Fonction carré (Seconde) : cours, parabole, équations et exercices corrigés en vidéo

Conseils

Fonction carré

📘 Cours : fonction carré - définition, parabole, symétrie, équation, inéquation, comparer

Dans cette page, tu vas découvrir la fonction carré.
La fonction carré est définie sur $\mathbb{R}$ par : $$ \boldsymbol{f(x)=x^2} $$

Exemple : $ f(3)=3^2=9 \quad \text{et} \quad f(-2)=(-2)^2=4 $
Ne pas confondre : $ (-3)^2=9 \quad \text{et} \quad -3^2=-9 $
La représentation graphique de la fonction carré est une parabole.

👉 Le point O, origine du repère est appelé le sommet de la parabole.
La fonction carré est paire, car pour tout réel $x$ :
$ \boldsymbol{f(-x)}=(-x)^2=(-x)\times (-x)= x^2=\boldsymbol{f(x)} $.

👉 Sa courbe est donc symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
Variations de la fonction carré :
Pour résoudre une équation du type $x^2=k$ :
- Si $k>0$ alors l'équation a deux solutions $\sqrt{k}$ ou $-\sqrt{k}$
- Si $k=0$ alors l'équation a une seule solution $0$
- Si $k\lt 0$ alors il n'y a pas de solution dans $\mathbb{R}$
  Plus tard, tu verras qu'il y a quand même des solutions mais ce sont des nombres qui au carré sont négatifs ! Ce ne sont pas des nombres que tu connais. Ce sont des nombres que tu verras plus tard que l'on appelle nombres complexes.
Pour une inéquation du type $x^2 \leqslant k$, on utilise la courbe de la fonction carré comme on le verra en exercice.
Pour encadrer $x^2$ ou pour comparer $a^2$ et $b^2$, là encore on utilise la courbe de la fonction carré. Donc c'est très important de savoir tracer rapidement la parabole représentant la fonction carré pour résoudre ces exercices.
Pour comparer $x$ et $x^2$ :
on trace les courbes des fonctions correspondantes et regarde leur position relative.

• Pour tout $x\in]-\infty;0]$, on a : $x^2\geqslant x$.
• Pour tout $x\in[0;1]$, on a : $x^2\leqslant x$.
• Pour tout $x\in[1;+\infty[$, on a : $x^2\geqslant x$.
Ne pas apprendre ces résultats par cœur, mais tracer les courbes d'équation $y=x$ et $y=x^2$ pour retrouver ces résultats.

👉 À retenir :

La fonction carré est définie par : $$ f(x)=x^2 $$
Sa courbe est une parabole symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
La fonction carré est paire.
Pour résoudre $x^2=k$, on utilise les racines carrées.
Pour résoudre $x^2\geqslant k$ ou pour comparer $a^2$ et $b^2$, pense à utiliser la courbe de la fonction carré !

👉 Ne pas confondre : $(-x)^2$ et $-x^2$ .

🎯 Objectif : savoir utiliser la fonction carré, résoudre des équations et inéquations, et interpréter sa courbe.

📺 Voici de nombreux exercices corrigés en vidéo pour t'entraîner 💪

✏️ Exercices : s'entraîner sur la fonction carré - Calculs - équations, inéquations, comparer et parabole

Exercice 1: Calcul d'image par la fonction carré

Calculer:

$\color{red}{\textbf{a. }} (-3)^2$ $\color{red}{\textbf{a. }} -3^2$ $\color{red}{\textbf{b. }} (\sqrt 5)^2$ $\color{red}{\textbf{c. }} (2\sqrt 7)^2$ $\color{red}{\textbf{c. }} (2+\sqrt 7)^2$ $\color{red}{\textbf{d. }} (-3\sqrt 2)^2$

Exercice 2: Calcul d'image par la fonction carré

Calculer l'image de chacun des nombres suivants par la fonction carré:

$\color{red}{\textbf{a. }} \dfrac 23$ $\color{red}{\textbf{b. }} -\dfrac 57$ $\color{red}{\textbf{c. }} 10^3$ $\color{red}{\textbf{d. }} 3^7$ $\color{red}{\textbf{e. }} 0,01$

Exercice 3: antécédent par la fonction carré

Déterminer les antécédents de chacun des nombres suivants par la fonction carré:

$\color{red}{\textbf{a. }} 9$ $\color{red}{\textbf{b. }} 1$ $\color{red}{\textbf{c. }} 0$ $\color{red}{\textbf{d. }} 2$ $\color{red}{\textbf{e. }} 5$ $\color{red}{\textbf{f. }} \dfrac 94$

Exercice 4: Comparer $a^2$ et $b^2$ un carré

Sans calculatrice, remplacer les pointillés par $\lt$, $\gt$ ou $=$:

$\color{red}{\textbf{a. }} (-8)^2~...~(-5)^2$ $\color{red}{\textbf{b. }} 1,14^2~...~1,135^2$ $\color{red}{\textbf{c. }} (-3,24)^2~...~2^2$ $\color{red}{\textbf{d. }} {\pi}^2~...~(-3)^2$