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Cours et exercices corrigés en vidéo
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Fonctions affines et linéaires : cours et exercices corrigés |
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Une fonction affine est une fonction qui peut s’écrire sous la forme $f(x)=ax+b$.
Sa courbe est une droite.
📺 REGARDE LE COURS EN VIDÉO 👇
Une fonction affine est une fonction qui peut s’écrire sous la forme $f(x)=ax+b$, où $a$ et $b$ sont deux nombres réels.
En exercice, les fonctions affines ne sont pas toujours écrites sous la forme $ax+b$. C’est à vous de le faire si ce n’est pas fait, comme dans cet exemple.
$f(x)=-\dfrac12x+\dfrac52$.
Donc $f$ est affine avec $a=-\dfrac12$ et $b=\dfrac52$.
Pour les fonctions affines $f(x)=ax+b$, il y a deux cas particuliers :
Si $b=0$, alors $f(x)=ax$ : la fonction est linéaire. Sa droite passe par l’origine du repère.
Si $a=0$, alors $f(x)=b$ : la fonction est constante. Sa droite est horizontale, parallèle à l’axe des abscisses.
La courbe d’une fonction affine est une droite, jamais verticale. Pour la tracer, il suffit de placer deux points distincts.
1. Choisis deux valeurs de $x$ et remplace $x$ par chacune de ces valeurs dans $f(x)$ pour calculer leurs images.
2. Place les deux points, puis trace la droite qui les relie.
| $A$ | $B$ | |
|---|---|---|
| $x$ | $0$ | $2$ |
| $f(x)$ | $-3$ | $1$ |
Donc on place les points $A(0\,;-3)$ et $B(2\,;1)$, puis on trace la droite $(AB)$.
📺 Tracer la droite d’une fonction affine 👇
Pour lire le coefficient directeur $a$, on choisit deux points distincts de la droite :
Pour lire $b$, on repère l’intersection de la droite avec l’axe des ordonnées, comme sur le schéma.
Donc $a=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac42=2$ et $b=-3$.
📺 Lire le coefficient directeur et l’ordonnée à l’origine 👇
Connaissant deux points $A(x_A\,;y_A)$ et $B(x_B\,;y_B)$ de la droite, avec $x_A\ne x_B$ :
1. Fais un schéma : place $A$ et $B$, puis trace la droite.
2. Calcule $a=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$.
3. Dans $f(x)=ax+b$, remplace $a$ par la valeur trouvée et $x$ par $x_A$ (ou $x_B$), puis résous l’équation pour trouver $b$.
Déterminer l’expression de la fonction affine $f$ dont la droite passe par les points $A(1\,;2)$ et $B(4\,;4)$.
1. On place $A$ et $B$ et on trace la droite.
2. $a=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{4-2}{4-1}=\dfrac23$.
3. Donc $f(x)=\dfrac23x+b$. On utilise le point $A(1\,;2)$ : on remplace $x$ par $1$ et donc on obtient :
$f(1)=\dfrac23\times1+b$.
Et comme $f(1)=2$, on a $2=\dfrac23+b$, d’où $b=2-\dfrac23=\dfrac43$.
Donc $f(x)=\dfrac23x+\dfrac43$.
📺 Déterminer l’expression d’une fonction affine 👇
Les variations de $f(x)=ax+b$ dépendent du signe de $a$.
⚠️ $b$ n’influe pas sur les variations.
$2x-4=0$ donne $x=2$ : la droite coupe l’axe des abscisses au point $(2\,;0)$.
$-2x+6=0$ donne $x=3$ : la droite coupe l’axe des abscisses au point $(3\,;0)$.
| $x$ | 2 | 5 | 11 |
| $f(x)$ | 5 | 7 | 11 |
| $x$ | 1 | 5 | 3 |
| $f(x)$ | 3 | 11 | 6 |
| $x$ | 2 | 4 | 0 |
| $f(x)$ | 3 | 2 | 4 |
| $x$ | 2 | 6 | 18 |
| $f(x)$ | -1 | 1 |
| $x$ | 6 | 12 | |
| $f(x)$ | 8 | 4 | 10 |
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