Fonction exponentielle Tableau de variations dérivation première spécialité maths cours et exercices en vidéo

Conseils

Fonction exponentielle - Tableau de variations

Exercice type

Étudier les variations d'une fonction avec exponentielle

Exercice type

Exponentielle $e^{kx}$

Un classique

Montrer une inégalité $e^x\geqslant x+1$ à l'aide d'un tableau de variations

Cours

ce qu'il faut savoir sur la fonction exponentielle pour faire les exercices

• Dérivation

• $\boldsymbol{e^{kx}}$

• Fonction exponentielle - Carte mentale

Exercice 1: Etudier les variations d'une fonction avec exponentielle

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=e^{2x}-2x$.

Déterminer $f'(x)$.
Étudier le signe de $f'(x)$.
En déduire le tableau de variations de $f$.

Exercice 2:

exponentielle et Tableau de variations

Dans chaque cas, étudier les variations de la fonction $f$ définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ par:

$\color{red}{\textbf{a. }} f(x)=-3e^{-2x}$ $\color{red}{\textbf{b. }} f(x)=(-4x+3)e^{-x}$ $\color{red}{\textbf{c. }} f(x)=\dfrac{x+1} {e^{x}}$

Exercice 3:

exponentielle et Tableau de variations

Dans chaque cas, étudier les variations de la fonction $f$ définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ par:

$\color{red}{\textbf{a. }} f(x)=(x^2-5x+7)e^x$ $\color{red}{\textbf{b. }} f(x)=\dfrac 12e^{2x}-e^{x+1}$ $\color{red}{\textbf{c. }} f(x)=\dfrac {2e^x-1}{e^{2x}}$

Exercice 4:

exponentielle et Tableau de variations

On considère la fonction définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=(6-3x){e^{2x}}$.

Déterminer une expression de la dérivée de $f$.
En déduire le tableau de variations de $f$.

Exercice 5 :

Courbe exponentielle e^kx

On a tracé les courbes des fonctions $f$, $g$ et $h$ définies sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=e^{3x}$, $g(x)=e^{0,5x}$ et $h(x)=e^{-x}$:

Associer à chaque fonction la courbe qui lui correspond.

Exercice 6:

exponentielle et Tableau de variations

On considère la fonction définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=(6x^2+11x+10){e^{-x}}$.
Déterminer le tableau de variations de $f$.

Exercice 7: Dérivée et exponentielle

On considère la fonction définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\dfrac{x^2+2x}{e^x}$:

Déterminer pour tout réel $x$, $f'(x)$.
En déduire le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$.

Exercice 8: Exponentielle - Dérivée - variations

On considère la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\dfrac{x^2+1}{e^x}$.

Démontrer que pour tout réel $x$, $f'(x)=-\dfrac{(x-1)^2}{e^x}$.
En déduire le sens de variation de $f$ sur $\mathbb{R}$.

Exercice 9: Dérivée et $e^{ax+b}$

On considère la fonction définie et dérivable sur $\mathbb{R}\backslash \{ 2\}$ par $f(x)=\dfrac{e^{3x-1}}{x-2}$.
Déterminer le tableau de variations de $f$.

Exercice 10: Dérivée - Exponentielle et quotient

On considère la fonction définie et dérivable sur $\mathbb{R}^{*}$ par $f(x)=\dfrac{e^{1-6x}}{x^3}$.
Déterminer le tableau de variations de $f$.

Exercice 11: Fonction exponentielle et tangente

On note $\mathscr{C}$ la courbe de la fonction exponentielle.
Donner les équations des tangentes à $\mathscr{C}$ aux points d'abscisses respectives $0$, $1$ et $-1$.

Exercice 12: exponentielle & inégalité

Le but de cet exercice est de montrer que pour tout réel $x$: $e^x\geqslant x+1$. Pour cela, on considère la fonction définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=e^x-x-1$.

Étudier les variations de $f$ sur $\mathbb{R}$.
Conclure.

Exercice 13:

Fonction exponentielle et variations

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=e^{1-3x}$.

Déterminer $f'(x)$ pour tout $x$ de $\mathbb{R}$ puis en déduire le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$.
Déterminer le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$ sans utiliser la dérivation.

Exercice 14: Dérivée et exponentielle

Dans chaque cas, déterminer la dérivée de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ et son tableau de variations sur $\mathbb{R}$:
$a)~ f(x)=-4e^{3-5x}$ $b)~ f(x)=(1-x)e^x-5$ $c)~ f(x)=-x^2e^x$ $d)~ f(x)=\dfrac{e^{1-2x}}4$

Exercice 15: Exponentielle et tableau de variations

Dans chaque cas, déterminer le tableau de variations de $f$ définie et dérivable sur le domaine ${\rm D}$ indiqué:
$a)~ {\rm D}=\mathbb{R} \text{ et } f(x)=\dfrac{e^{-2x}}4$ $b)~ {\rm D}=\mathbb{R}^{*} \text{ et } f(x)=e^{2x}-\dfrac 1x$