Intervalles de R - Intersection et réunion - Cours et exercices Seconde

Conseils

Intervalles de $\mathbb{R}$ - Intersection et réunion

Dans cette page, nous allons découvrir les intervalles de $\mathbb{R}$ : la façon de les noter avec des crochets [a;b] et de les représenter sur une droite graduée.

👉 Nous verrons comment passer d'une inégalité à un intervalle.

👉 Enfin, nous apprendrons à déterminer l'intersection et la réunion de deux intervalles.

💡 Commençons par une idée simple

Un intervalle contient tous les nombres situés entre deux bornes.

$[-2;5]$

désigne tous les nombres compris entre $-2$ et $5$, bornes incluses.

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🎯 Intervalles [a;b]

Soient $a$ et $b$ deux nombres réels avec $a\leqslant b$.

$[a;b]$ : désigne tous les nombres compris entre $a$ et $b$ inclus

$x\in[a;b]\Longleftrightarrow a\leqslant x\leqslant b$
Ce qui veut dire :
Dire que $x$ appartient à l'intervalle [a;b] signifie que $x$ est compris entre $a$ et $b$.

Exemples $[-2;5]$
$[-2;5]$ se lit "L'intervalle -2 5 inclus" et désigne tous les nombres compris entre -2 et 5 inclus.

Ne pas confondre $\{a;b\}$ et $[a;b]$

$[3;5]$ contient une infinité de nombres, tous les nombres compris entre $3$ et $5$.
$\{3;5\}$ contient uniquement les deux nombres $3$ et $5$.

🎯 Intervalles [a;b[ ]a;b[

Soient $a$ et $b$ deux nombres réels avec $a\leqslant b$.

$[a;b[$ : désigne tous les nombres compris entre $a$ et $b$ avec $a$ inclus et $b$ exclu

💡 Un crochet tourné vers l'intérieur signifie que la borne est incluse ; tourné vers l'extérieur, elle est exclue.
- $[-2;5[$ se lit "L'intervalle -2 5, -2 inclus, 5 exclu" et désigne tous les nombres compris entre -2 et 5 avec -2 inclus et 5 exclu.
- ${x\in [a;b[}$ signifie que ${a\leqslant x \lt b}$
  Ne pas oublier que le symbole $\boldsymbol\in$ signifie "appartient".
$]a;b]$ : $a$ est exclu et $b$ est inclus.
$x\in]a;b]\Longleftrightarrow a<x\leqslant b$.
$]a;b[$ : $a$ et $b$ sont exclus.
$x\in]a;b[\Longleftrightarrow a<x<b$.

🎯 Intervalles avec l'infini

$x\in[a;+\infty[$ désigne tous les nombres supérieurs ou égaux à $a$
On ne dit pas de $a$ à $+\infty$. Car l'infini n'est pas un nombre.

⚠️ Pour indiquer que l'infini ne s’arrête jamais, l'infini est toujours exclu : donc avec l'infini, le crochet est toujours tourné vers l'extérieur.
- $[-2;+\infty[$ se lit "L'intervalle -2 +l'infini avec -2 inclus" et désigne tous les nombres supérieurs ou égaux à -2.
- ${x\in [a;+\infty[}$ signifie que ${x\geqslant a}$
  Ne pas oublier que le symbole $\boldsymbol\in$ signifie "appartient".
$x\in]a;+\infty[\Longleftrightarrow x>a$.
$x\in]-\infty;a]\Longleftrightarrow x\leqslant a$.
$x\in]-\infty;a[\Longleftrightarrow x<a$.

🎯 Intersection de deux ensembles

Ce qu'on va expliquer est valable pour les ensembles et donc aussi pour les intervalles qui sont des ensembles.

👉 $\rm A\cap B$ désigne les éléments qui sont à la fois dans $\rm A$ et dans $\rm B$.

$\rm A\cap B$ se lit « A inter B ».

Méthode pour déterminer $\rm A\cap B$ : représenter sur une même droite, les deux intervalles avec deux couleurs différentes. L'intersection est la zone où il y a les deux couleurs .

✏️ Exemple

$[1;4]\cap[-2;3[=[1;3[$

🎯 Réunion de deux intervalles

👉 $\rm A\cup B$ désigne les éléments qui appartiennent à au moins l'un des deux ensembles $\rm A$ ou $\rm B$.

$\rm A\cup B$ se lit « A union B ».

Méthode pour déterminer $\rm A\cup B$ : représenter les deux intervalles avec deux couleurs différentes. La réunion est toute la zone où apparaît au moins une des deux couleurs.

✏️ Exemple

$[1;4]\cup[-2;3[=[-2;4]$

$\rm A\cup B$ correspond à la zone où il y a au moins une des deux couleurs rouge ou bleu. On en déduit que: $[1;4]\cup [-2;3[=[-2;4]$

📌 À retenir

Crochet vers l'intérieur : borne incluse.
Crochet vers l'extérieur : borne exclue.
$+\infty$ et $-\infty$ sont toujours exclus.
Intersection $\boldsymbol{\cap}$ : ET (éléments communs).
Réunion $\boldsymbol{\cup}$ : OU (au moins un des deux).
Moyen mnémotechnique :
Le symbole $\cup$ ressemble à un U comme Union.

Dans ce tableau, on suppose que $a\lt b$.

Intervalle $a\lt b$	Représentation	Inégalité
$[a;b]$		$a\leqslant x\leqslant b$
$[a;b[$		$a\leqslant x\lt b$
$]a;b]$		$a\lt x\leqslant b$
$]a;b[$		$a\lt x\lt b$
$[a;+\infty[$		$x\geqslant a$
$]a;+\infty[$		$x\gt a$
$]-\infty;a]$		$x\leqslant a$
$]-\infty;a[$		$x\lt a$

💡 Teste l'intersection et la réunion d'intervalles

Application GeoGebra intersection d'intervalles

Application GeoGebra réunion d'intervalles

Exercice 1: intersection et réunion d'intervalles

Dans chaque cas, déterminer $\rm I\cap J$ et $\rm I\cup J$:

$\rm I=]2;5]$ et $\rm J=[-3;4[$
$\rm I=]2;5]$ et $\rm J=]-\infty;4]$

Exercice 2: intersection et réunion d'intervalles

Dans chaque cas, déterminer $\rm I\cap J$ et $\rm I\cup J$:

$\rm I=[-5;-2[$ et $\rm J=[-4;6[$
$\rm I=]-\infty;4]$ et $\rm J=[-5;+\infty[$
$\rm I=]6;+\infty[$ et $\rm J=[-4;+\infty[$

Exercice 3: intersection et réunion d'intervalles

Dans chaque cas, déterminer l'intersection et la réunion des intervalles $\rm I$ et $\rm J$:

$\rm I=]-4;7]$ et $\rm J=]-\infty;2[$
$\rm I=]-5;3[$ et $\rm J=[3;+\infty[$
$\rm I=]-5;3[$ et $\rm J=]3;+\infty[$

Exercice 4: intersection et la réunion de deux intervalles

Dans chaque cas, déterminer $\rm I\cap J$ et $\rm I\cup J$:

$\displaystyle\rm I=\left[\frac 23;\frac 34\right]$ et $\displaystyle\rm J=\left]\frac 57;\frac 45\right]$
$\displaystyle\rm I=\left[\frac 23;\frac 45\right]$ et $\displaystyle\rm J=\left]\frac 57;\frac 34\right]$

Exercice 5: Traduire à l'aide d'intervalle - seconde

Traduire les inégalités suivantes à l'aide d'un intervalle ou d'une réunion d'intervalles:

$-3\lt x \leqslant 5$
$x \leqslant 5$
$-3\lt x$
$x\lt -3$ ou $x \geqslant 5$

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🎯 Intersection de deux ensembles

✏️ Exemple

🎯 Réunion de deux intervalles

✏️ Exemple

📌 À retenir

Exercice 1: intersection et réunion d'intervalles

Exercice 2: intersection et réunion d'intervalles

Exercice 3: intersection et réunion d'intervalles

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