Recette coût bénéfice maximal - fonction dérivation

Une entreprise fabrique et vend un produit désinfectant liquide. Chaque jour, elle fabrique $x$ hectolitres de désinfectant avec $x$ compris entre 0 et 12. On considère que l'entreprise vend toute sa production. Le coût de fabrication, en dizaine d'euros, de $x$ hectolitres de ce produit est modélisé par la fonction $\mathscr C$ définie sur l'intervalle $[0 ; 12]$. Le chiffre d'affaires pour la vente de $x$ hectolitres de produit est ${\rm R}(x)$, exprimé en dizaines d'euros. Dans un repère orthogonal du plan, on a tracé les représentations graphiques des fonctions $\mathscr C$ en bleu et ${\rm R}$ en rouge.

1. On considère la production d'une journée. Par lecture graphique :
   1. Déterminer le chiffre d'affaires réalisé pour la vente de 4 hectolitres.
   2. Déterminer le coût de fabrication de 4 hectolitres.
   3. Ce bénéfice est-il maximal pour la production et la vente de 4 hectolitres ? Justifier.
2. Par lecture graphique, donner sous forme d'intervalle, le nombre d'hectolitres que doit produire l'entreprise pour réaliser des profits.
3. La représentation graphique de la fonction ${\rm R}$ est une droite qui passe par l'origine du repère et par le point $\rm A$ de coordonnées (4 ; 600). Déterminer l'expression de ${\rm R}(x)$.
   En déduire le prix de vente de 1 hectolitre.

Dans une entreprise, la fabrication journalière de $x$ objets conduit à un coût de fabrication en euro modélisé par la fonction $f(x)=x^2-40x+480$. La production ne peut dépasser $50$ objets par jour. On a représenté la courbe de la fonction $f$ sur le graphique ci-dessous. Chaque objet fabriqué est vendu $12$€.
Pour $x\in [0;50]$, on note ${\rm R}(x)$ la recette et ${\rm B}(x)$ le bénéfice en euros obtenus pour la vente de $x$ objets.

1. Écrire en fonction de $x$ l'expression de ${\rm R}(x)$.
2. Tracer sur ce graphique, la courbe de la fonction recette.
3. À l'aide du graphique, déterminer :
   1. à quel intervalle doit appartenir $x$ pour que l'entreprise soit bénéficiaire.
   2. la quantité à produire pour réaliser un bénéfice maximal.
4. 1. Montrer que pour tout $x$ de $[0~;~\!50]$, ${\rm B}(x)=-x^2+52x-480$
   2. Montrer que pour tout $x$ de $[0~;~\!50]$, ${\rm B}(x)=(40-x)(x-12)$
   3. En déduire le tableau de signes de ${\rm B}(x)$.
      En déduire à quel intervalle doit appartenir $x$ pour que l'entreprise soit bénéficiaire.
   4. Calculer ${\rm B}'(x)$ pour $x$ de $[0~;~\!50]$. En déduire le tableau de variations de ${\rm B}$ sur $[0~;~\!50]$.
      En déduire la quantité à produire pour réaliser un bénéfice maximal. Quel est alors le montant de ce bénéfice maximal ?

Une entreprise fabrique des composants électroniques. La production ne peut dépasser $15~000$ composants par mois. Le coût de fabrication, en milliers d'euros pour fabriquer $x$ milliers de composants est modélisé par la fonction définie sur $[0~;~\!15]$ par ${\rm C}(x)=0,5x^2+0,6x+8,16$. On a représenté la courbe de la fonction $\rm C$ sur le graphique ci-dessous. Chaque composant fabriqué est vendu au prix unitaire de $8$€.
On note ${\rm R}(x)$ la recette et ${\rm B}(x)$ le bénéfice en milliers d'euros obtenus pour la vente de $x$ milliers de composants.

1. Est-il plus avantageux de fabriquer et vendre $4~000$ composants ou de fabriquer et vendre $12~000$ composants.
2. Tracer sur ce graphique, la courbe de la fonction recette.
3. À l'aide du graphique, déterminer :
   1. à quel intervalle doit appartenir $x$ pour que l'entreprise réalise des profits.
   2. la quantité à produire pour réaliser un bénéfice maximal.
      Quel est alors le montant de ce bénéfice maximal ?
4. 1. Montrer que pour tout $x\in [0~;~\!15]$, ${\rm B}(x)=-0,5x^2+7,4x-8,16$
   2. Montrer que pour tout $x\in [0~;~\!15]$, ${\rm B}(x)=-0,5(x-13,6)(x-1,2$)
   3. En déduire le tableau de signes de ${\rm B}(x)$.
      En déduire à quel intervalle doit appartenir $x$ pour que l'entreprise réalise des profits.
   4. Calculer ${\rm B}'(x)$ pour $x$ de $[0~;~\!15]$. En déduire le tableau de variations de ${\rm B}$ sur $[0~;~\!15]$.
      En déduire la quantité à produire pour réaliser un bénéfice maximal. Quel est alors le montant de ce bénéfice maximal ?

Une entreprise fabrique des canapés. La production ne peut dépasser $70$ canapés par jour. La production de $x$ canapés par jour conduit à un coût de fabrication en euro modélisé par la fonction $C(x)=x^3-90x^2+2700x$. On a représenté la courbe de la fonction $\rm C$ sur le graphique ci-dessous. Chaque canapé fabriqué est vendu $900$€.
On note ${\rm R}(x)$ la recette et ${\rm B}(x)$ le bénéfice en euros obtenus pour la fabrication et la vente de $x$ canapés.

1. Calculer pour 20 canapés fabriqués et vendus, le coût de fabrication et la recette. L'entreprise est-elle bénéficiaire ?
2. Écrire en fonction de $x$ l'expression de ${\rm R}(x)$.
3. Tracer sur ce graphique, la courbe de la fonction $\rm R$.
4. À l'aide du graphique, déterminer :
   1. à quel intervalle doit appartenir $x$ pour que l'entreprise soit bénéficiaire.
   2. la quantité à produire pour réaliser un bénéfice maximal.
      Quel est alors le montant de ce bénéfice maximal ?
5. 1. Montrer que pour tout $x$ de $[0~;~\!70]$ par ${\rm B}(x)=-x^3+90x^2-1800x$
   2. Montrer que pour tout $x$ de $[0~;~\!70]$, ${\rm B}(x)=x(30-x)(x-60)$
   3. En déduire le tableau de signes de ${\rm B}(x)$.
      En déduire à quel intervalle doit appartenir $x$ pour que l'entreprise soit bénéficiaire.

Une entreprise produit et vend un tissu en coton de forme rectangulaire de 1 mètre de large. On note $x$ sa longueur exprimée en kilomètre, $x$ étant un nombre compris entre 0 et 10. Le coût total de production en euro de ce tissu est donné, en fonction de $x$, par : ${\rm C}(x)=15x^3-120x^2+350x+1000$.
La courbe de la fonction $\rm C$ est représentée sur le graphique ci-dessous:

1. Déterminer le montant des coûts fixes.
2. 1. Déterminer, par lecture graphique, le montant du coût total lorsque l'entreprise produit $6~\!\text{km}$ de tissu.
   2. Déterminer par un calcul sa valeur exacte.
3. Déterminer graphiquement la longueur, arrondie au kilomètre, de tissu produit lorsque le coût total s'élève à $5~500~\!$€.
4. Le cours du marché offre un prix de $530~\!$€ le kilomètre de tissu fabriqué par l'entreprise. Pour tout $x\in [0~;~\!10]$, on note ${\rm R}(x)$ la recette et ${\rm B}(x)$ le bénéfice générés par la production et la vente de $x$ kilomètres de tissu par l'entreprise.
   1. Exprimer ${\rm R}(x)$ en fonction de $x$.
   2. Montrer que pour tout $x\in [0~;~\!10]$, ${\rm B}(x) = -15x^3+120x^2+180x-1000$.
   3. Déterminer ${\rm B'}(x)$ pour $x\in [0~;~\!10]$
   4. Montrer que pour tout $x\in [0~;~\!10]$, ${\rm B}'(x)=(90-15x)(3x+2)$
   5. Étudier le signe de ${\rm B}'(x)$ et en déduire les variations de la fonction ${\rm B}$ sur $[0~;~\!10]$.
   6. Pour quelle longueur de tissu produit et vendu l'entreprise réalise-t-elle un bénéfice maximal ? Donner alors la valeur de ce bénéfice maximal.