Dérivation - Lire la dérivée avec la tangente

Conseils

Dérivation - Tangente

Exercice type

pour avoir lire le nombre dérivé f'(x) avec la tangente

(en 5 min!)

Cours complet

Tangente à une courbe d'une fonction

• Définition

On appelle tangente à la courbe de

$f$ au point d'abscisse

$a$ , la droite passant par le point A

$(a;f(a))$ et de coefficient directeur

$f'(a)$

Sous réserve que

$f$ soit dérivable en

$a$ .

Dire que le coefficient directeur est

$f'(a)$ signifie qu'un déplacement de 1 horizontalement entraîne un déplacement de $f'(a)$ verticalement.

Exemple

Soit

$f(x)=x^2$ , on a vu au paragraphe précédent que

$f$ est dérivable en

$1$ et que

$f'(1)=2$ . Qu'en déduit-on

On en déduit que la tangente au point d'abscisse

$1$ passe par le point A

$(1;f(1))$ c'est à dire A

$(1;1)$ et a pour coefficient directeur 2.

• Equation de la tangente

L'équation réduite de la tangente au point d'abscisse

$a$ est:

$y=f'(a)(x-a)+f(a)$

Sous réserve que

$f$ soit dérivable en

$a$ .

Pour démontrer cette formule

La tangente admet une équation réduite de la forme $y=mx+p$
La fonction étant dérivable en $a$ , la tangente est une droite non verticale et comme toute droite non verticale, elle admet une équation réduite de la forme $y=mx+p$
Le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse $a$ est $f'(a)$ donc $m=f'(a)$ . Donc on peut écrire $y=f'(a)x+p$
La tangente au point d’abscisse $a$ passe par le point A $(a;f(a))$
On peut donc remplacer dans l'équation réduite $x$ par $a$ et $y$ par $f(a)$ on obtient: $f(a)=f'(a)a+p$ donc $p=f(a)-f'(a)a$ .
En remplaçant $p$ dans l'équation, on obtient $y=f'(a)x+f(a)-f'(a)a$ puis on factorise $f'(a)$ et on obtient: $y=f'(a)(x-a)+f(a)$

• 2 approches pour

$f'(a)$

Avec les limites

$f'(a)=\lim_\limits{\substack{h \to 0}}\dfrac{f(a+h)-f(a)}h$

$=\lim_\limits{\substack{x \to a}}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$

Avec la tangente

$f'(a)$ est le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse

$a$ .

Exemple Si

$f'(2)=3$ alors

On en déduit alors que:

$\lim_\limits{\substack{h \to 0}}\dfrac{f(2+h)-f(2)}h=3$ ou encore dit différemment

$\lim_\limits{\substack{x \to 2}}\dfrac{f(x)-f(2)}{x-2}=3$

Le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse

$2$ est

$3$ .

• Lire

$f'(a)$

Trouver sur le graphique la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$ .
Lire le coefficient directeur de cette tangente
Si on connaît 2 points A et B sur la tangente alors le coefficient directeur $=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$ = $\dfrac{\text{Déplacement vertical}}{\text{Déplacement horizontal}}$
Ce coefficient directeur est $f'(a)$

Exemple

On a tracé la tangente à la courbe d'une fonction

$f$ au point d'abscisse

$1$ .

Combien vaut

$f'(1)$

$f'(1)=\dfrac{\text{Déplacement vertical}}{\text{Déplacement horizontal}}$

$=\dfrac 43$

•

$f$ pas dérivable

Si une fonction est dérivable en $a$
alors elle admet une tangente au point d'abscisse $a$ .
Si une fonction n'est pas dérivable en $a$
elle peut quand même admettre une tangente au point d'abscisse $a$ .
La fonction racine carrée n'est pas dérivable en 0 et pourtant elle admet une tangente verticale au point d'abscisse 0.

• Vecteur directeur

Rappel Lien entre vecteur directeur et coefficient directeur

si une droite admet comme coefficient directeur

$m$ alors

$\vec u(1;m)$ est un vecteur directeur de cette droite

On va appliquer cette propriété avec la tangente qui admet comme coefficient directeur

$f'(a)$ . Et donc la tangente admet comme vecteur directeur

$\vec u(1;f'(a))$ .

un vecteur directeur de la tangente est $\vec u (1;f'(a))$
Sous réserve que $f$ soit dérivable en $a$ .

Entraîne toi à lire

$f'(a)$ et

$f(a)$ !

Dérivation et Nombre dérivé : Exercices à Imprimer

Exercice 1:

Lire le nombre dérivé f'(a) avec la tangente - coefficient directeur première option maths

$\mathscr{C}$ est la courbe représentative d'une fonction

$f$ . A, B et C sont les points de

$\mathscr{C}$ d'abscisses respectives -2 ; 0 et 1.

$\rm T_1$ ,

$\rm T_2$ et

$\rm T_3$ sont les tangentes respectives à

$\mathscr{C}$ en A, B et C:

Lire le nombre dérivé de

$f$ :

$\color{red}{\textbf{a. }}$ en

$-2$

$\color{red}{\textbf{b. }}$ en

$0$

$\color{red}{\textbf{c. }}$ en

$1$

Exercice 2:

Lire le coefficient directeur de la tangente - nombre dérivé - première option maths

Dans le repère orthonormé ci-dessous,

$\mathscr{C}$ est la courbe représentative d'une fonction

$f$ .
Les droites

$\rm T_1$ ,

$\rm T_2$ et

$\rm T_3$ sont les tangentes respectives à la courbe

$\mathscr{C}$ aux points

$\rm A$ d'abscisse

$-3$ ,

$\rm B$ d'abscisse

$1$ et

$\rm C$ d'abscisse

$3$ .

Lire le coefficient directeur de $\rm T_1$ .
En déduire $f'(-3)$ .
Déterminer de même $f'(1)$ et $f'(3)$ .

Exercice 3:

Dérivée & coefficient directeur de la tangente - première option maths

Dans le repère orthonormé ci-dessous,

$\mathscr{C}$ est la courbe représentative d'une fonction

$f$ .

Tracer la tangente $\rm T_1$ à la courbe $\mathscr{C}$ au point d'abscisse $1$ sachant que $f'(1)=4$ .
Tracer la tangente $\rm T_2$ à la courbe $\mathscr{C}$ au point d'abscisse $4$ sachant que $f'(4)=-2$ .

Exercice 4:

Tracer la tangente - première option maths

Dans le repère orthonormé ci-dessous,

$\mathscr{C}$ est la courbe représentative d'une fonction

$g$ .

Tracer de façon approchée la tangente T à la courbe $\mathscr{C}$ au d'abscisse $2$ .
En déduire une valeur approchée de $g'(2)$ .

Exercice 5:

équation de la tangente - première option maths

Dans le repère orthonormé ci-dessous,

$\mathscr{C}$ est la courbe représentative d'une fonction

$f$ .

$\rm T$ est la tangente à

$\mathscr{C}$ au point

$\rm A$ d'abscisse

$2$ .

Déterminer le coefficient directeur de $\rm T$ .
Déterminer l'équation réduite de $\rm T$ .

Exercice 6:

Lire f et f' - dérivée - première option maths

Dans le repère orthonormé ci-dessous,

$\mathscr{C}$ est la courbe représentative d'une fonction

$f$ .
Les droites tracées en vert sont les tangentes à la courbe

$\mathscr{C}$ aux points d'abscisses

$-5$ ;

$-1$ et

$3$ .

Lire $f(-5)$ puis $f'(-5)$ .
Lire $f(-1)$ , $f(3)$ , $f'(-1)$ et $f'(3)$ .

Exercice 7: Lire le nombre dérivé f'(a) à l'aide de la tangente - Première spé maths S - ES - STI

On considère une fonction

$f$ dérivable sur

$\mathbb{R}$ , représentée par sa courbe

$\cal C$ en noire ci-dessous:

On a également tracé les tangentes à la courbe de

$f$ aux points d'abscisses -4, -1, 3 et 4.
Déterminer graphiquement

$f(-4)$ ,

$f'(-4)$ ,

$f(-1)$ ,

$f'(-1)$ ,

$f(4)$ et

$f'(4)$

Exercice 8: Équation de la tangente à une courbe - f'(a) - Première spécialité maths S - ES - STI

On considère une fonction

$f$ dérivable sur

$\mathbb{R}$ , représentée par sa courbe

$\cal C$ en noire ci-dessous:

On a également tracé en rouge la tangente

$\mathcal{T}$ à la courbe de

$f$ au point d'abscisse -1.
A l'aide du graphique, déterminer

$f'(-1)$ puis une équation de cette tangente

$\mathcal{T}$ .

Exercice 9: Utiliser l'équation de la tangente à une courbe pour trouver f(a) et f'(a) - Première spécialité maths S - ES - STI

La courbe d'une fonction

$g$ admet une tangente au point d'abscisse

$-1$ d'équation

$y=-2x+1$ .
Déterminer

$g(-1)$ et

$g'(-1)$ .