Maximum, minimum, extremum & Dérivation - problèmes d'optimisation

Conseils

Cours

Comprendre la notion de maximum, minimum et extremum d'une fonction

Qu'est-ce qu'un maximum, minimum, extremum d'une fonction

• Le maximum d'une fonction s'il existe, est la plus grande valeur atteinte par $f(x)$

• Le minimum d'une fonction s'il existe, est la plus petite valeur atteinte par $f(x)$

• Un extremum est un maximum ou un minimum

Exemple

Cours

Comment trouver le maximum, minimum, extremum d'une fonction

Méthode pour trouver le maximum, minimum, extremum s'ils existent

Comment montrer une inégalité

Il y a 2 méthodes très classiques:

Faire un tableau de signes
Pour montrer $\rm A\geqslant B$
Cela revient à montrer que $\rm A-B\geqslant 0$
Pour cela factoriser $\rm A-B$ puis faire le tableau de signe de $\rm A-B$
Puis vérifier dans le tableau de signe que $\rm A-B$ est toujours positif.
Faire un tableau de variations
Pour montrer $\rm A\geqslant B$
Cela revient à montrer que $\rm A-B\geqslant 0$
Pour cela poser $f(x)={\rm A-B}$
Étudier les variations de $f$
Vérifier dans le tableau de variations que $f$ est toujours positive.

Exercice 1:

Problème d'optimisation - un classique !

Un laboratoire pharmaceutique fabrique un produit conditionné sous la forme d'un parallélépipède rectangle dont le volume est de 576 $mm^3$. On note $y$ sa longueur et ses autres dimensions sont $x$ et $2x$. $x$ et $y$ sont en mm.

Démontrer que $y=\dfrac {288} {x^2}$
Démontrer la surface totale ${\rm S}(x)$, en $mm^3$ de ce parallélépipède vaut ${\rm S}(x)=4x^2+\dfrac{1728}{x}$.
Vérifier que pour tout $x$ réel, $x^3-216=(x-6)(x^2+6x+36)$.
$x$ est compris entre 3 et 12. Étudier le sens de variation de ${\rm S}$ sur [3;12].
En déduire la valeur de $x$ pour laquelle ${\rm S}(x)$ est minimale. Donner alors les dimensions du parallélépipède.

Exercice 2:

Montrer une inégalité avec la dérivation

Montrer que pour tout réel $x$ strictement positif, $x + \dfrac{1}{x} \geqslant 2$.

Exercice 3:

Longueur minimale d'une clôture - Dérivation - Un classique

A l'aide d'un grillage, on souhaite délimiter une surface rectangulaire de $100$ m$^{2}$ adossée à un mur.
Le but de cet exercice est de trouver la longueur minimale de grillage nécessaire.

On pose $AB = x$ (l'unité de longueur est le mètre). Exprimer la longueur de la clôture en mètres en fonction de $x$.
Étudier les variations de la fonction $f$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par $f(x)=2x+ \dfrac{100}{x}$.
Déterminer la longueur de grillage minimale (arrondie au dm près) pour délimiter une surface rectangulaire de $100$ m$^{2}$ adossée à ce mur.

Exercice 4:

Distance d'un point à une parabole - Problème d'optimisation

Dans un repère orthonormé, $\mathscr{P}$ est la parabole d'équation $y= x^2$.
$M$ est un point quelconque de $\mathscr{P}$ d'abscisse $x$ et $A$ est le point de coordonnées $(0~;~1)$.
Le but de l'exercice est de trouver la position du point $M$ sur $\mathscr{P}$ qui minimise la distance $AM$.
Nous admettons que ce problème revient à minimiser le nombre $AM^2$.

Démontrer que $AM^2 = x^4 - x^2 + 1$.
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^4 - x^2 + 1$.
1. Expliquer pourquoi il suffit d'étudier $f $ sur $[0~;~+\infty[$ pour résoudre notre problème.
2. Calculer $f'(x)$ et étudier son signe sur $[0~;~+\infty[$.
3. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $[0~;~+\infty[$.
4. Conclure.

Exercice 5:

Minimiser le coût d'une boîte - Problème d'optimisation

Une entreprise souhaite fabriquer une boîte de 128 cm$^3$ de volume de la forme d'un pavé droit à base carrée. Le fond et le couvercle lui reviennent à 4 centimes le cm$^2$ et les faces latérales à 2 centimes le cm$^2$. On note $x$ la longueur en cm du côté de la base et $h$ la hauteur en cm de la boîte.

Exprimer $h$ en fonction de $x$.
En déduire que le prix de revient en centimes est $p(x) = 8x^2 + \dfrac{1024}{x}$.
Étudier les variations de $p$ sur $]0~;~ +\infty[$.
Donner les dimensions de la boîte pour que le prix de revient soit minimal.

Exercice 6:

Aire maximale d'un triangle sous une parabole

Sur la figure ci-dessous, on a représenté dans un repère orthonormé la parabole d'équation $y =-\dfrac29 x^2 + 8$.
Elle coupe l'axe des abscisses en $\rm A$ et $\rm B$. Soit $\rm M$ un point du segment $\rm [AB]$, la perpendiculaire à l'axe des abscisses passant par $\rm M$ coupe la parabole en $\rm N$.

Où placer le point $\rm M$ sur le segment $\rm [AB]$ pour avoir l'aire du triangle $\rm AMN$ maximale ?

Exercice 7:

Position relative de deux courbes

On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^4 -3x + 1$ et $g(x) = 2x^3 - 3x -1$.
On a représenté ci-dessous les courbes $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$ représentatives des fonctions $f$ et $g$.
La courbe $\mathscr{C}_f$ est-elle toujours au-dessus de $\mathscr{C}_g$? Justifier.

Exercice 8:

Minimum d'une fonction - dérivation - tableau de variations

Montrer que la fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par $f(x) = (x-2)\sqrt{x}$ admet un minimum.

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