Position relative des courbes de deux fonctions - Méthode f(x)-g(x)

Conseils

📘 Position relative des courbes de deux fonctions (Seconde) : cours, méthode avec f(x)-g(x)

📌 Étudier la position relative des courbes de deux fonctions $f$ et $g$, c'est chercher quelle courbe est au-dessus de l'autre.

Cela revient à se poser la question :
👉 Quand a-t-on $\boldsymbol{f(x) \geqslant g(x)}$ ?
👉 Autrement dit, quand a-t-on $\boldsymbol{f(x)-g(x)\geqslant 0}$ ?

📌 Concrètement, en exercice, on procède en 4 étapes :

Calculer $\boldsymbol{f(x)-g(x)}$
Factoriser au maximum $\boldsymbol{f(x)-g(x)}$
Dresser le tableau de signes de $\boldsymbol{f(x)-g(x)}$
Conclure :
- $\boldsymbol{f(x)-g(x)\gt 0}$ → la courbe de $f$ est au-dessus de celle de $g$
- $\boldsymbol{f(x)-g(x)\lt 0}$ → la courbe de $f$ est en dessous de celle de $g$
- $\boldsymbol{f(x)-g(x)=0}$ → les deux courbes se coupent

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📺 Savoir étudier la position relative des courbes de deux fonctions 👇

🎯 Objectif : savoir étudier le signe de $f(x)-g(x)$ pour comparer deux courbes.

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✏️ Exercices : position relative des courbes de deux fonctions (Seconde) - méthode f(x)-g(x), tableau de signes et erreurs à éviter

Exercice 1: étudier la position relative de deux courbes de fonctions - seconde

On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2-6x+1$ et $g(x)=1-x^2$.
Étudier la position relative des courbes de $f$ et $g$ notées respectivement $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$.

Exercice 2: position relative de x et x² - seconde

On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x$ et $g(x)=x^2$.
Étudier la position relative des courbes de $f$ et $g$, notées respectivement $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$.

Exercice 3: position relative de x et x au cube - seconde

On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x$ et $g(x)=x^3$.
Étudier la position relative des courbes représentatives de $f$ et $g$, notées respectivement $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$.

Exercice 4: étudier la position relative de deux courbes de fonctions - seconde

On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=-x^2+x+2$ et $g(x)=x-2$. Les courbes de $f$ et $g$ sont notées respectivement $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$. On a représenté ci-dessous $\mathscr{C}_f$ :

1. Tracer la courbe de $g$ sur ce graphique.
2. En déduire graphiquement la position relative des courbes de $f$ et $g$.
Déterminer algébriquement la position relative des courbes de $f$ et $g$.

Exercice 5: étudier la position relative de deux courbes de fonctions - seconde

On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2+3x-3$ et $g(x)=2x-1$. On a représenté ci-dessous les courbes de $f$ et $g$ notées respectivement $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$ :

$position relative de 2 courbes$

Déterminer graphiquement la position relative des courbes de $f$ et $g$.
1. Montrer que pour tout $x$ réel, $x^2+x-2=(x-1)(x+2)$.
2. À l'aide de la question précédente, refaire la question 1. algébriquement.

Exercice 6: position relative de x et fonction inverse - seconde

On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ par $f(x)=x$ et $g(x)=\dfrac{1}{x}$.
Étudier la position relative des courbes représentatives de $f$ et $g$, notées respectivement $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$.

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