Dans ce cours de géométrie dans l'espace destiné aux élèves de
Terminale spécialité mathématiques, vous allez étudier les notions
d'orthogonalité et de perpendicularité
dans l'espace.
Vous apprendrez à reconnaître des vecteurs orthogonaux,
des droites orthogonales ou perpendiculaires, et à comprendre
la différence entre ces deux notions dans l'espace.
Le cours abordera également la notion de droite orthogonale à un plan,
qui joue un rôle central dans de nombreux exercices de géométrie dans l'espace.
Ces notions reposent en grande partie sur le produit scalaire et sur
l'étude des vecteurs directeurs. Il est donc indispensable de maîtriser
ces outils avant d'aborder ce chapitre.
Conseil important : pensez à réaliser des schémas pour
visualiser les positions relatives des droites et des plans dans l'espace, et pour
mieux comprendre les situations d'orthogonalité.
Dans tout le chapitre, on est dans un repère orthonormé
Cours Vecteurs orthogonaux
📌 2 vecteurs $\vec u $ et $\vec v$ sont orthogonaux
$\Leftrightarrow$ $\vec
u\cdot\vec v=0$
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Pour prouver que deux vecteurs sont orthogonaux, il suffit donc de calculer leur produit
scalaire et de vérifier que ce produit scalaire vaut $0$.
Cours Droites orthogonales
📌 2 droites sont orthogonales
$\Leftrightarrow$ leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux
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Pour prouver que deux droites sont orthogonales :
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Chercher un vecteur directeur de chaque droite.
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Vérifier que le produit scalaire des vecteurs
directeurs vaut $0$.
Cours Droites perpendiculaires
📌 2 droites sont perpendiculaires
$\Leftrightarrow$ elles sont orthogonales et sécantes
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Deux droites peuvent être orthogonales sans être sécantes ! Dans ce cas, elles ne sont
pas perpendiculaires.
$\rm (EA)$ et $\rm (BC)$ sont
orthogonales mais pas sécantes
donc $\rm (EA)$ et $\rm (BC)$ ne sont pas perpendiculaires
$\rm (EA)$ et $\rm (AD)$ sont
orthogonales et sécantes
donc $\rm (EA)$ et $\rm (AD)$ sont perpendiculaires
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Pour prouver que deux droites sont perpendiculaires :
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Chercher un vecteur directeur de chaque droite.
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Vérifier que le produit scalaire des vecteurs
directeurs vaut $0$.
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Vérifier que les droites sont sécantes. Pour cela, on utilise leurs représentations paramétriques, comme expliqué au cours précédent
Cours Droite orthogonale à un plan
📌 Une droite est orthogonale à un plan
$\Leftrightarrow$ elle est orthogonale à toute droite du plan.
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Une droite est orthogonale à un plan
$\Leftrightarrow$ elle est orthogonale à deux droites sécantes du plan.
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Pour prouver qu'une droite $\mathscr{D}$ est orthogonale à un plan :
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Trouver un vecteur directeur de $\mathscr{D}$ noté $\vec u$.
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Chercher deux droites sécantes du plan et trouver un vecteur directeur de chaque
droite $\vec v_1$ et $\vec v_2$ .
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Vérifier que $\vec u\cdot \vec v_1=0$ et $\vec u\cdot \vec v_2=0$.
