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Exercices
1:
Vecteur normal - équation cartésienne d'un plan
ABCDEFGH est un cube d'arête 1.
On se place dans le repère
(A$;\overrightarrow{\mathrm{AB}};\overrightarrow{\mathrm{AD}};\overrightarrow{\mathrm{AE}}$).
1) Démontrer que le vecteur $\overrightarrow{\mathrm{DF}}$ est normal au plan (EBG).
2) En déduire une équation cartésienne du plan (EBG).
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Exercices
2:
ABCDEFGH est un cube d'arête 1.
I est le milieu du segment [AE].
On se place dans le repère
(A$;\overrightarrow{\mathrm{AB}};\overrightarrow{\mathrm{AD}};\overrightarrow{\mathrm{AE}}$).
1) Déterminer un vecteur normal au plan (CHI).
2) En déduire une équation cartésienne du plan (CHI).
Exercices
3:
On se place dans un repère orthonormé ($O; \vec i;\vec j; \vec k$).
Dans chaque cas, déterminer une équation cartésienne du plan $\mathscr{P}$:
1) le plan $\mathscr{P}$ passe par le point A(1;2;-4) et a pour vecteur normal $\vec n$(2;-1;1).
2) le plan $\mathscr{P}$ passe par les points A(1;1;4), B(1;-1;2) et C(-1;2;1).
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Exercices
4:
On se place dans un repère orthonormé ($O; \vec i;\vec j; \vec k$).
1) Justifier que $y=2x+1$ est l'équation cartésienne d'un plan $\mathscr{P}$.
Donner un point et un vecteur normal du plan $\mathscr{P}$.
2) Déterminer 2 vecteurs directeurs du plan $\mathscr{P}$. En déduire une représentation paramétrique de
$\mathscr{P}$.
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Exercices
5: Droite perpendiculaire à un plan
Deux cubes d'arête 1, sont disposés comme indiqué sur la figure.
M est le milieu du segment [GK].
La droite (DL) est-elle perpendiculaire au plan (FMI)?
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Exercices
6: Intersection d'une droite et d'un plan
On se place dans un repère orthonormé ($O; \vec i;\vec j; \vec k$).
On considère la droite $\mathscr{D}$ de représentation paramétrique $\left\{
\begin{array}{l}
x=1-t \\
y=2t\\
z=-1\\
\end{array}
\right.$ où $t\in \mathbb{R}$
Le plan $\mathscr{P}$ a pour équation cartésienne $2x-y+z-3=0$.
1) Justifier que $\mathscr{P}$ et $\mathscr{D}$ sont sécants en un point I.
2) Déterminer les coordonnées de I.
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Exercice
7: Intersection de 2 plans
On se place dans un repère orthonormé ($O; \vec i;\vec j; \vec k$).
On considère les plans $\mathscr{P}$ et $\mathscr{P'}$ d'équations respectives $ 2x + 3y –z +3= 0$ et $x
+ y +z -1 = 0$.
1) Démontrer que $\mathscr{P}$ et $\mathscr{P'}$ sont sécants selon une droite $\mathscr{D}$.
2) Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\mathscr{D}$.
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Exercice
8: Plan perpendiculaire
On se place dans un repère orthonormé ($O; \vec i;\vec j; \vec k$).
On considère les plans $\mathscr{P}_1$ et $\mathscr{P}_2$ d'équations respectives $x-2y+z+5=0$ et
$4x+y-z-2=0$.
Déterminer une équation cartésienne du plan $\mathscr{P}$ perpendiculaire à $\mathscr{P}_1$ et
$\mathscr{P}_2$ passant par le point A(2;-1;1).
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Exercice
9:
Distance d'un point à une droite par 2 méthodes
Dans un repère orthonormé ($O; \vec i;\vec j; \vec k$), on considère le point A(-1;1;2)
et la droite $\mathscr{D}$ de représentation paramétrique
$\left\{
\begin{array}{l}
x=t \\
y=-1\\
z=1-2t\\
\end{array}
\right.$ où $t\in \mathbb{R}$
L'objectif de cet exercice est de déterminer la distance du point A à la droite $\mathscr{D}$,
c'est à dire la plus petite des longueurs AM lorsque M décrit la droite $\mathscr{D}$.
Méthode 1
1) On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(t)=AM$ où M est un
point de $\mathscr{D}$ de paramètre $t$.
Déterminer $f(t)$ en fonction de $t$ puis le minimum
de $f$. Conclure.
Méthode 2
2.a) Déterminer une équation cartésienne du plan $\mathscr{P}$ perpendiculaire à
$\mathscr{D}$ passant par A.
2.b) Déterminer les coordonnées du point H, intersection de $\mathscr{P}$ et
$\mathscr{D}$.
2.c) Conclure.
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Exercice
10:
Distance d'un point à un plan
On se place dans un repère orthonormé ($O; \vec i;\vec j; \vec k$).
On considère le point A(-7;0;4) et le plan d'équation cartésienne $x+2y-2z-3=0$.
L'objectif de cet exercice est de déterminer la distance du point A au plan $\mathscr{P}$,
c'est à dire la plus petite des longueurs AM lorsque M décrit le plan $\mathscr{P}$.
1) Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\mathscr{D}$ passant par A et
perpendiculaire à $\mathscr{P}$.
2) Déterminer les coordonnées du point H, intersection de $\mathscr{P}$ et $\mathscr{D}$.
3) Conclure.
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Exercice
11:
Perpendiculaire commune à deux droites de l'espace
Dans un repère orthonormé, on considère la droite $\mathscr{D}_1$ passant par $A_1$(-1;0;-1) et de
vecteur directeur
$\vec{u}_1$(1;2;3), et la droite $\mathscr{D}_2$ de représentation paramétrique: $\left\{
\begin{array}{l}
x=1+t\\
y=-2t\\
z=2\\
\end{array}
\right.$ où $t\in\mathbb{R}$.
1) Déterminer un vecteur directeur de $\mathscr{D}_2$, noté $\vec{u}_2$.
2) Déterminer les coordonnées d'un vecteur $\vec v$ non nul orthogonal à $\vec{u}_1$ et à
$\vec{u}_2$.
3) On considère le plan $\mathscr{P}$($A_1;\vec{u}_1;\vec v$).
a) Montrer que le vecteur $\vec n$(17;-22;9) est normal à $\mathscr{P}$. En
déduire une équation cartésienne de $\mathscr{P}$.
b) Déterminer les coordonnées du point I, intersection de $\mathscr{P}$ et
$\mathscr{D}_2$.
c) Démontrer que la droite $\Delta$ passant par I et de vecteur directeur $\vec
v$ est perpendiculaire à $\mathscr{D}_1$ et $\mathscr{D}_2$.
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Exercice
12:
Intersection de sphère et de plan
Dans un repère orthonormé, on considère le plan $\mathscr{P}$ d'équation $2x-y+3z+15=0$ et le point
S(1;4;5).
1) Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ perpendiculaire à $\mathscr{P}$
passant par le point S.
2) Déterminer les coordonnées du point K, intersection de $\mathscr{P}$ et $\Delta$.
3) Le plan $\mathscr{P}$ coupe-t-il la sphère de centre S et de rayon 7? Justifier.
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Exercice
13:
équation de sphère dans l'espace - plan tangent à une sphère
Dans un repère orthonormé, on considère l'ensemble (E) d'équation: $x^2-6x+y^2+z^2+10z-2=0$.
1) Démontrer que (E) est une sphère $\mathscr{S}$ dont on donnera les coordonnées du centre S et le
rayon $r$.
2) On considère le plan $\mathscr{P}$ d'équation cartésienne $2x-y-2z+2=0$.
Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ passant par S
et perpendiculaire à $\mathscr{P}$.
3) Déterminer les coordonnées du point H, intersection de $\Delta$ et $\mathscr{P}$.
4) Le plan $\mathscr{P}$ est-il tangent à la sphère $\mathscr{S}$ ? Justifier.
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Exercice
14: Intersection de sphère et de droite
On se place dans un repère orthonormé ($O; \vec i;\vec j; \vec k$).
On considère la droite $\Delta$ passant par le point A(4;1;3) et de vecteur directeur $\vec
u$(1;-2;1).
Déterminer l'intersection de la droite $\Delta$ avec la sphère $\mathscr{S}$ de centre $\Omega$(1;2;-1)
et de rayon $\sqrt{14}$.
Exercice
15:
Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses? Justifier.
On se place dans un repère orthonormé ($O; \vec i;\vec j; \vec k$).
1. Si deux plans $\mathscr{P}_1$ et $\mathscr{P}_2$ sont perpendiculaires à un troisième plan
$\mathscr{P}_3$ alors $\mathscr{P}_1$ et $\mathscr{P}_2$ sont parallèles.
2. Si deux droites $\mathscr{D}_1$ et $\mathscr{D}_2$ sont perpendiculaires à une troisième droite
$\mathscr{D}_3$ alors $\mathscr{D}_1$ et $\mathscr{D}_2$ sont parallèles.
3. Si deux plans sont perpendiculaires, toute droite de l'un est orthogonale à toute droite de
l'autre.
4. La droite passant par A(3;-1;2) et de vecteur directeur $\vec u$ (1;1;-2)
est parallèle au plan d'équation cartésienne $2x-y+z-1=0$.
5. Les plans d'équations cartésiennes $2x-z+1=0$ et $x-y+z-3=0$ sont perpendiculaires.
Exercice
16:
Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses? Justifier.
Dans un repère orthonormé ($O; \vec i;\vec j; \vec k$), on donne les points A(2 ; 0; -3), B(1 ;2 ; -1)
et C(-2 ;1 ; 3).
1. La droite (AB) appartient au plan d'équation cartésienne $2x-y+z-1=0$.
2. Le point H(2;-1;2) est le projeté orthogonal du point A(4;-3;2) sur le plan d'équation cartésienne
$x-y=3$.
3. A, B et C définissent un plan qui a pour équation cartésienne $x+2y+z+1=0$.
Exercice
17:
Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses? Justifier.
Dans un repère orthonormé ($O; \vec i;\vec j; \vec k$), on considère le plan $\mathscr{P}$ d'équation
cartésienne $x-y+3z +1 = 0$,
et la droite $\mathscr{D}$ dont une représentation paramétrique est $\left\{
\begin{array}{l}
x=2t\\
y=1+t\\
z=-5+3t\\
\end{array}
\right.$ où $t\in\mathbb{R}$.
On donne les points A(1 ; 1; 0), B(3 ;0 ; -1) et C(7 ;1 ; -2).
1. Une représentation paramétrique de la droite (AB) est $\left\{
\begin{array}{l}
x=5-2t\\
y=-1+t\\
z=-2+t\\
\end{array}
\right.$ où $t\in\mathbb{R}$.
2. Les droites $\mathscr{D}$ et (AB) sont orthogonales.
3. La droite $\mathscr{D}$ coupe le plan $\mathscr{P}$ au point E de coordonnées (8; -3; -4).
4. Les plans $\mathscr{P}$ et (ABC) sont parallèles.
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Exercice
18: Équation de plan dépendant d'un paramètre - Bac S Nouvelle calédonie 2016
Dans le repère orthonormé $({\rm O};\vec i;\vec j;\vec k)$ de l’espace, on considère pour tout réel $m$,
le plan ${\rm P}_m$ d’équation
\[ \frac 14 m^2x+(m-1)y+\frac 12 mz-3=0\]
- Pour quelle(s) valeur(s) de $m$ le point $\rm A(1 ; 1 ; 1)$ appartient-il au plan ${\rm P}_m$ ?
- Montrer que les plans ${\rm P}_1$ et${\rm P}_{-4}$ sont sécants selon la droite $\rm (d)$ dont
on donnera une représentation paramétrique.
- Montrer que l’intersection entre ${\rm P}_0$ et $\rm (d)$ est un point noté $\rm B$ dont on
déterminera les coordonnées.
- Justifier que pour tout réel $m$, le point $\rm B$ appartient au plan ${\rm P}_m$.
- Montrer que le point $\rm B$ est l’unique point appartenant à ${\rm P}_m$ pour tout réel $m$.
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Exercice
19: Équation de plan et section d'un cube par un plan - Bac S Pondichéry 2017
Exercice 5
ABCDEFGH est un cube.
Dans le repère $\left( \rm A;\overrightarrow{\rm AB};\overrightarrow{\rm AD};\overrightarrow{\rm
AE}\right)$, on note $\mathcal{P}$ le plan d'équation $x + \dfrac{1}{2} y +\dfrac{1}{3}z -1 = 0$.
Construire, sur la figure ci-dessous, la section du cube par le plan $\mathcal{P}$, en justifiant.
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Exercice
20: Équation cartésienne de plan et projeté orthogonal - Bac S Centre étranger
2018
La figure ci-dessous représente un cube $\rm ABCDEFGH$. Les points $\rm I$, $\rm J$, $\rm K$ sont
définis par les conditions suivantes :
I est le milieu de $\rm [AD]$.
$\rm \overrightarrow{\rm AJ}=\frac 34 \overrightarrow{\rm AE}$.
K est le milieu de $\rm [FG]$.
On se place dans le repère $\rm (A;\overrightarrow{\rm AB};\overrightarrow{\rm AD};\overrightarrow{\rm
AE})$.
-
Donner sans justification les coordonnées de $\rm I$, $\rm J$ et $\rm K$.
-
Justifier que $\rm I$, $\rm J$ et $\rm K$ définissent un plan.
-
Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que le vecteur $\vec n(4;a;b)$ soit normal au plan $\rm
(IJK)$.
-
En déduire une équation cartésienne du plan $\rm (IJK)$.
- On note $\rm R$ le projeté orthogonal du point $\rm F$ sur le plan $\rm (IJK)$.
On définit l'intérieur du cube comme l'ensemble des points ${\rm M}(x ; y ; z)$ tels que
$\left\{\begin{array}{l}
0
< x < 1\\ 0 < y < 1\\ 0 < z < 1 \end{array}\right.$.
Le point $\rm R$ est-il à l'intérieur du cube?
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