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1re Spé Maths

Fonction exponentielle - Tableau de variations
Conseils
Fonction exponentielle - Tableau de variations
Exercice type

Étudier les variations d'une fonction avec exponentielle

Exercice type

Exponentielle $e^{kx}$

Un classique

Montrer une inégalité $e^x\geqslant x+1$ à l'aide d'un tableau de variations


Cours

ce qu'il faut savoir sur la fonction exponentielle pour faire les exercices

• Dérivation
• $\boldsymbol{e^{kx}}$
• Fonction exponentielle - Carte mentale
Exercice 1: Etudier les variations d'une fonction avec exponentielle
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=e^{2x}-2x$.
  1. Déterminer $f'(x)$.
  2. Étudier le signe de $f'(x)$.
  3. En déduire le tableau de variations de $f$.
Exercice 2:

exponentielle et Tableau de variations

Dans chaque cas, étudier les variations de la fonction $f$ définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ par:
$\color{red}{\textbf{a. }} f(x)=-3e^{-2x}$ $\color{red}{\textbf{b. }} f(x)=(-4x+3)e^{-x}$ $\color{red}{\textbf{c. }} f(x)=\dfrac{x+1} {e^{x}}$
Exercice 3:

exponentielle et Tableau de variations

Dans chaque cas, étudier les variations de la fonction $f$ définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ par:
$\color{red}{\textbf{a. }} f(x)=(x^2-5x+7)e^x$ $\color{red}{\textbf{b. }} f(x)=\dfrac 12e^{2x}-e^{x+1}$ $\color{red}{\textbf{c. }} f(x)=\dfrac {2e^x-1}{e^{2x}}$
Exercice 4:

exponentielle et Tableau de variations

On considère la fonction définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=(6-3x){e^{2x}}$.
  1. Déterminer une expression de la dérivée de $f$.
  2. En déduire le tableau de variations de $f$.
Exercice 5 :

Courbe exponentielle e^kx

On a tracé les courbes des fonctions $f$, $g$ et $h$ définies sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=e^{3x}$, $g(x)=e^{0,5x}$ et $h(x)=e^{-x}$:
Associer à chaque fonction la courbe qui lui correspond.
Exercice 6:

exponentielle et Tableau de variations

On considère la fonction définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=(6x^2+11x+10){e^{-x}}$.
Déterminer le tableau de variations de $f$.
Exercice 7: Dérivée et exponentielle
On considère la fonction définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\dfrac{x^2+2x}{e^x}$:
  1. Déterminer pour tout réel $x$, $f'(x)$.
  2. En déduire le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$.
Exercice 8: Exponentielle - Dérivée - variations
On considère la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\dfrac{x^2+1}{e^x}$.
  1. Démontrer que pour tout réel $x$, $f'(x)=-\dfrac{(x-1)^2}{e^x}$.
  2. En déduire le sens de variation de $f$ sur $\mathbb{R}$.
Exercice 9: Dérivée et $e^{ax+b}$
On considère la fonction définie et dérivable sur $\mathbb{R}\backslash \{ 2\}$ par $f(x)=\dfrac{e^{3x-1}}{x-2}$.
Déterminer le tableau de variations de $f$.
Exercice 10: Dérivée - Exponentielle et quotient
On considère la fonction définie et dérivable sur $\mathbb{R}^{*}$ par $f(x)=\dfrac{e^{1-6x}}{x^3}$.
Déterminer le tableau de variations de $f$.
Exercice 11: Fonction exponentielle et tangente
On note $\mathscr{C}$ la courbe de la fonction exponentielle.
Donner les équations des tangentes à $\mathscr{C}$ aux points d'abscisses respectives $0$, $1$ et $-1$.
Exercice 12: exponentielle & inégalité
Le but de cet exercice est de montrer que pour tout réel $x$: $e^x\geqslant x+1$. Pour cela, on considère la fonction définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=e^x-x-1$.
  1. Étudier les variations de $f$ sur $\mathbb{R}$.
  2. Conclure.
Exercice 13:

Fonction exponentielle et variations

On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par $f(x)=e^{1-3x}$.
  1. Déterminer \(f'(x)\) pour tout \(x\) de \(\mathbb{R}\) puis en déduire le tableau de variations de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
  2. Déterminer le tableau de variations de \(f\) sur \(\mathbb{R}\) sans utiliser la dérivation.
Exercice 14: Dérivée et exponentielle
Dans chaque cas, déterminer la dérivée de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ et son tableau de variations sur $\mathbb{R}$:
$a)~ f(x)=-4e^{3-5x}$    $b)~ f(x)=(1-x)e^x-5$    $c)~ f(x)=-x^2e^x$    $d)~ f(x)=\dfrac{e^{1-2x}}4$
Exercice 15: Exponentielle et tableau de variations
Dans chaque cas, déterminer le tableau de variations de $f$ définie et dérivable sur le domaine ${\rm D}$ indiqué:
$a)~ {\rm D}=\mathbb{R} \text{ et } f(x)=\dfrac{e^{-2x}}4$   $b)~ {\rm D}=\mathbb{R}^{*} \text{ et } f(x)=e^{2x}-\dfrac 1x$


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