Calcul de dérivée - produit : formule (uv)' = u'v + uv'

Dériver un produit

Dans la page précédente, nous avons appris à dériver les fonctions $x$, $x^2$, $x^3$, plus généralement $x^n$, ainsi que les fonctions polynômes.

👉 Dans cette page, nous allons apprendre à dériver un produit de deux fonctions, par exemple : \[ f(x)=\sqrt{x}(x-1). \]

📌 Dans la page suivante :

Nous apprendrons à dériver un quotient de deux fonctions.

👉 Dériver un quotient de deux fonctions →

🎯 Objectif : savoir dériver un produit de deux fonctions, mais aussi reconnaître les situations où l'on peut éviter d'utiliser la formule du produit.

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👉 Option 1 : Apprends à utiliser la formule $(uv)'=u'v+uv'$.

📺 Dériver un produit avec la formule $(uv)'=u'v+uv'$ 👇

👉 Option 2 : Découvre le cours complet avec différentes méthodes pour dériver un produit et éviter la formule quand c'est possible.

📺 3 techniques pour dériver un produit 👇

🎯 Dérivée d'un produit

Soit $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $\rm I$. Alors la fonction $uv$ est également dérivable sur $\rm I$ et on a :

⭐ Formule à connaître

\[ \boldsymbol{(uv)'=u'v+uv'} \]

Exemple : \[ f(x)=(x-1)(x^2+x). \]

La fonction $f$ est le produit de deux fonctions dérivables sur $\mathbb R$ définies par $u(x)=x-1$ et $v(x)=x^2+x$.

Donc $f$ est aussi dérivable sur $\mathbb R$ et on a :

\[ u(x)=x-1 \qquad\text{et}\qquad v(x)=x^2+x. \] On a : \[ u'(x)=1 \qquad\text{et}\qquad v'(x)=2x+1. \]
On applique la formule : \[ f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x). \] Donc : \[ f'(x) =(x^2+x)+(x-1)(2x+1). \] Puis : \[ \boxed{\boldsymbol{f'(x)=3x^2-1}}. \]

⭐ Essayer d'éviter la formule $(uv)'$

La formule \[ (uv)'=u'v+uv' \] est très utile, mais elle peut parfois rendre les calculs plus compliqués que nécessaire.

💡 Conseil :

Avant d'utiliser la formule du produit, regarde toujours s'il existe une méthode plus simple.

Il y a notamment deux situations où l'on peut facilement éviter cette formule :

👉 lorsque l'on peut développer, par exemple $f(x)=(x-1)(x^2+x)$;

👉 lorsqu'une constante multiplie une fonction, par exemple $f(x)=3x^2$

🎯 Méthode 1 : développer

Quand le produit peut être développé facilement, il est souvent plus simple de développer avant de dériver.

Reprenons l'exemple précédent : \[ f(x)=(x-1)(x^2+x). \] On développe : \[ f(x)=x^3-x. \] On peut maintenant dériver terme par terme : \[ f'(x)=3x^2-1. \]

💡 On retrouve bien le même résultat : \[ \boxed{\boldsymbol{f'(x)=3x^2-1}}. \] Ici, développer permet donc d'éviter complètement la formule du produit.

🎯 Méthode 2 : une constante

Quand une constante multiplie une fonction, inutile d'utiliser la formule du produit.

On utilise la formule beaucoup plus simple :

\[ \boldsymbol{(ku)'=ku'} \]

où $k$ est une constante.

Exemple : \[ f(x)=3x^2. \]
On applique la formule $(ku)'=ku'$ : \[ f'(x)=3\times2x. \] Donc : \[ \boxed{\boldsymbol{f'(x)=6x}}. \]

💡 On pourrait considérer $3x^2$ comme un produit et utiliser la formule $(uv)'$.

Mais ce serait beaucoup plus compliqué : ici, la formule $(ku)'=ku'$ est bien plus pratique.

🎯 Quand utiliser la formule du produit ?

Il existe enfin des situations où l'on ne peut pas esquiver la formule du produit.

C'est notamment le cas lorsque le produit ne peut pas être développé simplement et qu'aucun des deux facteurs n'est une constante.

Exemple : \[ f(x)=x\sqrt{x}. \] On se place sur l'intervalle : \[ ]0;+\infty[. \] Sur cet intervalle, les fonctions $u(x)=x$ et $v(x)=\sqrt{x}$ sont dérivables. Donc $f$ est aussi dérivable sur $]0;+\infty[$.

On pose : \[ u(x)=x \qquad\text{et}\qquad v(x)=\sqrt{x}. \] On a : \[ u'(x)=1 \qquad\text{et}\qquad v'(x)=\dfrac1{2\sqrt{x}}. \] On applique la formule du produit : \[ f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x). \] Donc : \[ f'(x) =\sqrt{x} +\dfrac{x}{2\sqrt{x}}. \] Pour $x>0$, \[ \dfrac{x}{\sqrt{x}}=\sqrt{x}. \] Ainsi : \[ f'(x) =\sqrt{x}+\dfrac12\sqrt{x}. \] Finalement, pour tout $x\in]0;+\infty[$ :

$ \boxed{\boldsymbol{f'(x)=\dfrac32\sqrt{x}}}$

💡 Une autre méthode consiste à écrire $f(x)=x\sqrt{x}=x^{\frac 32}$
puis à dériver directement avec la formule des puissances $x^n \mapsto nx^{n-1}$.

🎯 L'essentiel

📌 À retenir :

Pour dériver un produit de deux fonctions : \[ \boxed{\boldsymbol{(uv)'=u'v+uv'}} \]
Avant d'utiliser cette formule, regarde si tu peux développer.
Si une constante multiplie une fonction, utilise plutôt : \[ \boxed{\boldsymbol{(ku)'=ku'}} \]
Si le produit ne peut pas être simplifié, il faut alors utiliser la formule du produit.

Exercice 1:

Calcul de dérivée - première spé maths

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=(5x^2-2x+3)(2x^3-4x+1)$.
Déterminer l'expression de sa dérivée $f'(x)$ à l'aide de la formule de dérivation d'un produit.

Exercice 2:

Calcul de dérivée - première spé maths

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=(x^3-4x)(5-2x)$.
Déterminer l'expression de sa dérivée $f'(x)$:

À l'aide de la formule de dérivation d'un produit.
Après avoir développé

Exercice 3:

Calcul de dérivée - première spé maths

Soit $f$ la fonction définie sur $]0;+\infty[$ par $f(x)=(3x^2-1)\sqrt x$.
Déterminer l'expression de sa dérivée $f'(x)$.

Exercice 4:

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Soit $f$ la fonction définie sur $]0;+\infty[$ par $f(x)=x\sqrt x$.
Déterminer l'expression de sa dérivée $f'(x)$:

À l'aide de la formule de dérivation d'un produit.
En écrivant la fonction sous la forme $x^n$

Exercice 5:

Calcul de dérivée - première spé maths

Dans chaque cas, justifier que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et calculer pour tout $x$ réel, $f'(x)$:

$\color{red}{\textbf{a. }} f(x)=3x^4-\dfrac {15x^2}2-5x+3$ $\color{red}{\textbf{b. }} f(x)=(4x^2+2)(3x-1)$ $\color{red}{\textbf{c. }} f(x)=(4x-3)^2$ $\color{red}{\textbf{d. }} f(x)=\dfrac{\sqrt 2}3(4x^2-5x+1)$

Exercice 6:

Calcul de dérivée - première spé maths

Dans chaque cas, justifier que $f$ est dérivable sur ${\rm D}_f$ et calculer $f'(x)$ pour $x\in {\rm D}_f$.

$\color{red}{\textbf{a. }} f(x)=(3x+1)(x^2+x)$ et ${\rm D}_f=\mathbb{R}$ $\color{red}{\textbf{b. }} f(x)=(x^3-1)\sqrt x$ et ${\rm D}_f=]0;+\infty[$

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