Fonctions paires et impaires (Seconde) : cours, symétrie et exercices corrigés

Dans ce cours, tu vas découvrir les fonctions paires et impaires.
Tu vas apprendre à reconnaître si une fonction est paire, impaire ou ni l'un ni l'autre par le calcul et graphiquement avec la courbe et ses symétries éventuelles.

• Définition :
  Une fonction $f$ est paire lorsque :
  - son ensemble de définition $\mathscr{D}$ est symétrique par rapport à $0$
  Pour tout $x$ de $\mathscr{D}$, $-x$ doit aussi appartenir à $\mathscr{D}$.
  
  - pour tout $x$ de l'ensemble de définition: $$ \boldsymbol{f(-x)=f(x)} $$
  
  Une fonction $f$ est impaire lorsque :
  - son ensemble de définition $\mathscr{D}$ est symétrique par rapport à $0$
  Pour tout $x$ de $\mathscr{D}$, $-x$ doit aussi appartenir à $\mathscr{D}$.
  
  - pour tout $x$ de l'ensemble de définition: $$ \boldsymbol{f(-x)=-f(x)} $$
• Exemple concret :
  Si $f$ est paire et $f(2)=5$, alors $f(-2)=5$.
  Si $f$ est impaire et $f(3)=4$, alors $f(-3)=-4$.
• Exemples :
  ✔ La fonction $f(x)=x^2$ est paire
  ✔ La fonction $f(x)=x^3$ est impaire
• Interprétation graphique :
  👉 Si une fonction est paire, alors sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées
  dans un repère orthogonal
  
  
  👉 Si une fonction est impaire, alors sa courbe est symétrique par rapport à l'origine du repère
  dans un repère orthogonal
  
• Pour montrer qu'une fonction est paire :
  • On vérifie que le domaine de définition est bien symétrique par rapport à $0$.
  • On calcule $f(-x)$ que l'on transforme jusqu'à obtenir $f(x)$, comme dans l'exemple ci-dessous.
  Exemple : Montrer que la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\dfrac 1{x^2+1}$ est paire
  • Le domaine de définition est $\mathbb{R}$ qui bien symétrique par rapport à $0$.
  • Pour tout $x$ réel: $f(-x)=\dfrac 1{(-x)^2+1}$$=\dfrac 1{x^2+1}=f(x)$
  Donc $f$ est bien paire.
• Pour montrer qu'une fonction est impaire :
  • On vérifie que le domaine de définition est bien symétrique par rapport à $0$.
  • On calcule $f(-x)$ que l'on transforme jusqu'à obtenir $-f(x)$, comme dans l'exemple ci-dessous.
  Exemple : Montrer que la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^3+2x$ est impaire
  • Le domaine de définition est $\mathbb{R}$ qui bien symétrique par rapport à $0$.
  • Pour tout $x$ réel: $f(-x)=(-x)^3+2(-x)$$=-x^3-2x=-(x^3+2x)$$=-f(x)$
  Donc $f$ est bien impaire.
• Pour montrer qu'une fonction n'est ni paire, ni impaire :
  • Il suffit de trouver UNE valeur $a$ telle $f(a)$ et $f(-a)$ ne soit ni égales ni opposées, comme dans l'exemple ci-dessous.
  Exemple : Montrer que la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x+1$ n'est ni paire ni impaire
  $f(1)=2$
  $f(-1)=0$
  
  $f(-1)\ne f(1)$ donc $f$ n'est pas paire.
  $f(-1)\ne -f(1)$ donc $f$ n'est pas impaire.
  
  Donc $f$ ni paire ni impaire.
• 👉 Erreur fréquente des élèves :
  Beaucoup pensent qu’une fonction est soit paire soit impaire…
  ❌ Ce n’est pas toujours le cas !
  Une fonction peut être ni paire ni impaire.
  Par exemple : $f(x)=x+1$.

🎯 Objectif : savoir reconnaître une fonction paire ou impaire et utiliser les symétries de sa courbe.

📺 Le cours est expliqué en vidéo avec des exemples concrets pour bien comprendre 💪