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Maximum, minimum, extremum & Dérivation - problèmes d'optimisation

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Comprendre la notion de maximum, minimum et extremum d'une fonction

Qu'est-ce qu'un maximum, minimum, extremum d'une fonction
Cours

Comment trouver le maximum, minimum, extremum d'une fonction

Méthode pour trouver le maximum, minimum, extremum s'ils existent
Comment montrer une inégalité
Exercice 1:

Problème d'optimisation - un classique !

Un laboratoire pharmaceutique fabrique un produit conditionné sous la forme d'un parallélépipède rectangle dont le volume est de 576 $mm^3$. On note $y$ sa longueur et ses autres dimensions sont $x$ et $2x$. $x$ et $y$ sont en mm.
  1. Démontrer que $y=\dfrac {288} {x^2}$
  2. Démontrer la surface totale ${\rm S}(x)$, en $mm^3$ de ce parallélépipède vaut ${\rm S}(x)=4x^2+\dfrac{1728}{x}$.
  3. Vérifier que pour tout $x$ réel, $x^3-216=(x-6)(x^2+6x+36)$.
  4. $x$ est compris entre 3 et 12. Étudier le sens de variation de ${\rm S}$ sur [3;12].
  5. En déduire la valeur de $x$ pour laquelle ${\rm S}(x)$ est minimale. Donner alors les dimensions du parallélépipède.
Exercice 2:

Montrer une inégalité avec la dérivation

Montrer que pour tout réel $x$ strictement positif, $x + \dfrac{1}{x} \geqslant 2$.
Exercice 3:

Longueur minimale d'une clôture - Dérivation - Un classique

A l'aide d'un grillage, on souhaite délimiter une surface rectangulaire de $100$ m$^{2}$ adossée à un mur.
Le but de cet exercice est de trouver la longueur minimale de grillage nécessaire.
  1. On pose $AB = x$ (l'unité de longueur est le mètre). Exprimer la longueur de la clôture en mètres en fonction de $x$.
  2. Étudier les variations de la fonction $f$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par $f(x)=2x+ \dfrac{100}{x}$.
  3. Déterminer la longueur de grillage minimale (arrondie au dm près) pour délimiter une surface rectangulaire de $100$ m$^{2}$ adossée à ce mur.
Exercice 4:

Distance d'un point à une parabole - Problème d'optimisation

Dans un repère orthonormé, $\mathscr{P}$ est la parabole d'équation $y= x^2$.
$M$ est un point quelconque de $\mathscr{P}$ d'abscisse $x$ et $A$ est le point de coordonnées $(0~;~1)$.
Le but de l'exercice est de trouver la position du point $M$ sur $\mathscr{P}$ qui minimise la distance $AM$.
Nous admettons que ce problème revient à minimiser le nombre $AM^2$.
  1. Démontrer que $AM^2 = x^4 - x^2 + 1$.
  2. On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^4 - x^2 + 1$.
    1. Expliquer pourquoi il suffit d'étudier $f $ sur $[0~;~+\infty[$ pour résoudre notre problème.
    2. Calculer $f'(x)$ et étudier son signe sur $[0~;~+\infty[$.
    3. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $[0~;~+\infty[$.
    4. Conclure.
Exercice 5:

Minimiser le coût d'une boîte - Problème d'optimisation

Une entreprise souhaite fabriquer une boîte de 128 cm$^3$ de volume de la forme d'un pavé droit à base carrée. Le fond et le couvercle lui reviennent à 4 centimes le cm$^2$ et les faces latérales à 2 centimes le cm$^2$. On note $x$ la longueur en cm du côté de la base et $h$ la hauteur en cm de la boîte.
  1. Exprimer $h$ en fonction de $x$.
  2. En déduire que le prix de revient en centimes est $p(x) = 8x^2 + \dfrac{1024}{x}$.
  3. Étudier les variations de $p$ sur $]0~;~ +\infty[$.
  4. Donner les dimensions de la boîte pour que le prix de revient soit minimal.
Exercice 6:

Aire maximale d'un triangle sous une parabole

Sur la figure ci-dessous, on a représenté dans un repère orthonormé la parabole d'équation $y =-\dfrac29 x^2 + 8$.
Elle coupe l'axe des abscisses en $\rm A$ et $\rm B$. Soit $\rm M$ un point du segment $\rm [AB]$, la perpendiculaire à l'axe des abscisses passant par $\rm M$ coupe la parabole en $\rm N$.
Où placer le point $\rm M$ sur le segment $\rm [AB]$ pour avoir l'aire du triangle $\rm AMN$ maximale ?
Exercice 7:

Position relative de deux courbes

On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^4 -3x + 1$ et $g(x) = 2x^3 - 3x -1$.
On a représenté ci-dessous les courbes $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$ représentatives des fonctions $f$ et $g$.
La courbe $\mathscr{C}_f$ est-elle toujours au-dessus de $\mathscr{C}_g$? Justifier.
Exercice 8:

Minimum d'une fonction - dérivation - tableau de variations

Montrer que la fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par $f(x) = (x-2)\sqrt{x}$ admet un minimum.
  • Ce site ne convient pas aux enfants de moins de 36 mois, sauf s'ils insistent vraiment.
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  • L'efficacité du traitement dépend d'une prise régulière.
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