Distance d'un point à une droite | Géométrie dans l'espace

Distance d'un point à un plan | Géométrie dans l'espace

Terminale spécialité maths

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Dans ce cours de géométrie dans l'espace destiné aux élèves de Terminale spécialité mathématiques, vous allez apprendre à déterminer la distance d'un point à un plan dans l'espace. Le calcul de cette distance repose sur la notion de projeté orthogonal. Il est donc indispensable, avant d'attaquer ce cours, de maîtriser la notion de projeté orthogonal d'un point sur un plan qui a été expliquée dans le cours précédent.

Attention : la formule de la distance d'un point à un plan est hors programme en Terminale spécialité mathématiques. Il faudra donc, à chaque fois, déterminer le projeté orthogonal du point sur le plan afin de pouvoir calculer cette distance.

De nombreux exercices type bac corrigés en vidéo vous permettront de vous entraîner et de vérifier votre compréhension tout au long du chapitre afin de vous préparer au contrôle.

Conseil important : penser à faire des schémas, cela aide beaucoup car cela permet de bien visualiser la situation dans l'espace.

Dans tout le chapitre, on est dans un repère orthonormé

Cours Distance d'un point à un plan

📌 La distance d'un point $\rm A$ à un plan est la distance entre $\rm A$ et son projeté orthogonal sur le plan.

👉 Pourquoi La distance d'un point $\rm A$ à un plan est la plus petite des longueurs $\rm AM$ lorsque $\rm M$ parcourt le plan.

$\rm AM\geqslant AH$

Donc $\rm H$ est le point du plan le plus proche de $\rm A$

On obtient la plus petite des longueurs lorsque $\rm M$ est en $\rm H$, le projeté orthogonal de $\rm A$ sur le plan. Autrement dit, le point du plan qui est le plus proche de $\rm A$ est son projeté orthogonal sur le plan. Donc la distance d'un point $\rm A$ à un plan est la distance entre $\rm A$ et son projeté orthogonal sur le plan.

📌 Comment trouver la distance d'un point $\rm A$ à un plan $\mathscr{P}$ ?

On trouve les coordonnées du point $\rm H$ projeté orthogonal de $\rm A$ sur le plan $\mathscr{P}$ comme expliqué au cours précédent
La distance de $\rm A$ au plan est égale à la longueur $\rm AH$
👉 Pour calculer la longueur $\rm AH$, on utilise la formule ${{\rm AH}=\sqrt{(x_{\rm H}-x_{\rm A})^2+(y_{\rm H}-y_{\rm A})^2+(z_{\rm H}-z_{\rm A})^2}}$

✏️ EXERCICE pour bien comprendre

08:57

Distance d'un point à un plan - Exercice type Bac

📌 COURS

06:21

Projeté orthogonal - Point du plan le plus proche

📌 Ancien COURS

14:50

Projeté orthogonal - Distance d'un point à un plan - Sphère

Exercice 1: Distance d'un point à un plan 🚀 (Bac 2025 Amérique du nord - Terminale Spécialité Maths)

L'espace est muni d'un repère orthonormé $({\rm O},~\vec i,~\vec j,~\vec k)$. Le point H est le projeté orthogonal du point $\rm B(5;-4;-1)$ sur le plan $\mathscr{P}$ d'équation cartésienne $x+3z-7=0$. La distance $\rm BH$ est-elle égale $\dfrac{\sqrt{10}}{2}$ ?

Exercice 2: Distance d'un point à un plan - exercice type BAC

On se place dans un repère orthonormé ($O; \vec i;\vec j; \vec k$).
On considère le point A(-7;0;4) et le plan d'équation cartésienne $x+2y-2z-3=0$.
L'objectif de cet exercice est de déterminer la distance du point A au plan $\mathscr{P}$,
c'est à dire la plus petite des longueurs AM lorsque M décrit le plan $\mathscr{P}$.

Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\mathscr{D}$ passant par A et perpendiculaire à $\mathscr{P}$.
Déterminer les coordonnées du point H, intersection de $\mathscr{P}$ et $\mathscr{D}$.
Conclure.