jaicompris.com
Cours et exercices corrigés en vidéo
• Programmes de mathématiques
• Nathan Transmath Hyperbole
• Python
• Collège
Sixième
Cinquième
Quatrième
Troisième
• Seconde
• Première
Première Spécialité Mathématique
Première Tronc commun Maths
Première STMG
• Terminale
Terminale Spécialité Mathématique
Sujets de Bac Spé maths corrigés
Terminale STMG
Terminale Option Maths Complémentaires
Terminale Option Maths Expertes
Anciens programmes
• Prépa - Supérieur
Préparer sa rentrée en prépa
Première année L1 Prépa MPSI PCSI ECS
Deuxième année L2 Prépa MP PSI PC
• Questions fréquentes
☰
Seconde
Valeur absolue d'un nombre réel
Trustpilot
Trustpilot
Conseils
×
Il est important de regarder la vidéo de cours avant de faire les exercices
Puis faire les
exercices
Conseils pour
travailler efficacement
Conseils pour le
jour du Bac
Valeur absolue d'un nombre réel
Cours
Valeur absolue
expliquée en vidéo
Définition
La
valeur absolue
d'un réel $x$ est égale à la
distance
entre
zéro
et $x$
La
valeur absolue
correspond à la
distance
à
zéro
.
Notation
La
valeur absolue
de $x$ se note $|x|$.
Exemples
$|3|$
L'
écart
entre 0 et 3 est de 3. Donc $|3|=3$
$|-2|$
L'
écart
entre 0 et -2 est de 2. Donc $|-2|=2$
•
$|x|=$
Propriété
Si $x\geqslant 0$ alors $|x|=x$.
Si $x\leqslant 0$ alors $|x|=-x$
Si $x\leqslant 0$ alors $-x$ est positif. Et donc $|x|$ est
positive
!
la valeur absolue de $x$ est toujours positive, que $x$ soit positif ou négatif!
•
Courbe
$ \mbox{Car si} \left\{ \begin{array}{ll} x\geqslant 0 & \mbox{alors } |x|=x \\ x\leqslant 0 & \mbox{alors } |x|=-x \end{array} \right. $
•
$|-x|=$
Propriété
Pour tout $x$ réel, $|-x|=|x|$
Exemple
$|-5|$
$|-5|=|5|=5$
•
$|a-b|=$
Propriété
$|a-b|$ est égal à la distance entre $a$ et $b$
Pour interpréter, il faut absolument un
"$-$"
entre $a$ et $b$
$a$ et $b$ sont 2 réels quelconques.
Exemples
$|x-3|$
$|x-3|$ désigne l'écart entre $x$ et 3
et pas entre $x$ et -3 !
$|x+3|$
$|x+3|=|x-(-3)|$
Pour interpréter $|x+3|$, on commence par l'écrire à l'aide d'une soustraction $|... - ....|$
Puis ensuite on utilise la règle $|a-b|$ est égal à la distance entre $a$ et $b$.
Dans les exercices
Pour interpréter $|a+b|$
penser à faire apparaître une soustraction et à écrire $|a+b|=|a-(-b)|$ comme dans l'exemple ci-dessus.
• Lien entre
valeur absolue
et
racine carrée
Propriété
$\sqrt{x^2}=|x|$
$x$ désigne un réel quelconque.
Souvent les élèves pensent que $\sqrt{x^2}=x$
Cela n'est vrai que si $x\geqslant 0$
Si $x\leqslant 0$, $\sqrt {x^2}=-x$ !
Cours
Equation
et
inéquation
avec
valeur absolue
• $|x|=|y|$
Propriété
$|x|=|y|\Leftrightarrow x=y$ ou $x=-y$
Dire que $|x|=|y|$ signifie que $x$ et $y$ sont à la même distance de 0.
Donc soit $x$ et $y$ sont égaux, soit ils sont opposés. D'où cette règle!
$x$ et $y$ désignent des réels quelconques.
Exemple
Résoudre $|3-x|=|2x+5|$
$\begin{align} \phantom{\Leftrightarrow ~} & |3-x|=|2x+5| \\ \Leftrightarrow~ & 3-x=2x+5~ \mbox{ ou } ~3-x=-(2x+5) \\ \Leftrightarrow~ & -2=3x~ \mbox{ ou } ~x=-8\\ \Leftrightarrow~ & x=-\frac 23~ \mbox{ ou } ~x=-8\\ \end{align}$
On a utilisé la règle $|x|=|y|\Leftrightarrow x=y$ ou $x=-y$
• $|x-a|={\rm R}$
Propriété
$|x-a|={\rm R} \Leftrightarrow x-a={\rm R} \mbox{ ou } x-a=-{\rm R}$
$|x-a|={\rm R}$ signifie que $x$ est à une distance $\rm R$ de $a$
R étant un nombre
positif
• $|x-a|\leqslant {\rm R}$
Propriété
$|x-a|\leqslant {\rm R} \Leftrightarrow -{\rm R}\leqslant x-a\leqslant {\rm R}$
$|x-a|\leqslant {\rm R}$ signifie que $x$ est à une distance de $a$ inférieure ou égale à $\rm R$
R étant un nombre
positif
• $|x-a|\geqslant {\rm R}$
Propriété
$|x-a|\geqslant {\rm R} \Leftrightarrow x\leqslant a-{\rm R}$ ou $x\geqslant a+{\rm R}$
$|x-a|\geqslant {\rm R}$ signifie que $x$ est à une distance de $a$ supérieure ou égale à $\rm R$
R étant un nombre
positif
• $|x+y|=$
Souvent les élèves pensent que $\underbrace{|x+y|=|x|+|y|}_{\color{red}{\mbox{C'est faux!}}}$
En général, $|x+y|\ne |x|+|y|$
Exemple
$|7+(-3)|$
On n'a pas $\underbrace{|7+(-3)|}_{\displaystyle 4}=\underbrace{|7|+|-3|}_{\displaystyle 10}$
Car $|7+(-3)|=|7-3|=4$ et $|7|+|-3|=7+3=10$
En revanche, on a $|x+y|\leqslant |x|+|y|$
C'est ce que l'on appelle l'inégalité triangulaire
$x$ et $y$ désignent des réels quelconques.
Exercice 1: Calculer avec des valeurs absolues
Écrire les nombres suivants sans valeur absolue:
$\color{red}{\textbf{a. }} |-2|$
$\color{red}{\textbf{b. }} |\pi - 3|$
$\color{red}{\textbf{c. }} |\pi -4|$
$\color{red}{\textbf{d. }} |1-\sqrt 2|$
$\color{red}{\textbf{e. }} \displaystyle\left|\frac 2{\sqrt 3}-\sqrt 3\right|$
Exercice 2: Passer de valeur absolue à intervalle
Dans chaque cas, traduire la condition suivante à l'aide d'un intervalle :
$\color{red}{\textbf{a. }} |x-1|\leqslant 10^{-2}$
$\color{red}{\textbf{b. }} |x+2,5|\leqslant 2$
Exercice 3: Passer d'intervalle ou inégalité à valeur absolue
Dans chaque cas, traduire la condition suivante à l'aide d'une valeur absolue :
$\color{red}{\textbf{a. }} 2\leqslant x \leqslant 7$
$\color{red}{\textbf{b. }} x\in ]-4;10[$
Exercice 4: Résoudre des équations et inéquations avec valeur absolue
Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations et inéquations suivantes à l'aide d'un schéma:
$\color{red}{\textbf{a. }} |x-4|=3$
$\color{red}{\textbf{b. }} |x+5|\lt 2$
$\color{red}{\textbf{c. }} |1-x|\geqslant 2$
$\color{red}{\textbf{d. }} |x+6|=|x|$
Exercice 5: Résoudre des équations et inéquations avec valeur absolue
Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations et inéquations suivantes à l'aide d'un schéma:
$\color{red}{\textbf{a. }} |x+3|=-1$
$\color{red}{\textbf{b. }} |x|\gt 2$
$\color{red}{\textbf{c. }} |x+2|=|1-x|$
$\color{red}{\textbf{d. }} |x-3|\leqslant |x-1|$
Exercice 6: valeur absolue - exercice de révisions
Écrire sans valeur absolue $\left|\dfrac 2{\sqrt 3}-\sqrt 3\right|$.
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $|x+1|\leqslant 10^{-2}$.
Traduire à l'aide d'une valeur absolue la condition $y\in [2,4;2,6]$.
Exercice 7: Interpréter une inégalité à l'aide de la valeur absolue - Maths Seconde
Représenter l'ensemble des points M($x;y$) tels que $ \left\{ \begin{array}{rl} |x-2| & \leqslant 1 \\ |y+2| & \leqslant 3 \end{array} \right.$
Exercice 8: Vrai faux valeur absolue - Mathématiques - Seconde Maths
Pour chaque affirmation suivante, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier:
Pour tous réels $x$ et $y$, $|x+y|=|x|+|y|$
Si $|x|=|y|$ alors $x=y$
Si $|x|\leqslant |y|$ alors $x\leqslant y$
Si $x\leqslant y$ alors $|x|\leqslant |y|$
Ce site ne convient pas aux enfants de moins de 36 mois, sauf s'ils insistent vraiment.
Ne pas dépasser la dose prescrite.
Posologie: 1 fois
/
jour la semaine avant le contrôle.
L'efficacité du traitement dépend d'une prise régulière.
Effet secondaire: Peut procurer du plaisir surtout en cas de réussite !
En cas de persistance des difficultés, arrêter le traitement pendant une nuit, puis reprendre le lendemain.
© 2024 jaicompris.com · Cours & exercices de maths corrigés en vidéo
Trustpilot
Trustpilot