Équation cartésienne de plan - vecteur normal Terminale Spé Maths : cours et exercices corrigés en vidéo

Dans ce cours de géométrie dans l'espace destiné aux élèves de Terminale spécialité mathématiques, vous allez apprendre ce qu'est un vecteur normal à un plan et une équation cartésienne de plan, ainsi que la manière de les déterminer et de les utiliser efficacement en exercice.

Conseil important : penser à faire des schémas, ça aide beaucoup car cela permet de bien visualiser la situation.

Dans tout ce chapitre, on est dans un repère orthonormé

Cours 1 - Vecteur normal à un plan

📌 Définition

On appelle vecteur normal à un plan tout vecteur directeur d'une droite orthogonale à ce plan

⚠️ Conséquence 1

Un plan a une infinité de vecteurs normaux

⚠️ Conséquence 2

Lorsqu'une droite est orthogonale à un plan, alors tout vecteur directeur de cette droite est un vecteur normal au plan

✏️ Exemple très classique en exercice

La droite $(d)$ de représentation paramétrique $\left\{ \begin{array}{l} x=2t \\ y=-1+3t\\ z=1-5t\\ \end{array} \right.$ où $t\in \mathbb{R}$ est orthogonale à un plan $\mathscr{P}$. Qu'en déduit-on

👉 Techniques à connaître en exercice

Savoir si un vecteur $\vec{n}$ est normal au plan
$\rm (ABC)$
1. On calcule les produits scalaires $\vec n\cdot \overrightarrow{\rm AB}$ et $\vec n\cdot \overrightarrow{\rm AC}$
2. Si $\vec n\cdot \overrightarrow{\rm AB}=0$ et $\vec n\cdot \overrightarrow{\rm AC}=0$ alors le vecteur $\vec n$ est bien normal au plan $\rm (ABC)$.
  Sinon $\vec n$ n'est pas normal au plan $\rm (ABC)$.

Cours 2 - Plan défini à l'aide d'un vecteur normal

📌 Définition

Le plan passant par le point $\rm A$ et de vecteur normal $\vec n$ est l'ensemble des points $\rm M$ tels que $\overrightarrow{\rm AM}\cdot \vec{n}=0$

⚠️ Conséquence

Un point $\rm M$ appartient au plan passant par $\rm A$ et de vecteur normal $\vec n$ $\Leftrightarrow \overrightarrow{\mathrm{AM}}\cdot \vec n=0$

✏️ Exemple

Est-ce que le point $\rm B(-3;2;-2)$ appartient au plan passant par le point $\rm A(2;1;5)$ et de vecteur normal $\vec{n}(1;-2;-1)$

On regarde si $\color{red}{\overrightarrow{\rm AB}\cdot \vec{n}=0}$

$\overrightarrow{\rm AB}\left( \begin{array}{c} -5 \\ 1\\ -7\\ \end{array} \right)$ et $\vec n\left( \begin{array}{c} 1 \\ -2\\ -1\\ \end{array} \right)$

$\overrightarrow{\rm AB}\cdot \vec{n}=-5\times 1+1\times (-2)+(-7)\times (-1)\\ \phantom{\overrightarrow{\rm AB}\cdot \vec{n}}=0$

Comme $\color{red}{\overrightarrow{\rm AB}\cdot \vec{n}=0}$, on en déduit que $\rm B$ appartient au plan passant par $\rm A$ et de vecteur normal $\vec n$.

👉 Techniques à connaître en exercice

Savoir si un point $\rm M$ appartient au plan passant par $\rm A$ et de vecteur normal
$\vec n$
On calcule $\overrightarrow{\rm AM}\cdot \vec{n}$
- Si $\overrightarrow{\rm AM}\cdot \vec{n}=0$
  alors le point $\rm M$ appartient au plan passant par $\rm A$ et de vecteur normal $\vec n$
- Si $\overrightarrow{\rm AM}\cdot \vec{n}\ne 0$
  alors le point $\rm M$ n'appartient pas au plan passant par $\rm A$ et de vecteur normal $\vec n$

Cours 3 - Équation cartésienne de plan

📌 Propriété - Définition

Tout plan admet une équation de la forme $\boldsymbol{{\color{red}a}x+{\color{red}b}y+{\color{red}c}z+d=0}$ où $a$, $b$, $c$ et $d$ sont des réels.

👉 Le vecteur $\boldsymbol{\vec{n}\left( \begin{array}{l} {\boldsymbol{\color{red}a}} \\ {\boldsymbol{\color{red}b}}\\ {\boldsymbol{\color{red}c}}\\ \end{array} \right)}$ est normal au plan.

👉 $\boldsymbol{ax+by+cz+d=0}$ est appelée équation cartésienne du plan.

⚠️ Conséquence 1

Un plan a une infinité d'équation cartésienne

⚠️ Conséquence 2

$x=0$

✏️ Exemple

Donner un vecteur normal au plan $\mathscr{P}$ d'équation cartésienne $2x+3y-2z+1$

✏️ EXERCICE TYPE

03:34

Les questions qui tombent en exercice

👉 Techniques à connaître en exercices

Trouver un vecteur normal grâce à une équation cartésienne de
plan
Les nombres qui multiplient $x$, $y$ et $z$ dans l'équation cartésienne fournissent les coordonnées d'un vecteur normal.
Savoir si un point appartient à un plan grâce à une équation cartésienne de
plan
On remplace $x$, $y$ et $z$ dans l'équation du plan par les coordonnées du point et on regarde si l'équation est vérifiée.
Trouver les coordonnées d'un point d'un plan grâce une équation cartésienne du
plan
1. On choisit deux des coordonnées du point que l'on remplace dans l'équation.
2. Puis on trouve la troisième coordonnées en l'isolant dans l'équation du plan.
Déterminer une équation cartésienne de plan connaissant un point et un vecteur
normal
Une équation de plan est de la forme $ax+by+cz+d=0$ et on cherche les valeurs de $a$, $b$, $c$ et $d$.
1. Les coordonnées du vecteur normal donne les valeurs de $a$, $b$ et $c$.
2. Pour trouver $d$, on remplace $x$, $y$ et $z$ par les coordonnées d'un point qui appartient au plan.
Trouver une représentation paramétrique d'un droite orthogonale à un
plan
Tout vecteur normal au plan est directeur d'une droite orthogonale au plan.
Trouver un vecteur normal au plan
$\rm (ABC)$
Dire que $\vec n(a,b,c)$ est normal au plan $\rm (ABC)$ signifie que $\vec n \cdot \overrightarrow{\rm AB}=0$ et $\vec n \cdot \overrightarrow{\rm AC}=0$.
1. On écrit le produit scalaire $\vec n \cdot \overrightarrow{\rm AB}=0$ en utilisant les coordonnées ce qui nous donne une équation d'inconnues $a$, $b$ et $c$.
2. On fait pareil avec $\vec n \cdot \overrightarrow{\rm AC}=0$ ce qui nous donne une autre équation d'inconnues $a$, $b$ et $c$.
3. On fixe une des inconnues $a$, $b$ ou $c$ avec une valeur, par exemple $c=1$. Puis on résout le système formé par les deux équations trouvées au 1. et 2.
  Bien vérifier à la fin que le vecteur $\vec n$ trouvé est non nul
  c'est à dire que $\vec n$ à au moins une coordonnée non nulle.

Exercice 1: Savoir utiliser une équation cartésienne de plan - terminale spé maths

Dans un repère orthonormé de l'espace, on considère le plan $\mathscr{P}$ d'équation cartésienne ${x-2y-z+4=0}$.

Déterminer un vecteur normal $\vec n$ à $\mathscr{P}$.
Le vecteur $\overrightarrow{m}(-3;6;3)$ est-il normal à $\mathscr{P}$ ?
Les points $\rm A(1;0;3)$ et $\rm B(0;3;-2)$ appartiennent-ils à $\mathscr{P}$ ?
Déterminer les coordonnées d'un point $\rm C$ de ce plan, avec $\rm C$ différent de $\rm A$ et $\rm B$.

Exercice 2: Déterminer une équation cartésienne de plan - terminale spé maths

Dans un repère orthonormé de l'espace, on considère le plan $\mathscr{P}$ passant par le point $\rm A(-1;0;2)$ et de vecteur normal $\vec n (2;1;-3)$.
Déterminer une équation cartésienne du plan $\mathscr{P}$.

Exercice 3: équation cartésienne de plan - Bac 2025 Spécialité Maths - Centres étrangers

Dans un repère orthonormé de l'espace, on considère les points $\rm A(1;0;3)$, $\rm B( -2;1;2)$ et $\rm C(0;3;2)$.

Montrer que $\rm A$, $\rm B$ et $\rm C$ ne sont pas alignés.
Vérifier que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}-1\\1\\4\end{pmatrix}$ est orthogonal au plan $\rm (ABC)$.
En déduire une équation cartésienne du plan $\rm (ABC)$.

Exercice 4: équation cartésienne de plan - Bac 2025 Amérique du nord - Spécialité Maths

L'espace est muni d'un repère orthonormé $({\rm O},~\vec i,~\vec j,~\vec k)$. La droite $(d)$ a pour représentation paramétrique : $\left \{ \begin{array}{rcl} x&=&3-2t \\ y&=&-1\\ z&=&2-6t\\ \end{array} \right. \quad\text{, où } t\in\mathbb{R}$.

Le plan $\mathscr{P}$ passant par le point $\rm A(3;-3;-2)$ et orthogonal à la droite $(d)$ admet-il pour équation cartésienne : $x+3z+3=0$ ?

Exercice 5: Savoir utiliser une équation cartésienne de plan - terminale spé maths

$\rm ABCDEFGH$ est un cube d'arête $1$. On se place dans le repère $({\rm A};\overrightarrow{\rm{AB}};\overrightarrow{\rm{AD}};\overrightarrow{\rm{AE}})$.

Démontrer que le vecteur $\overrightarrow{\mathrm{DF}}$ est normal au plan $\rm (EBG)$.
En déduire une équation cartésienne du plan $\rm (EBG)$.

Exercice 6: déterminer un vecteur normal à un plan passant par trois points - terminale spé maths

$\rm ABCDEFGH$ est un cube d'arête $1$. $\rm I$ est le milieu du segment $\rm [AE]$. On se place dans le repère $(\rm A;\overrightarrow{\rm{AB}};\overrightarrow{\rm{AD}};\overrightarrow{\rm{AE}})$.

Déterminer un vecteur normal au plan $\rm (CHI)$.
En déduire une équation cartésienne du plan $\rm (CHI)$.

Exercice 7: Équation de plan passant par 3 points - terminale spé maths

On se place dans un repère orthonormé (${\rm O}; \vec i;\vec j; \vec k$). Dans chaque cas, déterminer une équation cartésienne du plan :

$\mathscr{P}$ passant par le point $\rm A(1;2;-4)$ et ayant pour vecteur normal $\vec n (2;-1;1)$.
$\mathscr{P}$ passant par les points $\rm A(1;1;4)$, $\rm B(1;-1;2)$ et $\rm C(-1;2;1)$.

Cours 1 - Vecteur normal à un plan

📌 Définition

⚠️ Conséquence 1

⚠️ Conséquence 2

✏️ Exemple très classique en exercice

👉 Techniques à connaître en exercice

Savoir si un vecteur $\vec{n}$ est normal au plan

Cours 2 - Plan défini à l'aide d'un vecteur normal

📌 Définition

$\rm M$ appartient au plan $\mathscr{P}$ passant par A et de vecteur normal $\vec n$

⚠️ Conséquence

✏️ Exemple

👉 Techniques à connaître en exercice

Savoir si un point $\rm M$ appartient au plan passant par $\rm A$ et de vecteur normal

Cours 3 - Équation cartésienne de plan

📌 Propriété - Définition

⚠️ Conséquence 1

⚠️ Conséquence 2

✏️ Exemple

Déterminer une équation cartésienne de plan

Vecteur normal & équation cartésienne de plan

Comment trouver un vecteur normal

Les questions qui tombent en exercice

👉 Techniques à connaître en exercices

Trouver un vecteur normal grâce à une équation cartésienne de

Savoir si un point appartient à un plan grâce à une équation cartésienne de

Trouver les coordonnées d'un point d'un plan grâce une équation cartésienne du

Déterminer une équation cartésienne de plan connaissant un point et un vecteur

Trouver une représentation paramétrique d'un droite orthogonale à un

Trouver un vecteur normal au plan

Exercice 1: Savoir utiliser une équation cartésienne de plan - terminale spé maths

Exercice 2: Déterminer une équation cartésienne de plan - terminale spé maths

Exercice 3: équation cartésienne de plan - Bac 2025 Spécialité Maths - Centres étrangers

Exercice 4: équation cartésienne de plan - Bac 2025 Amérique du nord - Spécialité Maths

Exercice 5: Savoir utiliser une équation cartésienne de plan - terminale spé maths

Exercice 6: déterminer un vecteur normal à un plan passant par trois points - terminale spé maths

Exercice 7: Équation de plan passant par 3 points - terminale spé maths

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