille	$10$	$75$	$85$
Total	$22$	$154$	$176$

On choisit un élève au hasard. On note les événements :

$\bullet$ F: « L'élève choisit est une fille »
$\bullet$ D: « L'élève choisit est droitier »

Quelle est la probabilité qu'il soit gaucher?
Quelle est la probabilité que ce soit une fille gauchère?
Calculer ${\rm P}_{\rm F}(\rm D)$ puis ${\rm P}_{\rm D}(\rm F)$.

Exercice 2: Arbre et probabilités conditionnelles • Première spécialité mathématiques S - ES - STI

Compléter l'arbre de probabilités ci-dessous sachant que:
$\bullet~ \rm p(A)=0,4$ $\bullet~ \rm p_A(B)=0,1$ $\bullet~ \rm p_{\overline A}(B)=0,7$

Exercice 3: Arbre et probabilités conditionnelles • Première spécialité mathématiques S - ES - STI

Compléter l'arbre de probabilités ci-dessous:
À l'aide de cet arbre :
1. Donner $\rm p(\overline C)$, $\rm p_{\overline C}(D)$.
2. Déterminer $\rm p(\rm C \cap \overline D)$.

Exercice 4: probabilités conditionnelles - arbre pondéré - Première spécialité maths S - ES - STI

Un sac contient dix jetons dont sept sont blancs. Samuel prend un jeton au hasard qu'il ne remet pas dans le sac. Puis Rose prend au hasard un jeton dans le sac.
On note S l'événement « le jeton de Samuel est blanc » et R l'événement « le jeton de Rose est blanc ».

Réaliser un arbre pondéré correspondant à la situation.
Déterminer la probabilité que Samuel et Rose prennent chacun un jeton blanc.

Exercice 5: probabilités conditionnelles - - arbre pondéré - Première spécialité maths S - ES - STI

80% des clients d'une station de carburant utilisent des pompes en libre service et 90% d'entre eux prennent du gazole. Parmi les clients qui utilisent les autres pompes, 60% prennent du gazole.
On choisit un client au hasard. On note L l'événement « le client utilise une pompe en libre service » et G l'événement « le client achète du gazole ».

Réaliser un arbre pondéré correspondant à la situation.
Déterminer la probabilité que le client ne se serve pas à une pompe en libre service et qu'il ne prenne pas du gazole.

Exercice 6: arbre & probabilités conditionnelles - tennis - Première spécialité maths S - ES - STI

Un joueur de tennis réussit sa première balle de service avec une probabilité de $0,7$. S'il ne réussit pas sa première balle de service, il réussit sa seconde balle de service avec une probabilité de $0,9$. On note les événements:
$\bullet$ $\rm R_1$ : « Il réussit sa première balle de service. »
$\bullet$ $\rm R_2$ : « Il réussit sa deuxième balle de service. »

Représenter la situation par un arbre de probabilités.
Quelle est la probabilité qu'il commette une double faute?

Exercice 7: arbre & probabilités conditionnelles - Première spécialité maths S - ES - STI

Dans un hypermarché, 75% des clients sont des femmes. Une femme sur cinq achète un article au rayon bricolage, alors que sept hommes sur dix le font.
On choisit une personne au hasard dans cet hypermarché et on appelle :
$\bullet$ F : « La personne est une femme »
$\bullet$ B : « La personne a acheté un article au rayon bricolage »

Représenter cette situation par un arbre pondéré.
Calculer la probabilité que la personne soit une femme qui achète un article au rayon bricolage.

Exercice 8: probabilités conditionnelles avec un tableau - Première spécialité maths S - ES - STI

On souhaite tester l'efficacité d'un nouveau médicament destiné à lutter contre l'excès de cholestérol. Des essais sont faits sur un échantillon de patients présentant un excès de cholestérol dans le sang. Certains patients reçoivent le médicament tandis que d'autres reçoivent un placebo (comprimé sans principe actif). La répartition est indiquée dans le tableau ci-dessous:

	Placebo	Médicament
Guéri	$12$	$119$
Non guéri	$48$	$21$

On choisit un patient au hasard et on note les événements:

$\bullet$ M: « Le patient a reçu le médicament. »
$\bullet$ G: « Le patient est guéri. »

Déterminer les probabilités suivantes:

$ \color{red}{\textbf{a. }} \rm p(M)$ $\color{red}{\textbf{b. }} \rm p(M\cap \overline{G})$ $\color{red}{\textbf{c. }} \rm p_{M}(G)$ $\color{red}{\textbf{d. }} \rm p_{\overline G}(M)$

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