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Position relative de 2 plans : intersection, sécant, parallèle ou confondu | Géométrie dans l'espace

Terminale spécialité maths

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Dans ce cours de géométrie dans l'espace destiné aux élèves de Terminale spécialité mathématiques, vous allez apprendre à déterminer la position relative de deux plans, c'est à dire à savoir si deux plans sont parallèles, confondus ou sécants ou encore s'ils sont perpendiculaires. Pour cela on utilisera leurs vecteurs normaux.

Conseil important : penser à faire des schémas, ça aide beaucoup car cela permet de bien visualiser la situation.
Dans tout le chapitre, on est dans un repère orthonormé

Cours - Position relative de deux plans

📌 Il y a 3 situations possibles

  • Soit les deux plans sont parallèles. Il y a alors deux possibilités :
    • Soit les deux plans sont strictement parallèles (Situation 1)
      droite strictement parallèle à un plan
      Les plans sont parallèles et n'ont aucun point d'intersection
    • Soit les deux plans sont confondus (Situation 2)
      droite strictement parallèle à un plan
  • Soit les deux plans ne pas parallèles (Situation 3)
    droite strictement parallèle à un plan
    Dans ce cas les plans se coupent selon une droite. On dit alors que les plans sont sécants.

📌 En exercice, pour étudier la position relative de deux plans

  1. On trouve un vecteur normal $\boldsymbol{\vec n_1}$ du premier plan et un vecteur normal $\boldsymbol{\vec n_2}$ du deuxième plan.
  2. On regarde si $\boldsymbol{\vec n_1}$ et $\boldsymbol{\vec n_2}$ sont colinéaires
    Pour cela, on regarde si les coordonnées de $\boldsymbol{\vec n_1}$ et $\boldsymbol{\vec n_2}$ sont proportionnelles.
    • Si $\boldsymbol{\vec n_1}$ et $\boldsymbol{\vec n_2}$ sont colinéaires alors les deux plans sont parallèles
      droite parallèle à un plan
      Il y a alors 2 possibilités :
      • Soit les deux plans sont strictement parallèles (situation 1)
      • Soit les deux plans sont confondus (situation 2)
      👉 Pour savoir si les deux plans sont confondus (situation 1) ou strictement parallèle (situation 2)
      • On regarde leurs équations cartésiennes : Si on passe d'une équation à l'autre en multipliant par un nombre alors les deux plans sont confondus (situation 2)
      • Si on trouve un point qui appartient à un des plans mais pas à l'autre, alors ils ne sont pas confondus et donc ils sont strictement parallèles (situation 1)
    • Si $\boldsymbol{\vec n_1}$ et $\boldsymbol{\vec n_2}$ ne sont pas colinéaires
      alors les deux plans sont sécants selon une droite
      droite pas parallèle à un plan
      👉 Ensuite pour trouver la droite d'intersection
      On écrit le système formé par les deux équations cartésiennes.
      Puis pour résoudre ce système, on exprime deux coordonnées en fonction de la troisième, par exemple $x$ et $y$ en fonction de $z$.
      Voir

      ✏️ Exemple 3


✏️ Exemple 1

Plans confondus :
Montrer que les plans ${\rm P}$ d'équation cartésienne $2x-4y+6z-8=0$ et ${\rm Q}$ d'équation cartésienne $x-2y+3z-4=0$ sont confondus 
On remarque que si on multiplie l'équation de ${\rm Q}$ par $2$, on obtient l'équation de ${\rm P}$. Donc ${\rm P}$ et ${\rm Q}$ sont confondus.

✏️ Exemple 2

Plans strictement parallèles :
Montrer que les plans ${\rm P}$ d'équation cartésienne $3x-6y+9z+1=0$ et ${\rm Q}$ d'équation cartésienne $x-2y+3z-7=0$ sont strictement parallèles 
$\vec n_1\left( \begin{array}{c} 3 \\ -6\\ 9\\ \end{array} \right)$ est un vecteur normal de ${\rm P}$ et $\vec n_2\left( \begin{array}{c} 1 \\ -2\\ 3\\ \end{array} \right)$ est un vecteur normal de ${\rm Q}$.
Les coordonnées de $\vec n_1$ et $\vec n_2$ sont proportionnelles donc $\vec n_1$ et $\vec n_2$ sont colinéaires. Donc les plans sont parallèles. On est donc dans la situation 1 ou 2.
Le point ${\rm A}\left(0;0;-\dfrac 19\right)$ appartient à ${\rm P}$ mais pas à ${\rm Q}$. Donc ${\rm P}$ et ${\rm Q}$ ne sont pas confondus (On n'est donc pas dans la situation 2). Donc on est dans la situation 1, c'est à dire que les deux plans sont strictement parallèles.

✏️ Exemple 3

Plans sécants et droite d'intersection :
Montrer que les plans ${\rm P}$ d'équation cartésienne $x+2y-z+1=0$ et ${\rm Q}$ d'équation cartésienne $2x-y+z-3=0$ sont sécants et déterminer une représentation paramétrique de leur droite d'intersection 
$\vec n_1\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2\\ -1\\ \end{array} \right)$ est un vecteur normal de ${\rm P}$ et $\vec n_2\left( \begin{array}{c} 2 \\ -1\\ 1\\ \end{array} \right)$ est un vecteur normal de ${\rm Q}$.
Les coordonnées de $\vec n_1$ et $\vec n_2$ ne sont pas proportionnelles donc $\vec n_1$ et $\vec n_2$ ne sont pas colinéaires. Donc les plans ne sont pas parallèles. On est donc dans la situation 3. Les plans sont sécants selon une droite.

Pour trouver la droite d'intersection, on résout le système formé par les deux équations: $\left\{ \begin{array}{l} x+2y-z+1=0 \\ 2x-y+z-3=0\\ \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} x+2y-z+1=0 \\ 3x+y-2=0\\ \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} x+2y-z+1=0 \\ y=2-3x\\ \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} x+2(2-3x)-z+1=0 \\ y=2-3x\\ \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} -5x-z+5=0 \\ y=2-3x\\ \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} z=5-5x \\ y=2-3x\\ \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} x=t\\ y=2-3t\\ z=5-5t \\ \end{array} \right.$

Donc l'intersection des deux plans est la droite de représentation paramétrique $\left\{ \begin{array}{l} x=t\\ y=2-3t\\ z=5-5t \\ \end{array} \right.$ où $t\in \mathbb{R}$.

✏️ Exemple 4

Plans Orthogonaux :
Montrer que les plans ${\rm P}$ d'équation cartésienne $2x-4y+z-8=0$ et ${\rm Q}$ d'équation cartésienne $x+y+2z-4=0$ sont orthogonaux $3x-2y+z-7=0$ 
$\vec n_1\left( \begin{array}{c} 2 \\ -4\\ 1\\ \end{array} \right)$ est un vecteur normal de ${\rm P}$ et $\vec n_2\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1\\ 2\\ \end{array} \right)$ est un vecteur normal de ${\rm Q}$.
On calcule le produit scalaire $\vec n_1\cdot \vec n_2$ :
$\vec n_1\cdot \vec n_2=2\times 1+(-4)\times 1+1\times 2=0$
Les vecteurs $\vec n_1$ et $\vec n_2$ sont donc orthogonaux. Donc les plans sont orthogonaux.


👉 Techniques à connaître en exercices

  • Savoir si deux plans sont

    confondus

  • Savoir si deux plans sont

    parallèles

  • Savoir si deux plans sont strictement

    parallèles

  • Savoir si deux plans sont

    sécants

  • Savoir si deux plans sont

    orthogonaux

  • Déterminer la droite d'intersection de deux plans

    sécants
✏️ EXERCICE Très IMPORTANT
YouTube
06:00

Position relative de 2 plan - Exercice type Bac
📌 COURS
YouTube
14:35

Les questions qui tombent en exercice

Exercice 1: Bac 2025 Spécialité Maths ♦ Asie géométrie dans l'espace

L'espace est muni d'un repère orthonormé $({\rm O},~\vec i,~\vec j,~\vec k)$. On considère les plans :
$\mathscr{P}$ d'équation cartésienne $4x +4y -2z +3 = 0$
$\mathscr{P'}$ d'équation cartésienne $2x + y +6z +5 = 0$
Les plans $\mathscr{P}$ et $\mathscr{P'}$ sont-ils :
  1. confondus ?
  2. strictement parallèles ?
  3. sécants et non perpendiculaires ?
  4. perpendiculaires ?

Exercice 2: Bac 2025 Spécialité Maths ♦ Asie géométrie dans l'espace

L'espace est muni d'un repère orthonormé $({\rm O},~\vec i,~\vec j,~\vec k)$. on considère :
• le plan $\mathscr{P}$ d'équation cartésienne : $2x+3y+6z-6 = 0$
• le plan $\mathscr{P'}$ d'équation cartésienne: $x-2y+3z-3 = 0$
Est-il vrai que les plans $\mathscr{P}$ et $\mathscr{P'}$ sont sécants et que leur intersection est la droite $(d)$ ayant pour représentation paramétrique $\left \{ \begin{array}{rcl} x&=&3-3t \\ y&=&0\\ z&=&t\\ \end{array} \right. \quad\text{, où } t\in\mathbb{R}$ ?

Exercice 3: Déterminer la droite d'intersection de 2 plans sécants - parallèle sécante - terminale spé maths

On se place dans un repère orthonormé ($O; \vec i;\vec j; \vec k$). On considère les plans $\mathscr{P}$ et $\mathscr{P'}$ d'équations respectives $ x + 2y -z +1= 0$ et $2x - y +z -3 = 0$.
  1. Démontrer que $\mathscr{P}$ et $\mathscr{P'}$ sont sécants selon une droite $\mathscr{D}$.
  2. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\mathscr{D}$.

Exercice 4: Déterminer la droite d'intersection de 2 plans sécants - parallèle sécante - terminale spé maths

On se place dans un repère orthonormé ($O; \vec i;\vec j; \vec k$). On considère les plans $\mathscr{P}$ et $\mathscr{P'}$ d'équations respectives $ 2x + 3y -z +3= 0$ et $x + y +z -1 = 0$.
  1. Démontrer que $\mathscr{P}$ et $\mathscr{P'}$ sont sécants selon une droite $\mathscr{D}$.
  2. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\mathscr{D}$.

Exercice 5: plan perpendiculaire - géométrie dans l'espace - terminale spé maths

On se place dans un repère orthonormé ($O; \vec i;\vec j; \vec k$).
On considère les plans $\mathscr{P}_1$ et $\mathscr{P}_2$ d'équations respectives $x-2y+z+5=0$ et $4x+y-z-2=0$.

Déterminer une équation cartésienne du plan $\mathscr{P}$ perpendiculaire à $\mathscr{P}_1$ et $\mathscr{P}_2$ passant par le point A(2;-1;1).

Exercice 6: Équation de plan dépendant d'un paramètre - Bac S Nouvelle Calédonie 2016

Dans le repère orthonormé $({\rm O};\vec i;\vec j;\vec k)$ de l'espace, on considère pour tout réel $m$, le plan ${\rm P}_m$ d'équation : \[ \frac 14 m^2x+(m-1)y+\frac 12 mz-3=0\]
  1. Pour quelle(s) valeur(s) de $m$ le point $\rm A(1 ; 1 ; 1)$ appartient-il au plan ${\rm P}_m$ ?
  2. Montrer que les plans ${\rm P}_1$ et${\rm P}_{-4}$ sont sécants selon la droite $\rm (d)$ dont on donnera une représentation paramétrique.
  3. Montrer que l'intersection entre ${\rm P}_0$ et $\rm (d)$ est un point noté $\rm B$ dont on déterminera les coordonnées.
  4. Justifier que pour tout réel $m$, le point $\rm B$ appartient au plan ${\rm P}_m$.
  5. Montrer que le point $\rm B$ est l'unique point appartenant à ${\rm P}_m$ pour tout réel $m$.

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