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Fonction exponentielle - Exercices type contrôle

Conseils
Fonction exponentielle - Exercices type contrôle
Cours L'essentiel de ce qu'il faut savoir pour faire les exercices
• Fonction exponentielle - Carte mentale
Exercice 1:

Associer courbe et fonction exponentielle

On a tracé les courbes de quatre fonctions f, g, h, i définies sur \mathbb{R} par f(x)=e^{x}, g(x)=e^{-x}, h(x)=e^{0.5x} et i(x)=e^{-2x}.
Associer à chaque fonction la courbe qui lui correspond en justifiant.
Exercice 2:

Déterminer a, b dans f(x)=(ax+b)e^(-x)

On a tracé la courbe \mathscr{C}_f d'une fonction f définie sur \mathbb{R}.

La courbe de f passe par les points {\rm A}(-2;0), {\rm B}(0;2).
On sait que pour tout x réel, f(x)=(ax+b)e^{-x}a et b sont des réels.
  1. A l'aide du graphique, déterminer a et b en justifiant.
  2. En déduire le tableau de variations de f.
Exercice 3: Fonction exponentielle et tangente
a et b sont deux réels. f est la fonction définie sur \mathbb{R} par f(x) = ae^{-x} + be^{-2x}.
Déterminer a et b tels que la courbe de f passe par le point A(0 ; 1) et admette en ce point une tangente horizontale .
Exercice 4:

Déterminer a, b,c dans f(x)=(ax²+bx+c)e^(-x)

On a tracé la courbe \mathscr{C}_f d'une fonction f définie sur \mathbb{R}.

\mathscr{C}_f passe par les points A(0;1) et B(-1;0). T est la tangente à \mathscr{C}_f en A et passe par le point C(1;3).
On sait également que pour tout x réel, f(x)=(ax^2+bx+c)e^{-x}a, b, c sont des nombres.
  1. Déterminer, pour tout x réel, f'(x).
  2. Déterminer la valeur de a, b et c en justifiant.
Exercice 5: Etude d'une fonction avec exponentielle - dérivée seconde + variations
On considère la fonction définie sur \mathbb{R} par f(x)=e^x-\dfrac {x^2}2.
  1. Déterminer une expression des fonctions f' et f''.
  2. Déterminer le signe de f''(x) sur \mathbb{R}.
  3. En déduire le tableau de variations de f' sur \mathbb{R} puis le signe de f'(x).
  4. En déduire le sens de variations de f sur \mathbb{R}.
Exercice 6: cosinus et sinus hyperbolique
On appelle fonction:
• cosinus hyperbolique la fonction notée \text{ch} définie sur \mathbb{R} par \text{ch}(x)=\dfrac{e^x+e^{-x}}2.
• sinus hyperbolique la fonction notée \text{sh} définie sur \mathbb{R} par \text{sh}(x)=\dfrac{e^x-e^{-x}}2.
  1. Montrer que la fonction cosinus hyperbolique est paire et que la fonction sinus hyperbolique est impaire.
  2. Montrer que pour tout réel x, \text{ch}^2(x)-\text{sh}^2(x)=1.
    1. Montrer que pour tout réel x, \text{sh}'(x)=\text{ch}(x). En déduire que sh est strictement croissante sur \mathbb{R}
    2. Dresser le tableau de signe de la fonction \text{sh}.
    1. Montrer que pour tout réel x, \text{ch}'(x)=\text{sh}(x).
    2. En déduire le tableau de variations de la fonction \text{ch} puis puis son minimum.
Exercice 7: Suite et exponentielle
On considère la suite (u_n) définie pour tout entier naturel n par u_n=e{^{2-3n}}.
  1. Démontrer que la suite (u_n) est géométrique et préciser sa raison.
  2. Pour tout entier naturel n, on pose {\rm S}_n=u_0+u_1+...+u_n.
    Montrer que pour tout entier naturel n, {\rm S}_n=e^{5} \dfrac{1-e^{-3n-3}}{e^{3}-1}.
Exercice 8:

Suite et fonction exponentielle

On considère la suite (u_n) définie pour tout entier naturel n par u_n=4-e^{-\frac n2}.
Démontrer que la suite (u_n) est strictement croissante par 2 méthodes différentes.
Exercice 9: Suite et exponentielle
On considère la suite (u_n) définie pour tout entier naturel n par u_n=e{^{2-0,6 n}}.
Pour tout entier naturel n, on pose {\rm P}_n=u_0\times ...\times u_n.
Exprimer {\rm P}_n en fonction de n.
Exercice 10:

Tangente perpendiculaire et exponentielle

On considère les fonctions f et g définies sur \mathbb{R} par f(x)=e^x et g(x)=e^{-x}.
Dans un repère orthonormé, on a tracé les courbes \mathscr{C}_f et \mathscr{C}_g de ces deux fonctions.
  1. Démontrer que si m est le coefficient directeur d'une droite \mathscr{D} du plan alors le vecteur de coordonnées (1;m) est un vecteur directeur de cette droite.
  2. Déterminer, pour tout x réel, f'(x) et g'(x).
  3. On note T_a et \Delta_a les tangentes respectives à \mathscr{C}_f et \mathscr{C}_g au point d'abscisse a.
    1. Démontrer que les tangentes à \mathscr{C}_f et \mathscr{C}_g au point d'abscisse 0 sont perpendiculaires.
    2. Démontrer que les tangentes à \mathscr{C}_f et \mathscr{C}_g au point d'abscisse a sont perpendiculaires quel que soit a réel.
Exercice 11:

Associer f et f ' à leur courbe - Déterminer a, b, c à l'aide de la courbe de f et f'

On a récupéré un graphique avec deux courbes. \mathscr{C}_f est la courbe d'une fonction f et \mathscr{C}_{f'} de sa dérivée.

On sait que la fonction f est définie par f(x)=(x^2+ax+b)e^{x+c}a, b et c sont des constantes réelles.
L'objectif de cet exercice est retrouver les valeurs a, b et c.
  1. Justifier que a et b sont solutions du système: \left\{\begin{array}{l} 4+2a+b=0\\ 9+3a+b=0 \\ \end{array}\right.
  2. En déduire les valeurs de a et b.
  3. Déterminer f'(x).
  4. A l'aide du point C, déterminer la valeur de c et donner l'expression de f(x).


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