Inéquations & Tableau de signes

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Inéquation & Tableau de signes

Cours complet

pour savoir une inéquation

(en 8 min !)

Méthode pour résoudre une inéquation

Pour résoudre une inéquation du type $\rm A\geqslant B$:

Écrire l'inéquation sous la forme $.....\geqslant 0$
On dit qu'on se "ramène" à zéro. de façon à avoir zéro dans le membre de droite.
Puis factoriser au maximum le membre de gauche de l'inégalité: $\underbrace{.........}_{\mbox{Factoriser}}\geqslant 0$

S'il y a des fractions, mettre au même dénominateur avant de factoriser.
Dans un tableau, on étudie le signe de chaque facteur séparément $\underbrace{...............}_{\mbox{Tableau de signe}}\geqslant 0$
On trouve le signe final sur la dernière ligne du tableau, à l'aide de la règle des signes
On lit les solutions dans le tableau de signe.

Exemple Résoudre dans $\mathbb{R}$, $~10x\geqslant 2x^2$

On écrit l'inéquation sous la forme $10x-2x^2\geqslant 0$
On dit qu'on s'est "ramèné" à zéro. de façon à avoir zéro dans le membre de droite.
Puis on factorise au maximum le membre de gauche de l'inégalité: $10x-2x^2=x(10-2x)$

S'il y avait eu des fractions, il aurait fallu mettre au même dénominateur avant de factoriser.
Puis on dresse le tableau de signe: $\underbrace{...............}_{\mbox{Tableau de signe}}\geqslant 0$
Puis on trouve le signe final avec la règle des signes:
On lit les solutions dans le tableau de signe: $\mathscr{S}=[0;5]$
Car on voulait que $x(10-2x)$ soit positif. On cherche donc les + sur la dernière ligne. Et on lit les solutions correspondantes sur la première ligne !

Ancien cours

Exercice 1: Résoudre des inéquations à l'aide d'un tableau de signes - seconde

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les inéquations suivantes:

$\color{red}{\textbf{a. }} 5x\leqslant 2x^2$ $\color{red}{\textbf{a. }} 3x\leqslant 4x^2$ $\color{red}{\textbf{b. }} (2x+7)(x+5)>(4x+5)(x+5)$

Exercice 2: Ne pas confondre la méthode pour résoudre des équations et des inéquations - seconde

Résoudre dans $\mathbb{R}$:

$\color{red}{\textbf{a. }} 5x^2=2x$ $\color{red}{\textbf{b. }} 5x^2\lt 2x$

Exercice 3: Résoudre des inéquations à l'aide d'un tableau de signes - erreur classique seconde

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les inéquations suivantes:

$\color{red}{\textbf{a. }} (2x+6)(1-x)\geqslant 0$ $\color{red}{\textbf{b. }} (2x+6)+(1-x)\geqslant 0$

Exercice 4: Résoudre des inéquations à l'aide d'un tableau de signes - seconde

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les inéquations suivantes:

$\color{red}{\textbf{b. }} x\leqslant x^2$ $\color{red}{\textbf{c. }} 4x\gt x^3$

Exercice 5: Résoudre des inéquations à l'aide d'un tableau de signes - seconde

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $1-2x \geqslant 5$:

sans utiliser un tableau de signes.
à l'aide un tableau de signes.

Exercice 6: Erreur à ne pas faire pour résoudre des inéquations - seconde

Expliquer pourquoi le calcul ci-dessous vu dans une copie est faux puis corriger.

Exercice 7: Résoudre des inéquations à l'aide d'un tableau de signes - seconde

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les inéquations suivantes:

$\color{red}{\textbf{a. }} x^2>16$ $\color{red}{\textbf{b. }} (1-2x)^2\leqslant 25$ $\color{red}{\textbf{b. }} (1-2x)^2\leqslant (4x-3)^2$

Exercice 8: Résoudre des inéquations à l'aide d'un tableau de signes - seconde

Montrer que pour tout $x$ réel: $x^2+x-2=(x-1)(x+2)$
En déduire les solutions de l'inéquation $x^2\geqslant 2-x$.

Exercice 9: Résoudre une inéquation à l'aide d'un tableau de signe - seconde

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les inéquations suivantes:

$\color{red}{\textbf{a. }} (2x+1)(3-x)\lt (3-x)^2$ $\color{red}{\textbf{b. }} (x+3)^2\leqslant (7-3x)^2$

Exercice 10: Résoudre une inéquation graphiquement et par le calcul - seconde

On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2+3x-3$ et $g(x)=2x-1$ et on a représenté ci-dessous leurs courbes respectives $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$:

Résoudre graphiquement l'inéquation $f(x)\leqslant g(x)$.
1. Montrer que pour tout $x$ réel, $x^2+x-2=(x-1)(x+2)$.
2. À l'aide de la question précédente, résoudre algébriquement $f(x)\leqslant g(x)$.