Calcul de dérivée - Cours
Quotient \(\left(\dfrac uv\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\)

Soit \(u\) et \(v\) deux fonctions dérivables sur un intervalle \(\rm I\), avec \(v\) qui ne s'annule pas sur \(\rm I\).

Alors la fonction \(\dfrac uv\) est également dérivable sur \(\rm I\) et on a :

Exemple : \[ f(x)=\dfrac{x^2+1}{x-1}. \]
Le dénominateur s'annule en $1$. Donc la fonction $f$ est définie sur $\mathbb R\setminus\{1\}$.

\(f\) est le quotient de deux fonctions \(u\) et \(v\) définies sur \(\mathbb R\setminus\{1\}\) par : \[ u(x)=x^2+1 \qquad\text{et}\qquad v(x)=x-1. \] Les fonctions \(u\) et \(v\) sont dérivables sur \(\mathbb R\setminus\{1\}\) et \(v\) ne s'y annule pas.

Donc \(f=\dfrac uv\) est dérivable sur \(\mathbb R\setminus\{1\}\).

On a pour tout $x\neq 1$ : \[ u'(x)=2x \qquad\text{et}\qquad v'(x)=1. \]
On applique la formule : \[ f'(x) = \dfrac{ u'(x)v(x)-u(x)v'(x) } {v(x)^2}. \] Donc : \[ f'(x) = \dfrac{ 2x(x-1)-(x^2+1) } {(x-1)^2}. \] Puis : \[ \boxed{ \boldsymbol{ f'(x) = \dfrac{x^2-2x-1}{(x-1)^2} }} \]

Lorsqu'il y a une constante au dénominateur, il est beaucoup plus simple de sortir cette constante plutôt que d'utiliser la formule du quotient.

On « sort » la constante : où \(k\) est une constante non nulle.

Exemple : \[ f(x) = \dfrac{2x^3-4x^2+5x-8}{7}. \] La fonction \(f\) est dérivable sur \(\mathbb R\).

On commence par écrire : \[ f(x) = \dfrac17 \left( 2x^3-4x^2+5x-8 \right). \]
On utilise ensuite la règle : Donc : \[ f'(x) = \dfrac17 \left( 6x^2-8x+5 \right). \] Finalement : \[ \boxed{ \boldsymbol{ f'(x) = \dfrac{6x^2-8x+5}{7} }} \]