résoudre une équation

Conseils

Résoudre une équation ♦ Cas général

Cours

Savoir résoudre une équation - Les 2 méthodes à connaître (en 7 min !)

Méthode 1 : Essayer d'isoler l'inconnue

Pour isoler l'inconnue, penser à faire la même opération des 2 côtés, c'est à dire additionner, soustraire, multiplier ou en diviser
par la même quantité des 2 côtés

Exemple Résoudre

$2-4x=x-8$

$\begin{align} \phantom{\Leftrightarrow} & ~2-4x=x-8 \\ \Leftrightarrow & ~ 2-4x{\color{red}{-2}}=x-8{\color{red}{-2}}\\ \Leftrightarrow & ~-4x=x-10\\ \Leftrightarrow & ~ -4x{\color{red}{-x}}=x-10{\color{red}{-x}}\\ \Leftrightarrow & ~-5x=-10\\ \Leftrightarrow & ~\color{red}{\dfrac {\color{black}{-5x}}{-5}} =\color{red}{\dfrac {\color{black}{-10}}{-5}}\\ \Leftrightarrow & ~x=2 \end{align}$

L'ensemble des solutions est

$\mathcal{S}=\{2\}$ .

Méthode 2 : Équation produit nul

On essaye de se ramener à une équation du type

$~\boldsymbol{...\color{red}{\times} ....\color{red}{=0}}$

Voici les étapes à suivre pour résoudre

$\boldsymbol{\rm ...=....}$

Se ramener à zéro: $\boldsymbol{....=0}$
Factoriser au maximum
Pour factoriser, deux techniques classiques:
• Le facteur commun
• L'identité remarquable $\boldsymbol{a^2-b^2=(a-b)(a+b)}$
Appliquer la règle du produit nul
$\rm A\times B=0 \Leftrightarrow A=0$ ou $\rm B=0$
Pour appliquer cette règle, il faut une multiplication. C'est pourquoi il faut avoir pensé à factoriser à l'étape 2
Résoudre chaque équation séparément

Exemple Résoudre

$x^2=2x$

$\begin{align} \phantom{\Leftrightarrow} & ~x^2=2x \\ \Leftrightarrow & ~x^2-2x=0 \color{red}{\mbox{ (Etape 1) }} \\ \Leftrightarrow & ~x(x-2)=0 \color{red}{\mbox{ (Etape 2) }} \\ \Leftrightarrow & ~x=0 \color{red}{\mbox{ ou }} x-2=0 \color{red}{\mbox{ (Etape 3) }}\\ \Leftrightarrow & ~x=0 \color{red}{\mbox{ ou }} x=2 \color{red}{\mbox{ (Etape 4) }} \end{align}$

L'ensemble des solutions est

$\mathcal{S}=\{2;0\}$

Exercice type

Savoir résoudre une équation (en 5 min !)

Cours

Erreur classique avec les équations

, expliquée en vidéo

Erreur à ne pas faire

Diviser ou multiplier des 2 côtés par une quantité qui peut s'annuler

Exemple

$x^2=x$

On peut être tenté de diviser par

$x$ des 2 côtés. Mais c'est une erreur. Car

$x$ peut s'annuler!

$x^2=x$

$\dfrac {x^2}x=\dfrac xx$

$x=1$

On a donc trouvé qu'une seule solution!
Or il y en a deux! Il y a aussi 0!!!!
Mais on l'a perdue lorsque l'on a divisé par

$x$ !

Car diviser par

$x$ suppose que

$x$ est différent de 0! Donc on a perdu cette solution!

Cours

Ne pas confondre "Résoudre" et "Montrer que"

, expliqué en vidéo

Résoudre

Si dans la question il y a "Résoudre

$\boldsymbol{...=....}$ " il s'agit d'une équation

Exemple Résoudre

$3x-1=5$

Il y a le mot "Résoudre", il s'agit d'une équation.
En général,

$3x-1$ n'est pas égal à 5.
On cherche

$x$ pour que

$3x-1$ soit égal à

$5$

Montrer que

Si la question est "Montrer que

$\boldsymbol{...=....}$ ", il s'agit de montrer que la partie gauche et la partie droite représentent la même chose

Exemple Montrer que pour tout

$x$ réel,

$x^2-1=(x-1)(x+1)$

Il faut montrer que

$x^2-1$ et

$(x-1)(x+1)$ sont toujours égales.

Pour cela, il suffit de développer

$(x-1)(x+1)$ puis d'arranger et on s'aperçoit que l'on tombe sur

$x^2-1$ .

Tape ton expression + clique sur X=

Exercice 1:

Résoudre une équation troisième seconde

Résoudre chaque équation après avoir factorisé le membre de gauche:

$\color{red}{\textbf{a. }} x^2+5x=0$

$\color{red}{\textbf{b. }} 2x-10x^2=0$

Exercice 2:

Résoudre une équation troisième seconde

Résoudre chaque équation après avoir factorisé le membre de gauche:

$\color{red}{\textbf{a. }} (x+3)(x+2)+(3x-10)(x+3)=0$

$\color{red}{\textbf{b. }} (x+3)(x+2)-(3x-10)(x+3)=0$

Exercice 3:

Résoudre une équation troisième seconde

Résoudre l'équation

$6x^2=15x$ après avoir écrit l'équation sous la forme

$\rm A\times B=0$

Exercice

4 Résoudre à l'aide d'une équation produit nul - Transmath Troisième

Résoudre dans

$\mathbb{R}$ les équations suivantes:

$\color{red}{\textbf{a. }} 5x^2+3x=0$

$\color{red}{\textbf{b. }} 7x=2x^2$

$\color{red}{\textbf{c. }} x^2=x$

Exercice 5: Résoudre une équation à l'aide d'une factorisation - mathématiques - seconde

Résoudre dans

$\mathbb{R}$ les équations suivantes:

$\color{red}{\textbf{a. }} (3-2x)(2x+5)=(4x-5)(2x+5)$

$\color{red}{\textbf{b. }} 7(x+8)-(x+8)(x-3)=0$

$\color{red}{\textbf{c. }} (8-x)^2=(3x+5)(8-x)$

Exercice 6:

Résoudre une équation à l'aide d'une factorisation

Résoudre l'équation:

$\color{red}{\textbf{a. }} x^3=x^2$

$\color{red}{\textbf{b. }} x^3=x$

Exercice 7: Equation et égalité - Mathématiques - Seconde

Montrer que pour tout $x$ réel, $(2x-3)(3x+9)=6x^2+9x-27$ .
En déduire les solutions de l'équation $6x^2+9x-27=0$ .

Exercice 8:

1) Invente une équation qui admette -4 comme solution
2) Invente une équation qui admette -1 et 3 comme solution

Exercice 9: Résoudre une équation à l'aide des identités remarquables a^2-b^2 - mathématiques Seconde

Résoudre dans

$\mathbb{R}$ les équations suivantes:

$\color{red}{\textbf{a. }} (x-1)^2=0$

$\color{red}{\textbf{b. }} x^2-1=0$

$\color{red}{\textbf{c. }} x^2+1=0$

Exercice 10: Résoudre une équation à l'aide des identités remarquables et du facteur commun - Mathématiques - Seconde

Résoudre dans

$\mathbb{R}$ les équations suivantes:

$\color{red}{\textbf{a. }} 9-(x-4)^2=0$

$\color{red}{\textbf{b. }} (1-2x)^2=(4x-5)^2$

Exercice 11: Résoudre une équation à l'aide des identités remarquables - Mathématiques - Seconde

Résoudre dans

$\mathbb{R}$ les équations suivantes:

$\color{red}{\textbf{a. }} x^2=(4-3x)^2$

$\color{red}{\textbf{b. }} (3-x)^2=3-x$

Exercice 12: Résoudre une équation à l'aide des identités remarquables - Mathématiques - Seconde

Résoudre dans

$\mathbb{R}$ les équations suivantes:

$\color{red}{\textbf{a. }} x^2-10x+25=0$

$\color{red}{\textbf{b. }} 4x^2+1=4x$

Exercice 13: Résoudre une équation à l'aide des identités remarquables - Mathématiques - Seconde

Résoudre dans

$\mathbb{R}$ les équations suivantes:

$\color{red}{\textbf{a. }} x^2+9=6x$

$\color{red}{\textbf{b. }} x^2=6x$

Exercice 14: Algorithmique - python - valeur approchée de racine de 2 par balayage - Mathématiques - Seconde

Ecrire un programme en Python pour déterminer par balayage un encadrement de racine de 2 à

$10^{-3}$ près.

Exercice 15: Algorithmique - python - valeur approchée de racine de 2 par dichotomie - Mathématiques - Seconde

Ecrire un programme en python pour déterminer par dichotomie un encadrement de racine de 2 à

$10^{-3}$ près.