Fonction exponentielle & Démonstrations

L'objectif de cet exercice est de démontrer que pour tous réels $x$ et $y$ : $e^{x+y}=e^x\times e^y$
Rappel: la fonction $f:x\to e^{ax+b}$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et pour tout réel $x$ , $f'(x)=ae^{ax+b}$
Soit $y$ un réel fixé. On considère la fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x)=\dfrac{e^{x+y}}{e^x}$.
Étudier les variations de $h$ et conclure.

On rappelle que pour tous réels $x$ et $y$ : $ e^{x+y}=e^x\times e^y$.

1. En déduire que pour tout réel $x$, $ e^{-x}=\dfrac 1 {e^x}$.
2. En déduire que pour tous réels $x$ et $y$ , $ e^{x-y}=\dfrac{e^x}{e^y}$.

On rappelle que pour tous réels $x$ et $y$ : $ e^{x+y}=e^x\times e^y$ et que $e^x\ne 0$.

1. Compléter: pour tout réel $x$, $e^x=\left( e^{...}\right)^2$.
2. En déduire que pour tout réel $x$, $e^x >0$.
3. En déduire les variations de la fonction exponentielle.

Soit $f$ une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que $f'=f$ et $f(0)=1$.

1. Montrer que $f$ ne s'annule jamais sur $\mathbb{R}$.
   On pourra utiliser la fonction $\varphi$ définie sur $\mathbb{R}$ par $\varphi(x)=f(x)\times f(-x)$ et étudier ses variations.
2. Montrer qu'il existe au maximum une fonction $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que $f'=f$ et $f(0)=1$.
   On supposera qu'il existe une autre fonction $g$ dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que $g'=g$ et $g(0)=1$.
   On étudiera les variations de la fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par $h=\dfrac fg$.
3. On admet l'existence d'une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que $f'=f$ et $f(0)=1$.
   
   1. Compléter: D'après la question 2. il existe exactement ....... fonction(s) $f$ dérivable(s) sur $\mathbb{R}$ telle(s) que $f'=f$ et $f(0)=1$.
      Cette fonction est appelée fonction exponentielle. On la note $\exp$ et aussi $\exp(x)=e^x$.
   2. D'après cet exercice, écrire ce que l'on sait sur $e^x$ ?