Fonction paire et impaire

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Fonction paire et impaire

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Fonction paire et impaire

expliquées en vidéo

•

Définition d'une fonction paire

Fonction paire Une fonction

$f$ définie sur

$\mathscr{D}$ est paire lorsque:
• son domaine de définition

$\mathscr{D}$ est symétrique par rapport à

$0$

Pour tout

$x$ de

$\mathscr{D}$ ,

$-x$ appartient aussi à

$\mathscr{D}$ .

• Pour tout

$x$ de

$\mathscr{D}$ ,

$f(-x)=f(x)$ .

La courbe d'une fonction paire

Méthode pour montrer qu'une fonction

$f$ est paire

• On vérifie que le domaine de définition est bien symétrique par rapport à

$0$ .
• On calcule

$f(-x)$ que l'on transforme jusqu'à obtenir

$f(x)$ ,comme dans l'exemple ci-dessous.

Exemple

Montrer que la fonction définie sur

$\mathbb{R}$ par

$f(x)=\dfrac 1{x^2+1}$ est paire

• Le domaine de définition est

$\mathbb{R}$ qui bien symétrique par rapport à

$0$ .
• Pour tout

$x$ réel:

$f(-x)=\dfrac 1{(-x)^2+1}$

$=\dfrac 1{x^2+1}=f(x)$
Donc

$f$ est bien paire.

•

Définition d'une fonction impaire

Fonction impaire Une fonction

$f$ définie sur

$\mathscr{D}$ est impaire lorsque:
• son domaine de définition

$\mathscr{D}$ est symétrique par rapport à

$0$

Pour tout

$x$ de

$\mathscr{D}$ ,

$-x$ appartient aussi à

$\mathscr{D}$ .

• Pour tout

$x$ de

$\mathscr{D}$ ,

$f(-x)=-f(x)$ .

La courbe d'une fonction impaire

Méthode pour montrer qu'une fonction

$f$ est impaire

• On vérifie que le domaine de définition est bien symétrique par rapport à

$0$ .
• On calcule

$f(-x)$ que l'on transforme jusqu'à obtenir

$-f(x)$ ,comme dans l'exemple ci-dessous.

Exemple

Montrer que la fonction définie sur

$\mathbb{R}$ par

$f(x)=x^3+2x$ est impaire

• Le domaine de définition est

$\mathbb{R}$ qui bien symétrique par rapport à

$0$ .
• Pour tout

$x$ réel:

$f(-x)=(-x)^3+2(-x)$

$=-x^3-2x=-(x^3+2x)$

$=-f(x)$
Donc

$f$ est bien impaire.

•

Attention

Une fonction peut être ni paire ni impaire.

Méthode pour montrer qu'une fonction

$f$ n'est ni paire ni impaire

On cherche une valeur

$a$ telle que

$f(a)$ ne soit égale ni à

$f(-a)$ ni à

$-f(-a)$ ,comme dans l'exemple ci-dessous.
Conseil On peut s'aider de la courbe de

$f$ pour trouver cette valeur.

Exemple

Montrer que la fonction définie sur

$\mathbb{R}$ par

$f(x)=3x-1$ n'est ni paire ni impaire.

$f(1)=3\times 1-1=3-1=2$

$f(-1)=3\times (-1)-1=-3-1=-4$

$f(-1)\ne f(1)$ donc

$f$ n'est pas paire.

$f(-1)\ne -f(-1)$ donc

$f$ n'est pas impaire.
Donc

$f$ est ni paire, ni impaire.

•

Parité

Si on demande d'étudier la parité d'une fonction, il faut dire si elle paire, impaire ou ni l'un ni l'autre.

Méthode pour étudier la parité d'une fonction

Conseil On peut s'aider de la courbe de

$f$ pour conjecturer si elle paire, impaire ou ni l'un ni l'autre.
On calcule

$f(-x)$

Si $f(-x)=f(x)$ alors $f$ est paire.
Si $f(-x)=-f(x)$ alors $f$ est impaire.
Dans les autres cas, appliquer la méthode pour montrer qu'elle n'est ni paire, ni impaire.

Exercice 1: Montrer qu'une fonction est paire / impaire

On considère les fonctions

$f$ et

$g$ définies sur

$\mathbb{R}$ par

$f(x)=5x^2-x^4$ et

$g(x)=4x-x^3$ .

Montrer que la fonction $f$ est paire.
Montrer que la fonction $g$ est impaire.

Exercice 2: Fonction ni paire, ni impaire

Soit

$f$ la fonction définie sur

$\mathbb{R}$ par

$f(x)=3x^2-x$ . Démontrer que la fonction n'est ni paire ni impaire.

Exercice 3: Compléter la courbe d'une fonction paire / impaire

Soit

$f$ une fonction définie sur [-3;3] dont la courbe est représentée sur [0;3].

Compléter la courbe sachant que $f$ est paire.
Compléter la courbe sachant que $f$ est impaire.

Exercice 4: parité d'une fonction linéaire

Démontrer que toute fonction linéaire est impaire.

Exercice 5: Reconnaitre une fonction Paire / Impaire avec courbe et symétrie

Parmi les fonctions représentées ci-dessous, indiquer celles qui semblent représenter une fonction paire, impaire:

Exercice 6: Parité d'une fonction

Dans chaque cas, étudier la parité de la fonction

$f$ définie sur

$\mathbb{R}$ par:

$f(x)=3\sqrt{x^2+1}$
$f(x)=2x\sqrt{x^2+1}$