Tangente ♦ Équation ♦ Ce qu'il faut savoir

Dans un repère orthogonal, $\mathscr{C}$ est la courbe d'une fonction $f$. La courbe $\mathscr{C}$ admet une tangente $\rm T$ au point $\rm A(1 ; 2)$. De plus $f'(1) = 3$.

1. Compléter : Une équation de la tangente $\rm T$ est $y = f'(...)(...~ -~ ...) + f (...)$
   soit $y = . . ........................ .$
2. Développer, réduire et obtenir l'équation réduite de la tangente $\rm T$.

$f$ est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2-5x+6$. On note $\mathscr{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

1. Déterminer $f'(x)$.
2. Déterminer l'équation réduite de la tangente $\rm T$ à la courbe $\mathscr{C}$ au point d'abscisse $1$.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2 - 6x + 5$ et $\mathscr{C}$ sa courbe représentative dans un repère du plan. Déterminer une équation de la tangente à $\mathscr{C}$ au point d'abscisse $2$ puis afficher sur l'écran de votre calculatrice la courbe $\mathscr{C}$ avec cette tangente.

On a tracé la courbe $\mathscr{C}$ d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $[-1;4]$. La droite (AB) est tangente à $\mathscr{C}$ en A.

1. A l'aide du graphique:
   1. Déterminer $f(0)$, $f'(0)$, $f(3)$, $f'(3)$.
   2. Résoudre $f(x)\leqslant 0$.
   3. Résoudre $f'(x)\geqslant 0$.
2. Retrouver ces résultats par le calcul sachant que $\displaystyle f(x)=\frac 14 x^3-\frac 34 x^2$.

On note $\mathscr{P}$ la parabole représentant la fonction carré dans un repère.
Déterminer l'équation réduite de la tangente à $\mathscr{P}$ parallèle à la droite d'équation $y = \dfrac{5}{2}x - 4$.

On note $\mathscr{P}$ la parabole représentant la fonction carré dans un repère.
Déterminer les équations réduites des tangentes à $\mathscr{P}$ passant par le point $A(-1~;~-3)$.

On a représenté graphiquement une fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par $f(x) = ax + b\sqrt{x} + c$ où $a$, $b$ et $c$ sont trois réels à déterminer. La courbe passe par les points $\rm A(0~;~1)$ et $\rm B(4~;~1)$. La droite $\rm (BC)$ est tangente à la courbe au point $\rm B$. On donne aussi $\rm C(2~;~2)$.

1. On admet que $f$ est dérivable sur $]0~;~+\infty[$. Exprimer $f'(x)$ en fonction de $a$ et $b$.
2. Déterminer $f(0)$, $f(4)$ et $f'(4)$.
3. Déduire des informations précédentes les réels $a$, $b$ et $c$.
4. Par lecture graphique, résoudre l'équation $f'(x) = 0$. Vérifier par le calcul.

On a représenté graphiquement une fonction $f$ définie sur $]0;+\infty[$ par $f(x) = ax + \dfrac{b}{x}$ où $a$ et $b$ sont deux réels à déterminer. La courbe passe par le point $\rm A\left(1~;~\dfrac{5}{2}\right)$. La droite $\rm(AB)$ est tangente à la courbe au point $\rm A$. On donne aussi $\rm B(0~;~4)$. On admet que $f$ est dérivable sur $]0~;~+\infty[$.

1. Exprimer $f'(x)$ en fonction de $a$ et $b$.
2. Déterminer $f(1)$ et $f'(1)$.
3. Déduire des informations précédentes les réels $a$ et $b$.
4. Par lecture graphique, résoudre l'équation $f'(x) = 0$. Vérifier par le calcul.

On considère la courbe $\mathscr{C}_f$ représentant la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 1}$.

1. Montrer que pour tout réel $a$, les tangentes aux points d'abscisses respectives $a$ et $-a$ sont parallèles.
2. $\mathscr{C}_f$ admet-elle des tangentes horizontales ?

On considère les fonctions $f_1$ et $f_2$ définies sur $\mathbb{R}$ par $f_1(x)=-x^2+6x-2$ et $f_2(x)=x^2 +2x$
On note $\mathscr{P}_1$ et $\mathscr{P}_2$ les paraboles représentatives de $f_1$ et $f_2$.
Montrer que $\mathscr{P}_1$ et $\mathscr{P}_2$ sont tangentes.
Deux paraboles sont dites tangentes lorsqu'elles ont un point commun et une tangente commune en ce point.

On a tracé une tangente à la courbe d'équation $y = \dfrac{1}{x}$. Elle coupe l'axe des ordonnées en $\rm M$ et celui des abscisses en $\rm N$. Montrer que l'aire du triangle $\rm MNO$ est indépendante de la tangente tracée.

Soient $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2$ et $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}\backslash\{0\}$ par $g(x)=\dfrac 1x$.
L'objectif de ce problème est de montrer que les courbes de $f$ et $g$ admettent une tangente commune dont on donnera une équation. On notera $\mathscr{C}_f$ la courbe de $f$ et $\mathscr{C}_g$ la courbe de $g$.

1. Soit $a$ un réel, déterminer une équation de la tangente à $\mathscr{C}_f$ au point d'abscisse $a$.
2. Soit $b$ un réel non nul, déterminer une équation de la tangente à $\mathscr{C}_g$ au point d'abscisse $b$.
3. Démontrer que l'existence d'une tangente commune revient à résoudre $\left\{ \begin{array}{r@{~}c@{~}l} 2\,a\, & = & -\dfrac 1 {b^2} \\ -\,a^2\, & = & \dfrac 2 b \end{array} \right.$
4. Conclure.

Déterminer une équation de l'unique tangente commune aux courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$
définies sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2$ et $g(x) = x^2 +2x +3$.

Soit $f$ la fonction définie sur $[1\,;\,3]$ par $f(x) = -x^2+4x-3$.
On note $\mathscr{C}_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère d'origine O. Cet arc de parabole symbolise une colline
(une unité sur le repère représente un hectomètre dans la réalité) et l'axe des abscisses représente le sol. Un observateur est placé à l'origine. Il cherche du regard le point C qui est le point le plus haut de la colline visible. On note $a$ l'abscisse de C:

1. Montrer que $\dfrac{f(a)}{a} = f'(a)$.
2. En déduire la hauteur en mètres (par rapport au sol) du point C.