Ces démonstrations sont importantes mais difficiles.
Il est important d'avoir fait les
exercices de la page précédente avant d'attaquer ces démonstrations.
Conseils pour travailler efficacement
Conseils pour le jour du Bac
Exercice 1 Démonstration propriété exponentielle
L'objectif de cet exercice est de démontrer que pour tous réels $x$ et $y$ : $e^{x+y}=e^x\times
e^y$
Rappel: la fonction $f:x\to e^{ax+b}$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et pour tout réel $x$ ,
$f'(x)=ae^{ax+b}$
Soit $y$ un réel fixé. On considère la fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par
$h(x)=\dfrac{e^{x+y}}{e^x}$.
Étudier les variations de $h$ et conclure.
Exercice 2: Démonstration propriété exponentielle
On rappelle que pour tous réels $x$ et $y$ : $ e^{x+y}=e^x\times e^y$.
En déduire que pour tout réel $x$, $ e^{-x}=\dfrac 1 {e^x}$.
En déduire que pour tous réels $x$ et $y$ , $ e^{x-y}=\dfrac{e^x}{e^y}$.
Exercice 3 Résoudre des
équations avec la
fonction exponentielle
On rappelle que pour tous réels $x$ et $y$ : $ e^{x+y}=e^x\times e^y$ et que $e^x\ne 0$.
Compléter: pour tout réel $x$, $e^x=\left( e^{...}\right)^2$.
En déduire que pour tout réel $x$, $e^x >0$.
En déduire les variations de la fonction exponentielle.
Exercice
4: Démonstration cours - unicité fonction
exponentielle
Soit $f$ une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que $f'=f$ et $f(0)=1$.
Montrer que $f$ ne s'annule jamais sur $\mathbb{R}$.
On pourra utiliser la fonction $\varphi$ définie sur $\mathbb{R}$ par $\varphi(x)=f(x)\times
f(-x)$ et étudier ses variations.
Montrer qu'il existe au maximum une fonction $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que $f'=f$
et $f(0)=1$.
On supposera qu'il existe une autre fonction $g$ dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que $g'=g$
et $g(0)=1$.
On étudiera les variations de la fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par $h=\dfrac fg$.
On admet l'existence d'une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que $f'=f$ et
$f(0)=1$.
Compléter: D'après la question 2. il existe exactement ....... fonction(s) $f$
dérivable(s) sur $\mathbb{R}$ telle(s) que $f'=f$ et $f(0)=1$.
Cette fonction est appelée fonction exponentielle. On la note $\exp$ et aussi
$\exp(x)=e^x$.
D'après cet exercice, écrire ce que l'on sait sur $e^x$ ?