Probabilité - événements indépendants

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Probabilité - événements indépendants

Exercice type

sur les événements indépendants

Cours

Événements indépendants

• Intuitivement

• 3 façons de dire que A et B sont indépendants

• 3 façons de démontrer que A et B sont indépendants

On démontre que $\rm P_{B}(A)=P(A)$

On calcule séparément $\rm P_{B}(A)$ et $\rm P(A)$ puis on montre qu'ils sont égaux

S'ils ne sont pas égaux, cela signifie que A et B ne pas indépendants, donc A et B sont dépendants.
On démontre que $\rm P_{A}(B)=P(B)$

On calcule séparément $\rm P_{A}(B)$ et $\rm P(B)$ puis on montre qu'ils sont égaux

S'ils ne sont pas égaux, cela signifie que A et B ne pas indépendants, donc A et B sont dépendants.
On démontre que $\rm P(A\cap B)= P(A)\times P(B)$

On calcule séparément $\rm P(A\cap B)$ et $\rm P(A)\times P(B)$ puis on montre qu'ils sont égaux

S'ils ne sont pas égaux, cela signifie que A et B ne pas indépendants, donc A et B sont dépendants.

• Propriétés

• indépendant et incompatible

Résumé du cours en vidéo

Exercice 1: évènement indépendants • Première spécialité mathématiques S - ES - STI

On interroge 500 personnes pour savoir si elles sont allées chez le médecin.

	Médecin	Pas médecin	Total
Enfant	$90$	$60$	$150$
Adulte	$310$	$40$	$350$
Total	$400$	$100$	$500$

On choisit une personne au hasard. On note les événements :

$\bullet$ M: « La personne choisie est allée chez le médecin »
$\bullet$ E: « La personne choisie est un enfant »

Les événements M et E sont-ils indépendants?

Exercice 2: succession d'épreuves d'événements indépendants • Première spécialité mathématiques S - ES - STI

On lance deux dés cubiques bien équilibrés avec les faces numérotées de $1$ à $6$. Quelle est la probabilité de faire un double six ?
On lance trois fois de suite une pièce de monnaie. Quelle est la probabilité de ne faire que des "face" ?
On lance la pièce de monnaie puis le dé. Quelle est la probabilité de faire "pile" et un nombre supérieur ou égal à $3$ ?

Exercice 3: succession d'épreuves d'événements indépendants • Première spécialité mathématiques S - ES - STI

Sur son trajet habituel domicile-travail, une automobiliste rencontre deux feux tricolores qui fonctionnent de manière indépendante :

la probabilité de devoir s'arrêter au premier feu est de $\dfrac{1}{3}$.
la probabilité de devoir s'arrêter au second feu est de $\dfrac{5}{12}$.

Quelle est la probabilité que l'automobiliste s'arrête deux fois ?
Quelle est la probabilité que l'automobiliste ne s'arrête à aucun feu sur son trajet ?
Quelle est la probabilité que l'automobiliste s'arrête au moins une fois sur son trajet ?

Exercice 4: succession d'épreuves d'événements indépendants - Première spécialité maths S - ES - STI

Un vendeur a deux rendez-vous dans sa matinée avec des clients. Il va faire signer un contrat à son premier client avec une probabilité de $0,7$ et avec le deuxième client avec une probabilité de $0,4$ (les deux événements sont considérés indépendants).

Quelle est la probabilité de l'événement : "le vendeur ne fait signer aucun contrat" ?
Quelle est la probabilité de l'événement : "le vendeur fait signer au moins un contrat" ?

Exercice 5: Probabilités conditionnelles - Événements indépendants - Première spécialité maths S - ES - STI

Préciser dans chaque cas si les événements $\rm A$ et $\rm B$ sont indépendants:

$\rm P(A \cap B) = 0,36$ et $\rm P(A) = 0,4$ et $\rm P(B) = 0,9$.
$\rm P(A \cap B) = 0,4$ et $\rm P(A) = 0,5$ et $\rm P(\overline{B}) = 0,2$.
$\rm P(A \cup B) = 0,8$ et $\rm P(A) = 0,6$ et $\rm P(B) = 0,4$.

Exercice 6: Probabilités conditionnelles - Événements indépendants - Première spécialité maths S - ES - STI

On lance deux dés bien équilibrés à $6$ faces numérotées de $1$ à $6$, un bleu et un rouge.
On note $\rm{A}$ l'événement «le dé bleu donne $1$» et $\rm{B}$ l'événement «la somme des dés donne $7$».
Montrer que $\rm{A}$ et $\rm{B}$ sont indépendants.

Exercice 7: Probabilités conditionnelles - Événements indépendants - Première spécialité maths S - ES - STI

Dans l'urne ci-dessous, il y a des jetons numérotés de différentes couleurs:

On tire au hasard un jeton dans cette urne. On considère les évènements suivants:
R: « le jeton tiré est rouge »,
B: « le jeton tiré est bleu »
I: « le numéro du jeton tiré est impair »

Les évènements R et I sont-ils indépendants?
Les évènements B et I sont-ils indépendants?

Exercice 8: Condition pour que deux évènements soient indépendants - Première spécialité maths S - ES - STI

Dans l'urne ci-dessous, il y a des jetons numérotés de différentes couleurs:

On tire au hasard un jeton dans cette urne. On considère les évènements suivants:
B : « le jeton tiré est bleu »
I : « le numéro du jeton tiré est impair »

Les évènements B et I sont-ils indépendants?
Combien faut-il rajouter de jetons bleus numérotés 1 pour que les évènements B et I soient indépendants?

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