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Seconde
Intervalle de $\mathbb{R}$ - intersection et réunion
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Intervalle de $\mathbb{R}$ - intersection et réunion
Cours
Les intervalles
, expliqués en 7 min !
Cours
Intersection et réunion d'intervalles
, expliqués en 6 min !
•
$[a;b]$
Définition
${[a;b]}$ désigne tous les nombres compris entre $a$ et $b$
inclus
avec $a\leqslant b$
$a$ et $b$ s'appellent les
bornes
de l'intervalle
Lorsqu'un
crochet
"[" est tourné vers l'
intérieur
la borne est
incluse
.
Exemples
$[-2;5]$
$[-2;5]$ se lit
"L'intervalle -2 5 inclus"
et désigne tous les nombres compris entre -2 et 5 inclus.
Dans les exercices
${x\in [a;b]}$
signifie que
${a\leqslant x \leqslant b}$
Ne pas oublier que le symbole
$\boldsymbol\in$
signifie "appartient".
•
$[a;b[$
Définition
${[a;b[}$ désigne tous les nombres compris entre $a$ et $b$ avec $a$
inclus
et $b$
exclu
avec $a\leqslant b$
$a$ et $b$ s'appellent les
bornes
de l'intervalle
Lorsqu'un
crochet
est tourné vers l'
intérieur
la borne est
incluse
.
Lorsqu'un
crochet
est tourné vers l'
extérieur
la borne est
exclue
.
Exemples
$[-2;5[$
$[-2;5[$ se lit
"L'intervalle -2 5, -2 inclus, 5 exclu"
et désigne tous les nombres compris entre -2 et 5, -2 inclus et 5 exclu.
Dans les exercices
${x\in [a;b[}$
signifie que
${a\leqslant x \lt b}$
Ne pas oublier que le symbole
$\boldsymbol\in$
signifie "appartient".
•
$[a;+\infty[$
Définition
${[a;+\infty[}$ désigne tous les nombres supérieurs ou égaux à $a$
On ne dit pas de $a$ à $+\infty$. Car l'infini n'est pas un nombre.
L'infini est toujours exclu
Le crochet est donc toujours tourné vers l'extérieur en l'infini.
Exemples
$[-2;+\infty[$
$[-2;+\infty[$ se lit
"L'intervalle -2 +l'infini, -2 inclus"
et désigne tous les nombres supérieurs ou égaux à -2.
Dans les exercices
${x\in [a;+\infty[}$
signifie que
${x\geqslant a}$
Ne pas oublier que le symbole
$\boldsymbol\in$
signifie "appartient".
•
$]a;+\infty[$
Définition
${]a;+\infty[}$ désigne tous les nombres strictement supérieurs à $a$
On ne dit pas de $a$ à $+\infty$. Car l'infini n'est pas un nombre.
L'infini est toujours exclu
Le crochet est donc toujours tourné vers l'extérieur en l'infini.
Exemples
$]-2;+\infty[$
$]-2;+\infty[$ se lit
"L'intervalle -2 +l'infini, -2 exclu"
et désigne tous les nombres strictement supérieurs à -2.
Dans les exercices
${x\in ]a;+\infty[}$
signifie que
${x\gt a}$
Ne pas oublier que le symbole
$\boldsymbol\in$
signifie "appartient".
•
$]-\infty;a]$
Définition
${]-\infty;a]}$ désigne tous les nombres inférieurs ou égaux à $a$
On ne dit pas de $-\infty$ à a. Car l'infini n'est pas un nombre.
L'infini est toujours exclu
Le crochet est donc toujours tourné vers l'extérieur en l'infini.
Exemples
$]-\infty;3]$
$]-\infty;3]$ se lit
"L'intervalle -l'infini 3, 3 inclus"
et désigne tous les nombres inférieurs ou égaux à 3.
Dans les exercices
${x\in ]-\infty;a]}$
signifie que
${x\leqslant a}$
Ne pas oublier que le symbole
$\boldsymbol\in$
signifie "appartient".
• Ne pas confondre $[a;b]$ et $\{a;b\}$
$[a;b]$ désigne tous les nombres compris entre $a$ et $b$
Il y a donc une infinité de nombres dans l'intervalle $[a;b]$
$\{a;b\}$ désigne uniquement les nombres $a$ et $b$
L'ensemble $\{a;b\}$ ne contient que 2 nombres: $a$ et $b$
• $\rm A\cap B$
$\rm A\cap B$ désigne les éléments qui sont à la fois dans $A$ et $B$
$\rm A$ et $\rm B$ sont deux
ensembles
.
$\rm A\cap B$ se lit "A inter B"
inter pour intersection, qui sont dans les 2
Méthode pour déterminer $\rm A\cap B$
Représenter chaque intervalle sur une droite avec une
couleur différente
L'intersection correspond à la zone où il y a les
2 couleurs
.
Exemple
Déterminer $[1;4]\cap [-2;3[$
On en déduit que: $[1;4]\cap [-2;3[=[1;3[$
La zone où il y a les
deux
couleurs
• $\rm A\cup B$
$\rm A\cup B$ désigne les éléments qui au moins dans $\rm A$ ou $\rm B$
$\rm A$ et $\rm B$ sont deux
ensembles
.
$\rm A\cup B$ se lit "A union B"
union pour réunion, qui réunit les 2 ensembles.
Méthode pour déterminer $\rm A\cup B$
Représenter chaque intervalle sur une droite avec une
couleur différente
La réunion correspond à la zone où il y a
au moins
une des 2 couleurs.
Exemple
Déterminer $[1;4]\cup [-2;3[$
On en déduit que: $[1;4]\cup [-2;3[=[-2;4]$
$\rm A\cup B$ correspond à la zone où il y a au moins une des deux couleurs rouge ou bleu.
Exercice 1: intersection et réunion d'intervalles
Dans chaque cas, déterminer $\rm I\cap J$ et $\rm I\cup J$:
$\rm I=]2;5]$ et $\rm J=[-3;4[$
$\rm I=]2;5]$ et $\rm J=]-\infty;4]$
Exercice 2: intersection et réunion d'intervalles
Dans chaque cas, déterminer $\rm I\cap J$ et $\rm I\cup J$:
$\rm I=[-5;-2[$ et $\rm J=[-4;6[$
$\rm I=]-\infty;4]$ et $\rm J=[-5;+\infty[$
$\rm I=]6;+\infty[$ et $\rm J=[-4;+\infty[$
Exercice 3: intersection et réunion d'intervalles
Dans chaque cas, déterminer l'intersection et la réunion des intervalles $\rm I$ et $\rm J$:
$\rm I=]-4;7]$ et $\rm J=]-\infty;2[$
$\rm I=]-5;3[$ et $\rm J=[3;+\infty[$
$\rm I=]-5;3[$ et $\rm J=]3;+\infty[$
Exercice 4: intersection et la réunion de deux intervalles
Dans chaque cas, déterminer $\rm I\cap J$ et $\rm I\cup J$:
$\displaystyle\rm I=\left[\frac 23;\frac 34\right]$ et $\displaystyle\rm J=\left]\frac 57;\frac 45\right]$
$\displaystyle\rm I=\left[\frac 23;\frac 45\right]$ et $\displaystyle\rm J=\left]\frac 57;\frac 34\right]$
Exercice 5: Traduire à l'aide d'intervalle - seconde
Traduire les inégalités suivantes à l'aide d'un intervalle ou d'une réunion d'intervalles:
$-3\lt x \leqslant 5$
$x \leqslant 5$
$-3\lt x$
$x\lt -3$ ou $x \geqslant 5$
Tous les niveaux couverts
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Lycée
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Ne pas dépasser la dose prescrite.
Posologie: 1 fois
/
jour la semaine avant le contrôle.
L'efficacité du traitement dépend d'une prise régulière.
Effet secondaire: Peut procurer du plaisir surtout en cas de réussite !
En cas de persistance des difficultés, arrêter le traitement pendant une nuit, puis reprendre le lendemain.
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