Tangente et nombre dérivé Première spé : cours, lecture graphique et équation

Tangente et nombre dérivé

Dans cette page, tu vas apprendre à lire le nombre dérivé $f'(a)$ sur un graphique et comprendre le lien avec la tangente.

👉 comprendre ce qu'est la tangente à une courbe ;
👉 interpréter $f'(a)$ comme un coefficient directeur ;
👉 savoir lire graphiquement $f'(a)$ ;
👉 connaître et utiliser l'équation de la tangente.

🚀 Choisis ton parcours

👉 Option 1 : Commence par un exercice guidé en vidéo.

📺 Exercice type : lire le nombre dérivé $f'(a)$ avec la tangente 👇

👉 Option 2 : Regarde d'abord le cours complet.

📺 Cours complet : tangente à la courbe d'une fonction 👇

🎯 Tangente et nombre dérivé

💡 Intuitivement, la tangente en ${\rm A}$ est la droite qui se confond avec la courbe au voisinage de $\rm A$.

Si $f$ est dérivable en $a$, la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$ est la droite :

👉 qui passe par le point ${\rm A}(a;f(a))$ ;
👉 et qui a pour coefficient directeur $f'(a)$.

📌 À retenir :

\[ \boldsymbol{ f'(a)=\text{coefficient directeur de la tangente en }a } \]

Dire que le coefficient directeur de la tangente est $f'(a)$ signifie qu'un déplacement de 1 horizontalement entraîne un déplacement de $f'(a)$ verticalement.

Exemple : si $f(x)=x^2$ et $f'(1)=2$, alors la tangente au point d'abscisse $1$ passe par \[ {\rm A}(1;f(1))={\rm A}(1;1) \] et son coefficient directeur est $2$.

🎯 Équation de la tangente

Si $f$ est dérivable en $a$, l'équation réduite de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$ est :

\[ \boldsymbol{y=f'(a)(x-a)+f(a)} \]

💡 Démonstration de cette formule

La tangente est une droite non verticale, donc elle admet une équation réduite qui est de la forme \[ y=mx+p. \]
Son coefficient directeur est $f'(a)$, donc \[ y=f'(a)x+p. \]
La tangente passe par le point ${\rm A}(a;f(a))$. On remplace donc $x$ par $a$ et $y$ par $f(a)$ : \[ f(a)=f'(a)a+p. \] Ainsi, \[ p=f(a)-f'(a)a. \]
En remplaçant $p$, on obtient : \[ \boxed{\boldsymbol{y=f'(a)(x-a)+f(a)}}. \]

🎯 Deux façons d'interpréter $f'(a)$

Le nombre dérivé $f'(a)$ peut être vu de deux façons.

👉 Avec une limite : \[ f'(a)=\lim_{h\to0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} \] ou encore \[ f'(a)=\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}. \]
👉 Avec la tangente :

\[ \boldsymbol{ f'(a)=\text{coefficient directeur de la tangente en }a } \]

Exemple : Si $f'(2)=3$, alors avec les limites, cela signifie : \[ \lim_{h\to0}\dfrac{f(2+h)-f(2)}h=3 \] ou encore \[ \lim_{x\to2}\dfrac{f(x)-f(2)}{x-2}=3. \]
Avec la tangente, cela signifie que son coefficient directeur au point d'abscisse $2$ est $3$.

🎯 Lire graphiquement $f'(a)$

Pour lire $f'(a)$ sur un graphique :

👉 1. Trouver sur le graphique la tangente à la courbe au point d'abscisse $a$.

👉 2. Lire le coefficient directeur de cette tangente

Rappel :
Si on connaît deux points ${\rm A}$ et ${\rm B}$ d'une droite, on peut déterminer son coefficient directeur :

\[ \boldsymbol{ \text{coefficient directeur} = \dfrac{y_{\rm B}-y_{\rm A}}{x_{\rm B}-x_{\rm A}}\\ = \dfrac{\text{Déplacement vertical}} {\text{Déplacement horizontal}} } \]

Exemple :

👉 On va appliquer ce rappel à la tangente qui est une droite pour trouver son coefficient directeur.

👉 3. Ce coefficient directeur est $f'(a)$.

⭐ À retenir absolument

\[ \boldsymbol{ f'(a) = \dfrac{\text{Déplacement vertical}} {\text{Déplacement horizontal}} } \]

Exemple : on a tracé la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $1$.

Ici : \[ \boxed{ \boldsymbol{ f'(1) = \dfrac{\text{Déplacement vertical}} {\text{Déplacement horizontal}} = \dfrac{4}{3} } } \]

🎯 Fonction non dérivable : Piège !

👉 Si une fonction est dérivable en $a$, alors elle admet une tangente non verticale au point d'abscisse $a$.

👉 Si une fonction n'est pas dérivable en $a$, alors elle peut avoir une tangente en $a$, mais dans ce cas la tangente sera verticale en $a$.

Par exemple, la fonction racine carrée n'est pas dérivable en $0$, mais sa courbe admet une tangente verticale au point d'abscisse $0$.

🎯 Vecteur directeur de la tangente

Rappel : si une droite a pour coefficient directeur $m$, alors \[ \boldsymbol{\vec u(1;m)} \] est un vecteur directeur de cette droite.

si $f$ est dérivable en $a$ alors la tangente au point d'abscisse $a$ a pour coefficient directeur $f'(a)$.

Donc un vecteur directeur de la tangente est : \[ \boxed{\boldsymbol{\vec u(1;f'(a))}} \]

🎯 L'essentiel

📌 À retenir :

👉 La tangente au point d'abscisse $a$ passe par ${\rm A}(a;f(a))$.

👉 Son coefficient directeur est : \[ \boxed{\boldsymbol{f'(a)}}. \]
👉 Pour lire $f'(a)$ graphiquement, on calcule donc le coefficient directeur de la tangente.

\[ \boldsymbol{ \text{coefficient directeur} = \dfrac{y_{\rm B}-y_{\rm A}}{x_{\rm B}-x_{\rm A}}\\ = \dfrac{\text{déplacement vertical}} {\text{déplacement horizontal}} } \]

👉 L'équation réduite de la tangente est : \[ \boxed{\boldsymbol{y=f'(a)(x-a)+f(a)}}. \]
👉 Un vecteur directeur de la tangente est : \[ \boxed{\boldsymbol{\vec u(1;f'(a))}}. \]

Entraîne-toi à lire $f'(a)$ et $f(a)$ !

Exercice 1:

Lire le nombre dérivé f'(a) avec la tangente - coefficient directeur première maths

$\mathscr{C}$ est la courbe représentative d'une fonction $f$.

A, B et C sont les points de $\mathscr{C}$ d'abscisses respectives $-2$ ; $0$ et $1$. $\rm T_1$, $\rm T_2$ et $\rm T_3$ sont les tangentes respectives à $\mathscr{C}$ en A, B et C :