variable aléatoire première spé maths - loi de probabilité - espérance - variance

Conseils

variable aléatoire

Cours

Variable aléatoire - Loi de probabilité

, expliqué en vidéo

• Variable aléatoire

Définition

Exemple

Une urne contient 6 jetons, numérotés de 1 à 6 indiscernables au toucher. Un joueur pioche un jeton.

Si le numéro est pair, il gagne 1€.
S'il prélève le numéro 1, il gagne 10€.
Sinon il perd 4€.

Soit X la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur

Cela signifie qu'à chaque jeton, on associe le gain

• Loi de probabilité

Méthode Pour déterminer la loi de probabilité d'une variable aléatoire $\rm X$

On procède en 3 étapes

On trouve toutes les valeurs que peut prendre la variable aléatoire $\rm X$
Dans la suite, on appellera ces valeurs $\boldsymbol{x_1}$ ... $\boldsymbol{x_2}$
On détermine les probabilités correspondant à chacune de ces valeurs
c'est à dire que l'on détermine $\boldsymbol{p({\rm X}=x_1)}$ ... $\boldsymbol{p({\rm X}=x_2)}$

On résume ces calculs dans un tableau

Exemple

Une urne contient 6 jetons, numérotés de 1 à 6 indiscernables au toucher. Un joueur pioche un jeton.

Si le numéro est pair, il gagne 1€.
S'il prélève le numéro 1, il gagne 10€.
Sinon il perd 4€.

Soit $\rm X$ la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur

$\rm X$ peut donc prendre les valeurs -4, 1 et 10 avec les probabilités:
$\boldsymbol{\displaystyle p({\rm X}=-4)=\frac 26}$
$\boldsymbol{\displaystyle p({\rm X}=1)=\frac 36}$
$\boldsymbol{\displaystyle p({\rm X}=10)=\frac 16}$

On résume ces calculs dans un tableau:

$x_i$	$-4$	$1$	$10$
$p({\rm X}=x_i)$	$\boldsymbol{\dfrac 26}$	$\boldsymbol{\dfrac 36}$	$\boldsymbol{\dfrac 16}$

Cours

Espérance d'une variable aléatoire

, expliqué en vidéo

• Espérance d'une variable aléatoire

Définition

Interpréter l'espérance

Exemple

Une urne contient 6 jetons, numérotés de 1 à 6 indiscernables au toucher. Un joueur pioche un jeton.

Si le numéro est pair, il gagne 1€.
S'il prélève le numéro 1, il gagne 10€.
Sinon il perd 4€.

Soit $\rm X$ la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur

$\rm X$ peut donc prendre les valeurs $-4$, $1$ et $10$ avec les probabilités:
$\boldsymbol{\displaystyle p({\rm X}=-4)=\frac 26}$ $\boldsymbol{\displaystyle p({\rm X}=1)=\frac 36}$ $\boldsymbol{\displaystyle p({\rm X}=10)=\frac 16}$
On résume ces calculs dans un tableau:

$x_i$	$-4$	$1$	$10$
$p({\rm X}=x_i)$	$\boldsymbol{\dfrac 26}$	$\boldsymbol{\dfrac 36}$	$\boldsymbol{\dfrac 16}$

Donc $\displaystyle {\rm E(X)}=-4\times \frac 26+1\times \frac 36+10\times \frac 16=\frac 56$
Ce qui signifie qu'on peut espérer gagner $\displaystyle\frac 56$€ en moyenne par partie

•

Propriété de l'espérance ${\rm E}(a{\rm X}+b)$

•

Ne pas confondre

Ne pas confondre: L'espérance de gain et la probabilité de gagner

Exemple

•

Equitable

Cours

Variance - Ecart-type

, expliqué en vidéo

• variance & écart-type d'une variable aléatoire

Définition de la variance

Si on a une variable aléatoire $\rm X$ avec la loi de probabilité:

$x_i$	$x_1$	$x_2$	...	$x_n$
$p({\rm X}=x_i)$	$p_1$	$p_2$	...	$p_n$

La variance de $\rm X$, notée $\rm V(X)$ est égale à ${{\rm V(X)}=(x_1-{\rm E(X)})^2\times p_1+...+(x_n-{\rm E(X)})^2\times p_n}$

Définition de l'écart-type

Interpréter variance & écart-type

La variance et l'écart-type mesure la dispersion

Plus l'écart-type est grand, plus les valeurs prises par la variable aléatoire sont dispersées.
Plus l'écart-type est petit, moins les valeurs prises par la variable aléatoire sont dispersées.

On a exactement les mêmes propriétés avec la variance:

Plus la variance est grande, plus les valeurs prises par la variable aléatoire sont dispersées.
Plus la variance est petite, moins les valeurs prises par la variable aléatoire sont dispersées.

Exemple

Une urne contient 6 jetons, numérotés de 1 à 6 indiscernables au toucher. Un joueur pioche un jeton.

Si le numéro est pair, il gagne 1€.
S'il prélève le numéro 1, il gagne 10€.
Sinon il perd 4€.

Soit $\rm X$ la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur

$x_i$	$-4$	$1$	$10$
$p({\rm X}=x_i)$	$\boldsymbol{\dfrac 26}$	$\boldsymbol{\dfrac 36}$	$\boldsymbol{\dfrac 16}$

Donc $\displaystyle {\rm E(X)}=-4\times \frac 26+1\times \frac 36+10\times \frac 16=\frac 56$
Donc $\displaystyle {\rm V(X)}=\left(-4-\frac56\right)^2\times \frac 26+\left(1-\frac 56\right)^2\times \frac 36+\left(10-\frac 56\right)^2\times \frac 16=\frac {4710}{216}$
Donc $\displaystyle {\sigma{\rm (X)}=\sqrt{\rm V(X)}}\simeq 4,7$.

• Propriété de la variance

• Espérance, Variance, Ecart-type avec la calculatrice CASIO Graph 35 et 90

• Espérance, Variance, Ecart-type avec la calculatrice TI 82 83

Exercice 1: Variable aléatoire & Loi de probabilité - Espérance - Première spécialité maths S - ES - STI

La loi de probabilité d'une variable aléatoire $\rm X$ est donnée par le tableau suivant :

$x_i$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
${\rm P}({\rm X}=x_i)$	$0,1$	$0,3$	$0,15$	$0,4$	$0,05$

Déterminer : $\color{red}{\textbf{a. }} \rm P(X=1)$ $\color{red}{\textbf{b. }} \rm P(X\leqslant 4)$ $\color{red}{\textbf{c. }} \rm P(X\lt 4)$ $\color{red}{\textbf{d. }} \rm P(X\gt 2)$
Déterminer l'espérance $\rm E(X)$

Exercice 2: Variable aléatoire & Loi de probabilité - Espérance - Première spécialité maths S - ES - STI

$\rm X$ est la variable aléatoire donnant le nombre d'appels reçus à un standard téléphonique en 1 minute. Sa loi de probabilité est donnée par le tableau suivant :

$x_i$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
${\rm P}({\rm X}=x_i)$	$0,02$	$0,15$	$0,2$	$0,3$	$0,15$	$0,15$	$0,03$

Déterminer $\rm P(X\leqslant 2)$ et interpréter.
Déterminer $\rm P(2\leqslant X\leqslant 5)$ et interpréter.
Calculer la probabilité que le standard reçoive au moins 4 appels en 1 minute.
Déterminer l'espérance $\rm E(X)$. Interpréter.

Exercice 3: Variable aléatoire & Loi de probabilité - Espérance - Première spécialité maths S - ES - STI

La loi de probabilité d'une variable aléatoire $\rm X$ est donnée par le tableau suivant :

$x_i$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
${\rm P}({\rm X}=x_i)$	$0,4$	$0,05$	$....$	$0,2$	$0,1$

Déterminer la probabilité de l'événement $\rm (X\geqslant 3)$.
Quelle est la valeur manquante ?

Exercice 4: Variable aléatoire & Loi de probabilité - Espérance - Première spécialité maths S - ES - STI

On vous propose un jeu d'argent avec un dé truqué. La probabilité de chacune des faces est donnée par le tableau ci-dessous :

Face	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
Probabilité	$0,3$	$0,2$	$0,1$	$0,1$	$0,2$	$0,1$

Une partie coûte 5€.
$\bullet$ Si le joueur obtient 6, on lui donne 25 €.
$\bullet$ S'il obtient 3 ou 4 ou 5, on lui donne 5 €.
$\bullet$ Et sinon, on ne lui donne rien.
On note $\rm G$ la variable aléatoire donnant le gain du joueur (éventuellement négatif) en tenant compte du prix à payer pour jouer.

Déterminer la loi de probabilité de $\rm G$.
Ce jeu est-il équitable ?

Exercice 5: Variable aléatoire & Loi de probabilité - Espérance - Première spécialité maths S - ES - STI

G est la variable aléatoire qui donne le gain en euro d'un joueur à un jeu. La loi de probabilité de $\rm G$ est donnée par le tableau suivant :

$x_i$	$-10$	$0$	$5$	$10$	$20$
${\rm P}({\rm G}=x_i)$	$0,4$	$0,1$	$0,2$	$0,1$	$0,2$

Déterminer E(G)
Modifier la valeur -10 du tableau pour rendre le jeu équitable.
Proposer une autre méthode simple pour rendre le jeu équitable en modifiant tous les gains, sans que les gains soient tous nuls.

Exercice 6: Variable aléatoire & Loi de probabilité - Espérance - Première spécialité maths S - ES - STI

On tire une boule dans l'urne ci-dessous:

Si la boule tirée est bleue, on gagne 5 points. Si elle est rouge, on gagne 2 point sinon on perd 4 points. $\rm X$ est la variable aléatoire qui donne le nombre de points obtenus.

Déterminer la loi de probabilité de $\rm X$
Déterminer l'espérance de $\rm X$ et interpréter.

Exercice 7: Variable aléatoire & Loi de probabilité - Espérance - Première spécialité maths S - ES - STI

Une loterie organisée par une association sportive est constituée d'un ensemble de billets numérotés de 1 à 2000. Un des billets rapporte un lot de 1000 €, deux billets un lot 500 € et cinq billets un lot de 100 €. Le prix du billet est de 4 €. On achète un billet au hasard. X est la variable aléatoire qui donne le gain algébrique procuré par le billet.

Déterminer les valeurs prises par X en tenant compte du prix du billet.
Déterminer la loi de probabilité de X.
Calculer l'espérance mathématique de X. Qu'en concluez-vous ?
Pour être sûre de gagner, une personne achète tous les billets. Va-t-elle gagner ou perdre de l'argent et combien ?
Comparer à l'espérance de X.
L'association souhaite rendre le jeu équitable. Pour cela, l'association souhaite modifier le nombre total de billets en modifiant uniquement le nombre de billets qui ne rapportent aucun lot. Combien faut-il mettre de billets qui ne rapportent aucun lot pour rendre le jeu équitable ?

Exercice 8: Savoir calculer la variance et l'écart-type d'une variable aléatoire • Première spécialité mathématiques S - ES - STI

Soit $\rm X$ une variable aléatoire dont la loi de probabilité est donnée par:

$x_i$	$0$	$20$	$5$	$15$
${\rm P(X=}x_i)$	$0,5$	$0,1$	$0,2$	$0,2$

Déterminer son espérance ${\rm E(X)}$. Interpréter.
Déterminer sa variance ${\rm V(X)}$ et son écart-type $\sigma({\rm X})$.

Exercice 9: Loi de probabilité - Espérance - Première spécialité maths S - ES - STI

On vous propose le jeu suivant: Pour jouer, il faut payer 2€. Ensuite, on lance 3 fois de suite une pièce bien équilibrée. Chaque pile rapporte 3€ et chaque face fait perdre 2€.
On considère la variable aléatoire G égale au gain algébrique du joueur. Déterminer la loi de probabilité de G et son espérance.

Exercice 10: Variable aléatoire - Loi de probabilité - Espérance - Première spécialité mathématiques S - ES - STI

Un cube de 3 cm de côté est peint en bleu puis découpé en petits cubes identiques
de 1 cm de côté, comme indiqué sur la figure.

On place ces petits cubes dans un sac. Puis on tire au hasard un cube du sac. On s'intéresse à la variable aléatoire $\rm X$ correspondant au nombre de faces peintes en bleu du cube tiré. Déterminer la loi de probabilité de $\rm X$.

Exercice 11: Loi de probabilité du maximum de 2 dés - espérance • Première spécialité mathématiques S - ES - STI

On lance deux dés cubiques bien équilibrés dont les faces sont numérotées de 1 à 6. On note X la variable aléatoire égale à la somme des faces obtenue.

Déterminer la loi de probabilité de X.
Déterminer l'espérance de X. Interpréter.

Exercice 12: Loi de probabilité de l'écart de 2 dés • Espérance • Première spécialité mathématiques S - ES - STI

On lance deux dés cubiques bien équilibrés dont les faces sont numérotées de 1 à 6. On note X la variable aléatoire égale à l'écart entre les deux nombres sortis.

Déterminer la loi de probabilité de X.
Déterminer l'espérance de X. Interpréter.

Exercice 13: Loi de probabilité du maximum de 2 dés - espérance • Première spécialité mathématiques S - ES - STI

On lance deux dés cubiques bien équilibrés dont les faces sont numérotées de 1 à 6. On note X la variable aléatoire égale au plus grand des deux nombres sortis.

Déterminer la loi de probabilité de X.
Déterminer l'espérance de X. Interpréter.

Exercice 14: Variable aléatoire - espérance • Première spécialité mathématiques S - ES - STI

Une entreprise fabrique des tablettes de chocolats. Il y a deux chaînes de fabrication, la chaîne A et la chaîne B. À l'issue de la fabrication, certaines tablettes ont des défauts et ne sont pas commercialisables.

La chaîne A est lente mais fiable. La probabilité qu'une tablette de chocolat sur cette chaîne soit commercialisable est $0,98$.
La chaîne B est plus rapide mais moins fiable. La probabilité qu'une tablette de chocolat sur cette chaîne soit commercialisable est $0,95$.

La chaîne A fabrique le tiers de la production totale. À la fin d'une journée de fabrication, on prélève au hasard une tablette et on note :

A l'évènement « la tablette de chocolat provient de la chaîne de A »
C l'évènement « la tablette de chocolat est commercialisable ».

Traduire la situation à l'aide d'un arbre pondéré.
Calculer la probabilité que la tablette vienne de la chaîne A et soit commercialisable.
Déterminer la probabilité que la tablette soit commercialisable.
La chocolaterie gagne 0,10 euro par tablette commercialisable et perd 0,30 euro par tablette non commercialisable. Soit X la variable aléatoire égale au gain de la chocolaterie par tablette produite.
1. Déterminer la loi de probabilité de X.
2. Calculer l'espérance. Interpréter.

Exercice 15: Variable aléatoire - espérance • Première spécialité mathématiques S - ES - STI

On considère une variable aléatoire $\rm X$. Sachant que $\rm P(X = -1) = 3P(X = 1)$ et que $\rm E(X) = -1$, compléter le tableau de sa loi de probabilité ci-dessous :

$x_i$		$-1$	$1$	$2$
${\rm P(X=}x_i)$	$0,2$		$\phantom{-1}$	$0,16$

Exercice 16: Variable aléatoire - espérance • Première spécialité mathématiques S - ES - STI

Un élève doit répondre à un questionnaire à choix multiples composé de trois questions. Pour chaque question, quatre réponses sont proposées mais une seule à chaque fois est correcte. L'élève répond au hasard et on note $\rm X$ la variable aléatoire égale au nombre de bonnes réponses obtenues.

Établir la loi de probabilité de $\rm X$. On pourra s'aider d'un arbre.
Déterminer l'espérance de $\rm X$. Interpréter.
Chaque bonne réponse rapporte 1 point et chaque mauvaise réponse engendre une pénalité 0,5 point. On note $\rm Y$ la variable aléatoire donnant le score (éventuellement négatif) obtenu par l'élève. Établir la loi de probabilité de $\rm Y$ et calculer son espérance. Interpréter.

$x_i$	$-2$	$12$
$p({\rm G}=x_i)$	$\boldsymbol{\dfrac 56}$	$\boldsymbol{\dfrac 16}$

variable aléatoire première spé maths - loi de probabilité - espérance - variance - Exercices de base à savoir faire

Variable aléatoire - Loi de probabilité

Espérance d'une variable aléatoire

Propriété de l'espérance ${\rm E}(a{\rm X}+b)$

Ne pas confondre

Equitable

Variance - Ecart-type

Exercice 1: Variable aléatoire & Loi de probabilité - Espérance - Première spécialité maths S - ES - STI

Exercice 2: Variable aléatoire & Loi de probabilité - Espérance - Première spécialité maths S - ES - STI

Exercice 3: Variable aléatoire & Loi de probabilité - Espérance - Première spécialité maths S - ES - STI

Exercice 4: Variable aléatoire & Loi de probabilité - Espérance - Première spécialité maths S - ES - STI

Exercice 5: Variable aléatoire & Loi de probabilité - Espérance - Première spécialité maths S - ES - STI

Exercice 6: Variable aléatoire & Loi de probabilité - Espérance - Première spécialité maths S - ES - STI

Exercice 7: Variable aléatoire & Loi de probabilité - Espérance - Première spécialité maths S - ES - STI

Exercice 8: Savoir calculer la variance et l'écart-type d'une variable aléatoire • Première spécialité mathématiques S - ES - STI

Exercice 9: Loi de probabilité - Espérance - Première spécialité maths S - ES - STI

Exercice 10: Variable aléatoire - Loi de probabilité - Espérance - Première spécialité mathématiques S - ES - STI

Exercice 11: Loi de probabilité du maximum de 2 dés - espérance • Première spécialité mathématiques S - ES - STI

Exercice 12: Loi de probabilité de l'écart de 2 dés • Espérance • Première spécialité mathématiques S - ES - STI

Exercice 13: Loi de probabilité du maximum de 2 dés - espérance • Première spécialité mathématiques S - ES - STI

Exercice 14: Variable aléatoire - espérance • Première spécialité mathématiques S - ES - STI

Exercice 15: Variable aléatoire - espérance • Première spécialité mathématiques S - ES - STI

Exercice 16: Variable aléatoire - espérance • Première spécialité mathématiques S - ES - STI

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