Calcul de puissances : cours et exercices corrigés en vidéo

Conseils

Calcul - Puissance d'un nombre

📘 Calcul de Puissances d'un nombre en Seconde : comprendre a^n, les exposants et les règles de calcul

Dans ce cours, nous allons découvrir les puissances d'un nombre et les règles de calcul avec les puissances.
Les puissances d'un nombre sont une notion essentielle en Seconde pour simplifier les calculs et savoir manipuler les exposants.

📌 Une puissance permet d'écrire simplement un produit répété. Par exemple, $\boldsymbol{7 \times 7 \times 7 \times 7}$ s'écrit plus simplement $\boldsymbol{7^4}$.

📌 Plus généralement, soit $a$ un nombre réel et $n$ un entier strictement positif : $$ \boldsymbol{a^n = \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_{n\ \text{fois}} }$$ Exemples $3^4=\underbrace{3\times 3}_9 \times \underbrace{3 \times 3}_9=81$

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📺 Le cours est expliqué en vidéo avec des exemples et un exercice corrigé pour t'entraîner 💪

📺 Comprendre les puissances d'un nombre (Seconde) 👇

📺 puissances négatives d'un nombre (Seconde) 👇

📺 Exercice type pour savoir calculer avec des puissances 👇

🎯 Objectif : savoir calculer et simplifier des expressions avec des puissances.

Pour toutes les règles de calcul ci-dessous, $a$ et $b$ sont des réels non nuls, $m$ et $n$ sont des entiers relatifs.

🎯 Exposant nul

$\boldsymbol{a^0=1}$ avec $\boldsymbol{a \neq 0}$

Exemples $5^0=1$

🎯 Exposant négatif

$\boldsymbol{a^{-n}=\dfrac 1{a^n}}$ avec $\boldsymbol{a \neq 0}$
Exemples $ 2^{-3}=\dfrac 1{2^3}=\dfrac 1{2\times 2\times 2}=\dfrac 18$

⚠️ Attention aux parenthèses

Ne pas confondre $(-2)^2$ et $-2^2$.

Sans les parenthèses, le signe $-$ n’est pas dans la puissance.

$(-2)^2=(-2)\times(-2)=4$

$-2^2=-2\times2=-4$

🎯 Produit de puissances de même base

${a^m \times a^n = a^{m+n}}$
Exemples $3^7\times 3^2$

$3^7\times 3^{-2}$

🎯 Quotient de puissances de même base

${\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}}$ avec ${a \neq 0}$
Exemples $\displaystyle \frac{7^5}{7^3}$

$\displaystyle\frac{7^3}{7^5}$

🎯 Puissance d’une puissance

${(a^m)^n = a^{mn}}$
Exemples $ \left(4^2\right)^3$

$ \left(4^2\right)^{-3}$

🎯 Produit de puissances de même exposant

$ a^m\times b^m=(ab)^m$
Exemple $4^3 \times 7^3$

🎯 Quotient de puissances de même exposant

$\dfrac{a^m}{b^m}={\left(\dfrac ab\right)}^m$
Exemple $ \dfrac {10^6}{5^6}$

🎯 Puissance négative d’un quotient

$ \left(\dfrac ab\right)^{-n}=\left(\dfrac ba\right)^{n}$
Exemple $ \left(\dfrac 34\right)^{-2}$

⚠️ Addition de puissances

Attention : on ne peut pas additionner les exposants dans une somme.

En général, $a^m+a^n\neq a^{m+n}$.

Contre-exemple

$2^3+2^2=8+4=12$, tandis que $2^{3+2}=2^5=32$.

Donc $2^3+2^2\neq2^{3+2}$.

📌 À savoir absolument

📌 À savoir absolument :

Lorsque $n\geqslant1$, $\displaystyle a^n=\underbrace{a\times\cdots\times a}_{n\ \text{fois}}$
Connaître les puissances particulières : $\boldsymbol{a^0=1}$, $\boldsymbol{a^1=a}$ et $\boldsymbol{a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}}$
Connaître les règles de calcul sur les puissances
Penser que ces règles de calcul s'utilisent dans les deux sens
Par exemple :
$ a^n\times a^m=a^{m+n}$
mais on peut l'utiliser dans l'autre sens :
$ a^{m+n}=a^n\times a^m$

📝 Exercices sur les puissances (a^n) : s'entraîner et appliquer les règles | Seconde

Pour bien maîtriser les puissances d'un nombre en Seconde, il est essentiel de s'entraîner avec des exercices variés. Voici des exercices corrigés pour apprendre à appliquer les règles de calcul sur les puissances.

Exercice 1: Puissance d'un nombre - exposant

Écrire sous forme d'un produit puis calculer:

$ \color{red}{\textbf{a. }} \ 2^5$ $\color{red}{\textbf{b. }} 10^3$ $\color{red}{\textbf{c. }} 0,3^3$ $\color{red}{\textbf{d. }} (-5)^2$ $\color{red}{\textbf{e. }} (-5)^3$

Exercice 2: Calculer avec des puissances - exposant

Écrire les expressions suivantes sous la forme $a^n$ avec $a$ et $n$ entiers:

$ \color{red}{\textbf{a. }} 5^7\times 5^{3}$ $\color{red}{\textbf{b. }} \left(5^7\right)^2$ $\color{red}{\textbf{c. }} \dfrac{5^7}{5^{3}}$ $\color{red}{\textbf{d. }} \dfrac{49^3}{7^{2}}$

Exercice 3: Calculer avec des puissances - exposant

Écrire les expressions suivantes sous la forme $a^n$ avec $a$ et $n$ entiers:

$ \color{red}{\textbf{a. }} \dfrac 1{5^4}$ $\color{red}{\textbf{b. }} \dfrac 1{5^{-4}}$ $\color{red}{\textbf{c. }} 7\times 7^3$ $\color{red}{\textbf{d. }} \left( \sqrt 2\right)^6$

Exercice 4: puissances avec exposant négatif

Écrire les expressions suivantes sans utiliser la notation puissance :

$ \color{red}{\textbf{a. }} 10^{-2}$ $\color{red}{\textbf{b. }} 5^{-1}$ $\color{red}{\textbf{c. }} 2^{-3}$ $\color{red}{\textbf{d. }} (-3)^{-3}$ $\color{red}{\textbf{e. }} 10^2+10^{-2}$ $\color{red}{\textbf{f. }} 2^{-1}+2^{-2}$ $\color{red}{\textbf{g. }} \left(\dfrac{5}{3}\right)^{-2}$

Exercice 5: calculer avec des puissances - mathématiques - seconde

$a$ désigne un réel non nul et $n$ un entier relatif. Écrire les expressions suivantes sous la forme $a^{\rm N}$ avec $\rm N$ entier.

$\color{red}{\textbf{a. }} \displaystyle(a^n)^4\times a^{n+4}$ $\color{red}{\textbf{b. }} \displaystyle\frac {a \times a^{3n}}{a^{2n}\times a^2}$ $\color{red}{\textbf{c. }} \displaystyle\frac{~~~~~~a~~~~~~}{\displaystyle\frac {a^{-3n}}{a^{2} } }$

Exercice 6: Savoir calculer avec des puissances - mathématiques - seconde - Simplifier - exposant

Soit $n$ un entier relatif. Écrire les expressions suivantes sous la forme $a^{\rm N}$ avec $a$ et $\rm N$ entiers.

$\color{red}{\textbf{a. }} 16^{5n}\times 4$ $\color{red}{\textbf{b. }} \displaystyle\frac{\left(5^{n+1}\right)^2}{5^{2n}}$ $\color{red}{\textbf{c. }} 2^{n+1}-2^n$ $\color{red}{\textbf{d. }} 2^{100}-2^{99}-2^{98}$

Exercice 7: Puissance d'un nombre - exposant

Exprimer chaque nombre à l'aide d'une puissance de $2$, de $3$ ou de $5$ :

$ \color{red}{\textbf{a. }} \ 25$ $\color{red}{\textbf{b. }} 64$ $\color{red}{\textbf{c. }} 81$ $\color{red}{\textbf{d. }} 729$ $\color{red}{\textbf{e. }} -9$ $\color{red}{\textbf{f. }} -625$ $\color{red}{\textbf{g. }} 1$ $\color{red}{\textbf{h. }} 256$

Exercice 8: Calculer avec des puissances - Exposant - Simplifier - Fraction

Écrire les expressions suivantes sous la forme $a^n$ avec $a$ entier et $n$ entier relatif:

$\color{red}{\textbf{a. }} 4^6\times 7^6$ $\color{red}{\textbf{b. }} 4^6\times 2^5$ $\color{red}{\textbf{c. }} \displaystyle\frac {5^{10}}{25^4}$ $\color{red}{\textbf{d. }} 100~000$

Exercice 9: Calculer avec des puissances négatives - Exposant - Simplifier - Fraction

Écrire les expressions suivantes sous la forme $a^n$ avec $a$ entier et $n$ entier relatif:

$\color{red}{\textbf{a. }} \displaystyle\frac{5^2}{5^{-2}}$ $\color{red}{\textbf{b. }} \displaystyle\frac {25^4}{5^{10}}$ $\color{red}{\textbf{c. }} \displaystyle\frac {1}{100~000}$ $\color{red}{\textbf{d. }} \displaystyle 0,00001$ $\color{red}{\textbf{e. }} \displaystyle\left(\frac {1}{16}\right) ^5$

Exercice 10: Puissance - mathématiques - seconde

Écrire les expressions suivantes sous la forme $a^n$ avec $a$ entier et $n$ entier relatif:

$\color{red}{\textbf{a. }} \displaystyle (3^4)^{-2}\times 9^6\times 27^{-2}$ $\color{red}{\textbf{b. }} \displaystyle 21^3\times \frac{28^5}{27\times 49^4}$ $\color{red}{\textbf{c. }} \displaystyle\frac{12^{60}}{4^{30}\times 6^{30}}$

Exercice 11: énigme mathématiques - Puissance d'un nombre - exposant

Déterminer le nombre de chiffres de $8^{10}\times 5^{23}$

Exercice 12: Vrai/Faux Logique - Puissance mathématiques - seconde

$\displaystyle 7^{16}= 7^8\times 7^2$
$7^{11}+7^5=7^{16}$
$2^5-2^4=2^4$
$\dfrac {7^{18}}{7^2}=7^9$
$2^{-4}=0,0002$

Exercice 13: Puissance négative - mathématiques Seconde

Écrire sous la forme d'un produit ou de quotient de nombre premier avec un exposant positif:

$\color{red}{\textbf{a. }} \displaystyle 21\times \left( \frac 32\right)^{-2}$ $\color{red}{\textbf{b. }} \displaystyle 10^3\times \left( -\frac 53 \right)^{-1}$

Exercice 14: Puissance négative - mathématiques Seconde - Simplifier - exposant

Simplifier et donner le résultat sous la forme d'un produit ou un quotient de puissances avec un exposant positif:

$\color{red}{\textbf{a. }} \displaystyle \frac{(a^2b)^{-3}\times c^2}{ab^{-3}}$ $\color{red}{\textbf{b. }} \displaystyle \frac{(-a)^3\times c(-b)^{-1}}{ab}$

Exercice 15: Démonstration cours - Mathématiques - Seconde

Soit $a$ et $b$ réels non nuls et $n$ un entier relatif. On rappelle que $\displaystyle a^{-n}=\frac 1{a^n}$ et $\displaystyle\left(\frac ab\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$
Démontrer à l'aide du rappel que $\displaystyle\left(\frac ab\right)^{-n}=\left(\frac ba\right)^n$

Exercice 16: Algorithmique - python - seconde - pliage d'une feuille de papier et tour Eiffel

On dispose d'une feuille de papier d'épaisseur 0,1 mm.
Combien de fois doit-on la plier au minimum pour que l'épaisseur dépasse la hauteur de la tour Eiffel 324 m.
Écrire un programme en Python pour résoudre ce problème.

Exercice 17: Algorithmique - python - seconde - Pourcentage et taux d'intérêt

Aujourd'hui un appartement vaut $100~000$€. Sa valeur augmente de $1\%$ chaque année.

Écrire un programme en Python pour connaître sa valeur au bout de $10$ ans.
Écrire un programme en Python pour savoir au bout de combien d'années sa valeur aura doublé.

🎥 10 ans de collaboration avec les éditions Nathan

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Calcul de Puissances d'un nombre (a^n) : définition, calcul et exposants | Cours Seconde

📘 Calcul de Puissances d'un nombre en Seconde : comprendre a^n, les exposants et les règles de calcul

🎯 Exposant nul

🎯 Exposant négatif

⚠️ Attention aux parenthèses

🎯 Produit de puissances de même base

🎯 Quotient de puissances de même base

🎯 Puissance d’une puissance

🎯 Produit de puissances de même exposant

🎯 Quotient de puissances de même exposant

🎯 Puissance négative d’un quotient

⚠️ Addition de puissances

📌 À savoir absolument

📝 Exercices sur les puissances (a^n) : s'entraîner et appliquer les règles | Seconde

Exercice 1: Puissance d'un nombre - exposant

Exercice 2: Calculer avec des puissances - exposant

Exercice 3: Calculer avec des puissances - exposant

Exercice 4: puissances avec exposant négatif

Exercice 5: calculer avec des puissances - mathématiques - seconde

Exercice 6: Savoir calculer avec des puissances - mathématiques - seconde - Simplifier - exposant

Exercice 7: Puissance d'un nombre - exposant

Exercice 8: Calculer avec des puissances - Exposant - Simplifier - Fraction

Exercice 9: Calculer avec des puissances négatives - Exposant - Simplifier - Fraction

Exercice 10: Puissance - mathématiques - seconde

Exercice 11: énigme mathématiques - Puissance d'un nombre - exposant

Exercice 12: Vrai/Faux Logique - Puissance mathématiques - seconde

Exercice 13: Puissance négative - mathématiques Seconde

Exercice 14: Puissance négative - mathématiques Seconde - Simplifier - exposant

Exercice 15: Démonstration cours - Mathématiques - Seconde

Exercice 16: Algorithmique - python - seconde - pliage d'une feuille de papier et tour Eiffel

Exercice 17: Algorithmique - python - seconde - Pourcentage et taux d'intérêt

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