Dérivée de 1/x et 1/x^n : cours et exercices corrigés

Calculer une dérivée

Dans la page précédente, nous avons appris à dériver les fonctions $x$, $x^2$, $x^3$, plus généralement $x^n$, ainsi que les fonctions polynômes.

👉 Dans cette page, nous allons apprendre à dériver les fonctions de la forme $\dfrac1x$ et $\dfrac1{x^n}$.

Nous verrons également comment gérer les constantes, par exemple dans des expressions comme $\dfrac{2}{5x}$ ou $\dfrac{2}{3x^5}$.

📌 Dans les pages suivantes :

Nous apprendrons aussi à dériver :

👉 Dériver un produit de deux fonctions →
👉 Dériver un quotient de deux fonctions →

🎯 Objectif : savoir dériver les fonctions contenant $\dfrac1x$ ou $\dfrac1{x^n}$, en faisant attention au domaine de validité et aux constantes.

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👉 Option 1 : Commence par la dérivée de $\dfrac1x$.

📺 Dériver des fonctions du type $\dfrac1x$ et ses variantes 👇

👉 Option 2 : Passe ensuite à $\dfrac1{x^n}$.

📺 Dériver des fonctions du type $\dfrac1{x^n}$ 👇

👉 Clique sur les ampoules pour afficher les explications du cours 👇

🎯 Dérivée de $\dfrac1{x}$

La fonction $f$ définie par

$\boldsymbol{f(x)=\dfrac1x}$

est définie et dérivable sur : \[ ]-\infty;0[\ \cup\ ]0;+\infty[. \]

⭐ Formule à connaître

\[ \boldsymbol{ f(x)=\dfrac1x \quad\Longrightarrow\quad f'(x)=-\dfrac1{x^2} } \]

📌 Attention au domaine de validité :

La fonction $\dfrac1x$ n'est pas définie en $0$. La formule de dérivation est donc valable pour $x\neq0$.

Exemple avec des constantes :

$\boldsymbol{f(x)=\dfrac{2}{5x}}$

💡 Quand il y a des constantes, pense à les sortir avant de dériver.

La fonction $f$ est définie et dérivable sur $]-\infty;0[\cup]0;+\infty[$.

On commence par écrire : \[ f(x)=\dfrac25\times\dfrac1x. \] Puis : \[ f'(x) =\dfrac25\times\left(-\dfrac1{x^2}\right) =-\dfrac{2}{5x^2}. \]

💡 Quand une constante multiplie une fonction, on utilise la règle vue dans la page précédente : $(ku)'=ku'$.

🎯 Dérivée de $\dfrac1{x^n}$
$n$ est un entier supérieur ou égal à $1$.

Pour dériver une fonction du type $\dfrac1{x^n}$, pas besoin d'apprendre une nouvelle formule.

On transforme :

\[ \boldsymbol{\dfrac1{x^n}=x^{-n}} \]

Puis on applique la règle de dérivation de $x^n$.

💡 La formule de dérivation de $x^n$ reste valable ici avec un exposant entier négatif.

💡 La fonction $f(x)=\dfrac1{x^n}$ est définie et dérivable pour $x\neq0$.

Exemple : \[ f(x)=\dfrac1{x^3}. \] La fonction $f$ est définie et dérivable sur $]-\infty;0[\cup]0;+\infty[$.

On écrit : \[ f(x)=x^{-3}. \] Donc : \[ f'(x)=-3x^{-4} =-\dfrac3{x^4}. \]

📌 Comme pour $\dfrac1x$ :

S'il y a des constantes, pense à les sortir avant de dériver.

Exemple avec des constantes : \[ f(x)=\dfrac{2}{3x^5}. \] La fonction $f$ est définie et dérivable sur $]-\infty;0[\cup]0;+\infty[$.

On écrit : \[ f(x) =\dfrac23\times\dfrac1{x^5} =\dfrac23x^{-5}. \] Donc : \[ f'(x) =\dfrac23\times(-5)x^{-6} =-\dfrac{10}{3}x^{-6} =-\dfrac{10}{3x^6}. \]

🎯 L'essentiel

📌 À retenir :

Les fonctions $\dfrac1x$ et $\dfrac1{x^n}$ sont définies et dérivables pour $x\neq0$.
Si $f(x)=\dfrac1x$, alors $ \boxed{\boldsymbol{f'(x)=-\dfrac1{x^2}}} $.
Pour dériver $\dfrac1{x^n}$, écrire $\dfrac1{x^n}=x^{-n}$, puis dériver comme une puissance.
S'il y a des constantes, penser à les sortir avant de dériver.

Exercice 1:

Calcul de dérivée - première spécialité mathématiques

Dans chaque cas, $f$ est une fonction définie et dérivable sur $]-\infty;0[\cup ]0;+\infty[$. Déterminer $f'(x)$ :

$\color{red}{\textbf{a. }} f(x)=\dfrac 1x$ $\color{red}{\textbf{b. }} f(x)=\dfrac{2}{5x}$ $\color{red}{\textbf{c. }} f(x)=\dfrac{7x}4-\dfrac{1}{3x}$

Exercice 2:

Calcul de dérivée - première spécialité mathématiques

Dans chaque cas, $f$ est une fonction définie et dérivable sur l'ensemble $\rm D$ indiqué. Déterminer $f'(x)$ :

$\color{red}{\textbf{a. }} f(x)=\dfrac x3$ et ${\rm D}=\mathbb{R}$ $\color{red}{\textbf{b. }} f(x)=\dfrac 3x$ et ${\rm D}=]-\infty;0[\cup ]0;+\infty[$ $\color{red}{\textbf{c. }} f(x)=\dfrac {3}{2x^2}$ et ${\rm D}=]-\infty;0[\cup ]0;+\infty[$

Exercice 3:

Calcul de dérivée - première spécialité mathématiques

Dans chaque cas, $f$ est une fonction définie et dérivable sur $]-\infty;0[\cup ]0;+\infty[$. Déterminer $f'(x)$ :

$\color{red}{\textbf{a. }} f(x)=\dfrac 5{x^3}$ $\color{red}{\textbf{b. }} f(x)=2x^3-\dfrac{3}{4x^5}$

Exercice 4:

Calcul de dérivée - première spécialité mathématiques

Dans chaque cas, justifier que $f$ est dérivable sur ${\rm D}_f$ et calculer $f'(x)$ pour $x\in {\rm D}_f$:

$\color{red}{\textbf{a. }} f(x)=\dfrac 3x-\dfrac{4}{5x^3}$ et ${\rm D}_f=]-\infty;0[\cup ]0;+\infty[$ $\color{red}{\textbf{b. }} f(x)=\dfrac {3x}4-2+\dfrac 5{x^2}$ et ${\rm D}_f=\left]-\infty;0\right[$

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