Exercice
1: Loi de probabilité - Espérance - Première spécialité maths S - ES
- STI
On vous propose le jeu suivant:
Pour jouer, il faut payer 2€. Ensuite, on lance 3 fois de suite une pièce bien équilibrée. Chaque
pile
rapporte 3€ et chaque face fait perdre 2€.
On considère la variable aléatoire G égale au gain algébrique du joueur. Déterminer la loi de
probabilité de G et son espérance.
Exercice
2: Variable aléatoire - Loi de probabilité - Espérance - Première
spécialité mathématiques S -
ES - STI
Vous attaquez en justice un promoteur pour malfaçon. Si vous gagnez le procès, vous toucherez 100
000€ .
Vous avez le choix entre deux avocats:
Le premier réclame 12 000€ d'honoraires fixes. Le second demande 30% de la somme si vous gagnez et
rien
sinon. Chaque avocat a 80% de chances de gagner le procès.
Quel avocat choisir de façon à maximiser votre espérance de gain?
Exercice
3: Variable aléatoire - Loi de probabilité - Espérance - Première
spécialité mathématiques S -
ES - STI
Un cube de 3 cm de côté est peint en bleu puis découpé en petits cubes identiques
de 1 cm de
côté,
comme indiqué sur la figure.
On place ces petits cubes dans un sac. Puis on tire au hasard un cube du sac.
On s'intéresse à la variable aléatoire $\rm X$ correspondant au nombre de faces peintes en bleu du
cube tiré. Déterminer la loi de probabilité de $\rm X$.
Exercice
4: Loi de probabilité de l'écart de 2 dés • Espérance • Première
spécialité mathématiques S -
ES - STI
On lance deux dés cubiques bien équilibrés dont les faces sont numérotées de 1 à
6. On note X la variable aléatoire égale à l'écart entre les deux nombres sortis.
-
Déterminer la loi de probabilité de X.
-
Déterminer l'espérance de X. Interpréter.
Exercice
5: Loi de probabilité du maximum de 2 dés - espérance • Première
spécialité mathématiques S -
ES - STI
On lance deux dés cubiques bien équilibrés dont les faces sont numérotées de 1 à
6.
On note X la variable aléatoire égale au plus grand des deux nombres sortis.
-
Déterminer la loi de probabilité de X.
-
Déterminer l'espérance de X. Interpréter.
Exercice
6: Paradoxe de l'espérance - Loi de probabilité - variable
aléatoire • Première spécialité mathématiques S - ES - STI
On vous propose le jeu suivant: Vous lancez deux dés cubiques équilibrés dont les faces sont
numérotées de 1 à 6.
Si vous obtenez un double six, vous gagnez 1 millions d'euros sinon vous perdez 10000 euros.
Que faîtes-vous? Justifier.
Exercice
7: Probabilité - Roue de la fortune - Espérance de gain - variable
aléatoire • Première spécialité mathématiques S - ES - STI
A la fête foraine, une roue de la fortune est partagée en 12 secteurs égaux.
Six sont bleus, deux sont roses, trois sont jaunes et un est vert.
Pour jouer, il faut payer 5€ . On fait tourner la roue:
-
Si le bleu sort, on a perdu et on ne reçoit rien.
-
Si le jaune sort, on est remboursé du prix de la partie.
-
Si le rose sort, on reçoit 10€.
Le forain veut attribuer le plus gros gain au secteur vert. Aidez le à choisir le gain du secteur
vert.
Exercice
8: Probabilité avec un dé truqué - variable
aléatoire • Première spécialité mathématiques S - ES - STI
On lance un dé truqué à $6$ faces numérotées de 1 à 6. Les faces de 1 à 5 ont la
même probabilité de sortir. La probabilité de la face 6 est le double de la probabilité de la face
5. On note $\rm X$ la variable aléatoire égale au numéro sorti.
-
Déterminer la loi de probabilité de $\rm X$.
-
Déterminer $\rm E(X)$.
Exercice
9: Probabilité - Nombre de chiffres bien placés dans un code -
variable
aléatoire • Première spécialité mathématiques S - ES - STI
Rose a oublié le code de son cadenas composé de 3 chiffres compris entre 0 et
9.
Elle essaye une combinaison au hasard.
On note X la variable aléatoire indiquant le nombre de chiffres bien placés.
Déterminer la loi de probabilité de X puis son espérance.
Exercice
10: Savoir calculer la variance et l'écart-type d'une variable
aléatoire • Première spécialité mathématiques S - ES - STI
Soit $X$ une variable aléatoire dont la loi de probabilité est donnée par:
| $x_i$ |
0 |
20 |
5 |
15 |
| ${\rm P(X=}x_i)$ |
0,5 |
0,1 |
0,2 |
0,2 |
-
Déterminer son espérance ${\rm E(X)}$. Interpréter.
-
Déterminer sa variance ${\rm V(X)}$ et son écart-type $\sigma({\rm X})$.
Exercice
11: Probabilité et investissement - variable
aléatoire • Première spécialité mathématiques S - ES - STI
Un trader a analysé plusieurs scénarios quant à l'évolution de deux actions notées A et B. On note
$X$
la variable aléatoire donnant l'évolution en euros de l'action A et $Y$ celle donnant l'évolution en
euros de l'action B. Voici les lois de probabilités de $X$ et de $Y$.
| Valeur de $X$ |
-50 |
0 |
10 |
40 |
| Probabilité |
0,1 |
0,3 |
0,5 |
0,1 |
| Valeur de $Y$ |
-30 |
10 |
30 |
| Probabilité |
0,3 |
0,4 |
0,3 |
-
Vérifier que $E(X) = E(Y)$. Interpréter.
-
Calculer $V(X)$ et $V(Y)$.
-
Le trader ne souhaite pas prendre trop de risques et décide d'investir sur l'action la
moins volatile. Quelle action lui conseillez-vous? Justifier.
Exercice
12: Probabilité - Rang de la première boule blanche tirée - variable
aléatoire • Première spécialité mathématiques S - ES - STI
On a placé dans une urne cinq boules indiscernables au toucher: 3 noires et 2
blanches.
On tire au hasard une à une toutes les boules de l'urne sans jamais les remettre.
On appelle $\rm R$ la variable aléatoire correspondant au rang de la première boule blanche tirée.
Déterminer la loi de probabilité de $\rm R$ puis son espérance.
Exercice
13: Probabilité conditionnelle, arbre, espérance maximum - Première
spécialité maths S - ES
- STI
Un jeu consiste à tirer successivement et sans remise 2 boules d'une urne. Pour jouer, il faut payer
3€ . Cette urne contient $k$ boules, avec $k\ge 10$, dont 7 noires. Les autres boules sont
blanches.
• Si aucune des boules tirées n'est noire, le joueur reçoit 3€.
• Si une seule boule est noire, le joueur reçoit 13€.
• Dans les autres cas, il ne reçoit rien.
On note $\rm X$, la variable aléatoire correspondant au gain algébrique du joueur.
-
Déterminer la loi de probabilité de $\rm X$.
-
Montrer que l'espérance ${\rm E(X)}=\dfrac{14(10k-79)}{k^2-k}$.
-
Déterminer $k$ de façon à ce que $\rm E(X)$ soit maximale.
Exercice
14: Probabilité - Trouver n pour que l'espérance soit positive -
variable
aléatoire • Première spécialité mathématiques S - ES - STI
Une urne contient $6$ boules blanches et $n$ boules rouges ($n$ est un nombre entier tel que $n
\geqslant 2$) toutes indiscernables au toucher.
Un joueur tire au hasard, successivement et sans remise, deux boules de l'urne.
Pour chaque boule blanche tirée, il gagne 2€, et pour chaque boule rouge, il perd 3€.
On appelle $X$ la variable aléatoire donnant le gain algébrique du joueur.
-
Quelles sont les différentes valeurs que peut prendre $X$ ?
-
Montrer que $P(X = -1) = \dfrac{12n}{(n + 6)(n+5)}$.
-
Déterminer la loi de probabilité de $X$.
-
Montrer que $E(X) = \dfrac{-6(n^2 + n - 20)}{(n+6)(n+5)}$.
-
Discuter selon la valeur de $n$ de intérêt de jouer à ce jeu.
Exercice
15: Probabilité - Espérance maximale - variable
aléatoire • Première spécialité mathématiques S - ES - STI
Un joueur pioche dans un jeu de $52$ cartes autant de cartes qu'il le désire sans les regarder.
Une fois qu'il a fini, il en prend connaissance.
S'il a tiré l'as de pique, il perd 10€. Sinon, il gagne 1€ par carte.
Combien doit-il piocher de cartes pour maximiser son gain moyen ? Combien peut-il alors espérer
gagner ?
Exercice
16: Probabilité - Espérance et diagramme de Venn (Patate) - variable
aléatoire • Première spécialité mathématiques S - ES - STI
Une entreprise fabrique des appareils susceptibles de présenter deux types de pannes notées A et
B.
On admettra que 5% des appareils sont concernés par la panne A, 3% par la panne B et 1% par les
deux.
On prélève au hasard un appareil dans la production. On note :
-
A l'événement : "L'appareil présente la panne A."
-
B l'événement : "L'appareil présente la panne B."
L'entreprise fabrique un grand nombre d'appareils par semaine. Chaque appareil a un coût de
fabrication
de 200€. La réparation d'une panne A coûte 60 euros à l'entreprise, la réparation d'une panne B
coûte 40
euros et la réparation des deux pannes coûte 100 euros.
On considère la variable aléatoire X qui, à chaque appareil, associe son prix de revient total (coût
de
fabrication et coût de la réparation éventuelle).
-
Établir le tableau de la loi de probabilité de la variable aléatoire X.
-
Calculer l'espérance E(X) de la variable aléatoire X. Interpréter.
Exercice
17: Probabilité - Jeu Crown and Anchor - Un classique! - variable
aléatoire • Première spécialité mathématiques S - ES - STI
The Crown and Anchor est un jeu d'argent qui date du XVIIIième siècle
qui
était pratiqué sur certains navires anglais.
Le jeu se joue avec trois dés cubiques identiques non pipés.
6 symboles sont dessinés sur les faces : un pique, un coeur, un trèfle, un carreau, une couronne et
une
ancre.
Un joueur mise 10€, sur un symbole et le croupier lance les trois dés.
Si le symbole joué ne sort pas, la mise est perdue, sinon le joueur récupère sa mise et gagne en
plus
autant de fois sa mise que le symbole apparaît.
Est-il intéressant de jouer un grand nombre de fois à ce jeu?
Exercice
18: Probabilité - Comment rendre un jeu équitable - variable
aléatoire • Première spécialité mathématiques S - ES - STI
Un sac contient une bille rouge, un certain nombre de billes bleues et deux fois plus de billes
noires
que de billes bleues.
Un joueur tire au hasard une bille. Si la bille est rouge, il gagne 10€. Si elle est bleue, il
gagne 3€ mais si la bille est noire, il perd 2€.
Combien faut-il mettre de billes bleues pour que le jeu soit équitable?
Exercice
19: Probabilité - Variable aléatoire - Espérance • Première
spécialité mathématiques S - ES - STI
-
On lance un dé cubique bien équilibré avec des faces numérotées de $1$ à $6$. On note
$X$ le
résultat. Calculer l'espérance de $X$.
-
Un professeur de philosophie a égaré son paquet de copies. Il décide de noter les élèves
en lançant pour chacun d'eux un dé à $6$ faces et en multipliant le résultat par $2$
puis en ajoutant $3$. A l'aide la question 1., donner la note moyenne obtenue avec ce
procédé.
Exercice
20: Probabilité - Variable aléatoire - Espérance • Première
spécialité mathématiques S - ES - STI
Une urne contient une boule rouge et $n$ boules blanches.
On tire successivement et avec remise deux boules de l'urne.
-
Exprimer en fonction de $n$ la probabilité des évènements suivants:
-
$M$ : "Les deux boules sont de la même couleur".
-
$N$ : " Les deux boules sont de couleur différente".
On pourra éventuellement s'aider d'un arbre.
-
On considère le jeu suivant: le joueur perd $(n + 1)^2$ euros si $M$ est réalisé et
gagne
$2(n
+ 1)^2$ euros
sinon. On appelle $X$ la variable aléatoire égale au gain (positif ou négatif) du
joueur.
-
Déterminer la loi de probabilité de $X$.
-
Démontrer que $\mathbb{E}(X) = -n^2 + 4n - 1$.
-
Pour quelles valeurs de $n$ le jeu est favorable au joueur?
-
Si on laisse choisir au joueur le nombre de boules blanches, que doit-il
répondre?
Exercice
21: Probabilité - Variable aléatoire - Espérance • Première
spécialité mathématiques S - ES - STI
On lance trois fois un dé bien équilibré à 6 faces, numérotées de $1$ à $6$.
On note respectivement $A$, $B$ et $C$ les résultats du premier, du deuxième et du troisième lancer.
On appelle $N$ la variable aléatoire égale au nombre de racines du trinôme $Ax^2 + Bx + C$.
Calculer espérance de $N$.
Exercice
22: Probabilité - Variable aléatoire - Espérance • Première
spécialité mathématiques S - ES - STI
Un joueur lance un dé cubique (bien équilibré) à $6$ faces numérotées de $1$ à $6$.
Tant que le joueur n'obtient pas un $1$, il a le choix entre arrêter le jeu ou continuer à lancer le
dé.
Il cumule alors ses résultats précédents avec le nouveau nombre obtenu sauf s'il lance un $1$.
Dans ce cas, il retombe à $0$.
-
Programmer ce jeu en Python.
-
Quelle stratégie doit-il employer pour obtenir en moyenne le meilleur score ?
On se place dans
le cas d'un univers fini.
