résoudre une équation second degré ou plus • avec ou sans fraction

Conseils

Résoudre une équation • Cas général

Cours

résoudre une équation dans le cas général

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Essayer d'isoler $x$

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Sinon on essaye de se ramener à $...\times ....=0$

Méthode On essaye de se ramener à une équation produit nul

C'est à dire une équation de la forme:

$...\times ....=0$

Ecrire l'équation sous la forme $~....=0$
Factoriser au maximum le membre de gauche
2 méthodes pratiques pour factoriser:
- Le facteur commun
- L'identité remarquable $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$
Appliquer la règle du produit nul
$\rm A\times B=0$ $~\Leftrightarrow \rm A=0 \mbox{ ou } B=0$
Résoudre chaque équation séparément.

Exemples Résoudre

$4x^2=4x$

$\begin{align} \phantom{\Leftrightarrow} & ~4x^2=4x \\ \Leftrightarrow & ~4x^2-4x=0\\ \Leftrightarrow & ~x(4x-4)\\ \Leftrightarrow & ~x=0 \mbox{ ou } 4x-4=0\\ \Leftrightarrow & ~x=0 \mbox{ ou } 4x=4\\ \Leftrightarrow & ~x=0 \mbox{ ou } x=\dfrac 44\\ \Leftrightarrow & ~x=0 \mbox{ ou } x=1\\ \end{align}$

L'équation a donc deux solutions

$\{0;1\}$

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Sinon regarde s'il s'agit d'une équation du second degré

Dans ce cas, on utilise la technique avec le discriminant

$\Delta=b^2-4ac$ . Voir ici

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S'il y a des fractions

Méthode On essaye de se ramener à une équation quotient nul

C'est à dire une équation de la forme:

$~\dfrac{....}{....}=0$

Mettre tout au même dénominateur.
Jusqu'à obtenir une équation de la forme $\rm \dfrac AB=0$
On peut aussi utiliser le produit en croix
Résoudre $\rm A=0$
Vérifier que les solutions trouvées à l'étape précédente n'annulent pas le dénominateur
Sinon ce sont des valeurs interdites! Et on ne peut donc pas les garder.

Exemples Résoudre

$\dfrac 1x+\dfrac 1{x-1}=0$

$\begin{align} \phantom{\Leftrightarrow} & \dfrac 1x+\dfrac 1{x-1}=0 \\ \Leftrightarrow & ~\dfrac{x-1+x}{x(x-1)}=0\\ \Leftrightarrow & \dfrac{2x-1}{x(x-1)}=0 \end{align}$

On résout

$2x-1=0\Leftrightarrow x=\dfrac 12$

On remplace

$\dfrac 12$ dans le dénominateur

$x(x-1)$ ce qui donne

$\dfrac 12 \times \left(\dfrac 12 -1\right)$ ce qui ne fait pas 0. Donc

$\dfrac 12$ n'annule pas le dénominateur.

$\dfrac 12$ n'est donc pas une valeur interdite. On peut donc garder

$\dfrac 12$ .

L'équation a donc une solution

$\dfrac 12$ .

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Comment savoir si un nombre est solution d'une équation

Méthode Pour savoir si un nombre est solution d'une équation, on remplace le nombre dans l'équation

Si on obtient quelque chose de la forme $\rm A=A$ alors le nombre est solution.
Sinon le nombre n'est pas solution.

Cours

Ne pas confondre "Résoudre" et "Montrer que"

, expliqué en vidéo

Résoudre

Si dans la question il y a "Résoudre

$\boldsymbol{...=....}$ " il s'agit d'une équation

Exemple Résoudre

$3x-1=5$

Il y a le mot "Résoudre", il s'agit d'une équation.
En général,

$3x-1$ n'est pas égal à 5.
On cherche

$x$ pour que

$3x-1$ soit égal à

$5$

Montrer que

Si la question est "Montrer que

$\boldsymbol{...=....}$ ", il s'agit de montrer que la partie gauche et la partie droite sont égales

Exemple Montrer que pour tout

$x$ réel,

$x^2-1=(x-1)(x+1)$

Il faut montrer que

$x^2-1$ et

$(x-1)(x+1)$ sont toujours égales.

Pour cela, il suffit de développer

$(x-1)(x+1)$ puis d'arranger et on s'aperçoit que l'on tombe sur

$x^2-1$ .

Résumé du Cours

en vidéo

Exercice 1: équation se ramenant à une équation du second degré - Première Spécialité maths - S ES STI

Résoudre dans

$\mathbb{R}$ les équations suivantes:

$\color{red}{\textbf{a. }} -2x^3+3x^2=x$

$\color{red}{\textbf{b. }} x^4+x^5+x^6=0$

Exercice 2: équation avec fraction se ramenant à une équation du second degré - Première Spécialité maths - S ES STI

Résoudre dans

$\mathbb{R}$ les équations suivantes:

$\color{red}{\textbf{a. }} \dfrac {x-1}{2x-4}=0$

$\color{red}{\textbf{b. }} \dfrac 1x =x$

$\color{red}{\textbf{c. }} \dfrac{x^2-9}{3-x}=0$

Exercice 3: équation avec fraction se ramenant à une équation du second degré - Première Spécialité maths - S ES STI

Résoudre dans

$\mathbb{R}$ les équations suivantes:

$\color{red}{\textbf{a. }} \dfrac 1x+\dfrac {2}{1-2x}=0$

$\color{red}{\textbf{b. }} \dfrac 1{x^2}-\dfrac 2x =3$

$\color{red}{\textbf{c. }} \dfrac2{x-1}-\dfrac 2x=1$

Exercice 4: Intersection de 2 courbes & équation du second degré Première Spécialité maths - S ES STI

$f$ et

$g$ sont les fonctions définies sur

$\mathbb{R}$ par

$f(x)= \dfrac{1}{2}x - 1$ et sur

$\mathbb{R}^*$ par

$g(x)= \dfrac{2}{x}$ . On note

$\mathscr{C}_f$ et

$\mathscr{C}_g$ les courbes représentatives respectives des fonctions

$f$ et

$g$ dans un repère.

Avec la calculatrice, conjecturer le nombre de points d'intersection des courbes $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$ et leurs abscisses.
Déterminer algébriquement les abscisses exactes des points d'intersection de $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$ .

Exercice 5: Résoudre une équation avec racine carrée qui se ramène à une équation du second degré - Première Spécialité maths S ES STI

Résoudre dans

$\mathbb{R}$ l'équation:

$x=\sqrt x +2$ .

Exercice 6: Résoudre une équation avec racine carrée à l'aide d'un changement de variable - Première Spécialité maths - S ES STI

Résoudre dans

$\mathbb{R}$ l'équation:

$x+3\sqrt x -10=0$ .

Exercice 7: Résoudre une équation du troisième degré à l'aide du second degré - Méthode par identification - Première Spécialité maths - S ES STI

Montrer qu'il existe trois réels $a$ , $b$ et $c$ tels que pour tout réel $x$ : $x^3 -2x - 1 = (x + 1)(ax^2 + bx + c)$ .
Résoudre l'équation $x^3 -2x-1 = 0$

Résoudre une équation • Cas général

résoudre une équation dans le cas général

Essayer d'isoler xx

Sinon on essaye de se ramener à ...×....=0...\times ....=0

Sinon regarde s'il s'agit d'une équation du second degré

S'il y a des fractions

Comment savoir si un nombre est solution d'une équation

Ne pas confondre "Résoudre" et "Montrer que"

Résumé du Cours

Exercice 1: équation se ramenant à une équation du second degré - Première Spécialité maths - S ES STI

Exercice 2: équation avec fraction se ramenant à une équation du second degré - Première Spécialité maths - S ES STI

Exercice 3: équation avec fraction se ramenant à une équation du second degré - Première Spécialité maths - S ES STI

Exercice 4: Intersection de 2 courbes & équation du second degré Première Spécialité maths - S ES STI

Exercice 5: Résoudre une équation avec racine carrée qui se ramène à une équation du second degré - Première Spécialité maths S ES STI

Exercice 6: Résoudre une équation avec racine carrée à l'aide d'un changement de variable - Première Spécialité maths - S ES STI

Exercice 7: Résoudre une équation du troisième degré à l'aide du second degré - Méthode par identification - Première Spécialité maths - S ES STI

Essayer d'isoler $x$

Sinon on essaye de se ramener à $...\times ....=0$