Dérivation & Tableau de variations

Conseils

Exercice type

pour savoir faire un tableau de variations - Niveau 1

(en 9 min !)

Exercice type

pour savoir faire un tableau de variations - Niveau 2

(en 10 min !)

Cours complet

Tableau de variations avec la dérivation

• Lien entre $f$ et $f'$

• Ce qu'il ne faut pas croire

Ne pas croire que: $f$ est strictement croissante sur $\rm I$ $\boldsymbol{\not\Leftrightarrow}$ Pour tout $x$ de $\rm I$, $\boldsymbol{f'(x)\gt 0}$
Une fonction peut être strictement croissante sans que la dérivée soit strictement positive !!!!

Pour que la fonction soit strictement croissante, il n'est pas nécessaire que la dérivée soit strictement positive.
Correction

Il suffit que la dérivée soit positive et ne s'annule qu'un nombre fini de fois.
Exemple avec la fonction cube

• Méthode pour faire un tableau de variations

Vérifier que la fonction est dérivable sur l'ensemble indiqué
Parfois il n'y a rien à faire car c'est dit dans l'énoncé: "$f$ est dérivable sur ..."
Calculer la dérivée $\boldsymbol{f}'(x)$
- Mettre au même dénominateur, s'il y a des fractions
- Factoriser au maximum
Faire le tableau de signe de $\boldsymbol{f'(x)}$
Vous devez être capable de trouver le signe:
- d'une fonction affine $ax+b$
- d'un polynôme du second degré $ax^2+bx+c$
Avant de faire le tableau de signe
Bien vérifier que chaque bloc du tableau de signe est séparé des autres blocs par une multiplication ou une division.
Sinon on ne peut pas appliquer la règle des signes et faire le tableau de signes!
Conclure
On utilise la propriété suivante:
- Sur les intervalles où $\boldsymbol{f'(x)\geqslant 0}$, $f$ est strictement croissante
  sous réserve que $f'$ ne s'annule qu'un nombre fini de fois sur ces intervalles.
- Sur les intervalles où $\boldsymbol{f'(x)\leqslant 0}$, $f$ est strictement décroissante
  sous réserve que $f'$ ne s'annule qu'un nombre fini de fois sur ces intervalles.
Penser à calculer
Penser à calculer les valeurs des minimums et maximums et à les mettre dans le tableau de variations.

Exercice 1:

Dérivée & tableau de variations - première option maths

$f$ est la fonction définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2-6x+10$.

Déterminer $f'(x)$.
Étudier le signe de $f'(x)$.
En déduire le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$.

Exercice 2:

Dérivée & tableau de variations - première option maths

$f$ est la fonction définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=-5x^2+20x-17$.

Déterminer $f'(x)$.
Étudier le signe de $f'(x)$.
En déduire le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$.

Exercice 3:

Dérivée & tableau de variations - polynôme du second degré - première option maths

Dans chaque cas, déterminer le sens de variation de la fonction à l'aide de la dérivation. Puis vérifier à l'aide de la calculatrice:

$f(x) = x^2 + x + 1$ sur l'intervalle [0 ; 10]
$m(x) = 0,4x^2 +1,8x + 5$ sur l'intervalle [0 ; 15]
$n(x) = -3x^2 + 5x + 7$ sur l'intervalle [-5 ; 0]

Exercice 4:

Dérivée & tableau de variations - première option maths

$f$ est la fonction définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^3-3x^2-9x+5$.

Déterminer $f'(x)$.
Montrer que pour tout réel $x$: $f'(x)=(x+1)(3x-9)$.
Étudier le signe de $f'(x)$.
En déduire le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$.

Exercice 5:

Dérivée & tableau de variations - polynôme degré 3 première option maths

$f$ est la fonction définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=-2x^3-3x^2+12x+1$.

Déterminer $f'(x)$.
Montrer que pour tout réel $x$: $f'(x)=6(1-x)(x+2)$.
Étudier le signe de $f'(x)$.
En déduire le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$.

Exercice 6:

Étude des variations d'une fonction polynôme de degré 3 - Dérivation

$f$ est la fonction définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ par $f(x) =x^3-3x^2-9x+2$

Déterminer $f'(x)$.
Étudier le signe de $f'(x)$
En déduire le tableau de variations de $f$

Exercice 7:

Étude des variations d'une fonction polynôme de degré 3 - Dérivation titi

Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=-x^4+108x+1$.

Démontrer que pour tout $x$ réel, $27-x^3=(3-x)(x^2+3x+9)$.
Déterminer le tableau de variations de $f$.

Exercice 8:

Étude des variations d'une fonction polynôme de degré 4 - Dérivation

Dans chaque cas, étudier les variations de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par:

$ \color{red}{\textbf{a. }} f(x) =x^4-6x^2+5$ $\color{red}{\textbf{b. }} f(x) =x^4-\dfrac 83x^3+2$

Exercice 9:

Étude des variations d'une fonction polynôme de degré 3 - Dérivation

Dans chaque cas, étudier les variations de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par:

$ \color{red}{\textbf{a. }} f(x) =-x^3+6x^2-1$ $\color{red}{\textbf{b. }} f(x) =2x^3-3x^2-36x-5$ $\color{red}{\textbf{c. }} f(x) = \dfrac{1}{4}x^4 - x^3 + x^2 - 5$

Exercice 10:

Dérivée & tableau de variations - première option maths

$f$ est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=-5x+4$. Étudier les variations de $f$:

À l'aide de la dérivation
Sans la dérivation

Exercice 11:

Dérivée & tableau de variations - première option maths

$f$ est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=-3x^2+12x-1$. Étudier les variations de $f$:

À l'aide de la dérivation
Sans la dérivation

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