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Seconde
Nombre premier - Décomposition en produit de facteurs premiers
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Nombre premier - Décomposition en produit de facteurs premiers
Cours
Nombres premiers
Définition
Un
nombre premier
est un entier naturel qui a
exactement 2 diviseurs positifs
, 1 et lui-même.
Exemples
$0$
0 n'est pas premier, car il a une infinité de diviseurs.
$1$
1 n'est pas premier, car il a un seul diviseur positif $1$.
$2$
2 est premier, car 2 a bien deux diviseurs positifs, 1 et lui-même.
$3$
3 est premier, car 3 a bien deux diviseurs positifs, 1 et lui-même.
$4$
4 a comme diviseur 1, 2 et 4. Donc 4 a plus que deux diviseurs positifs. Donc $4$ n'est pas premier.
Méthode
pour savoir si un nombre est premier ou pas
Pour savoir si un nombre $a$ est premier, on cherche ses diviseurs
positifs
Pas la peine d'essayer tous les entiers entre 1 et $a$, Il suffit d'essayer ceux entre 2 et $\sqrt a$ !
Cela fait gagner beaucoup de temps!
S'il en a exactement 2, il est premier.
S'il en a plus de 2 ou moins de 2, il n'est pas premier.
Exemples
$51$
51 est divisible par 3
Car la somme des chiffres de 51 vaut 5+1=6 donc la somme des chiffres est divisible par 3. Donc 51 est divisible par 3.
Donc 51 a plus de 2 diviseurs positifs puisqu'il en a déjà 3: 1, 51 et 3. Donc 51 n'est pas premier.
$53$
On commence par calculer $\sqrt{53}\approx 7,28$. Donc il suffit de chercher les diviseurs de 53 entre 2 et 7 et pas plus !
53 n'est pas divisible par 2
car 53 est impair.
53 n'est pas divisible par 3
car la somme des chiffres de 53 vaut 5+3=8 et 8 n'est pas divisible par 3.
53 n'est pas divisible par 4
car 53 n'est pas divisible par 2, il ne peut être divisible par 4.
53 n'est pas divisible par 5
car 53 n'est pas divisible par 5, car le chiffre des unités de 53 n'est ni 0 ni 5.
53 n'est pas divisible par 6
car 53 n'est pas divisible par 6, car il n'est déjà pas divisible par 2.
53 n'est pas divisible par 7
car 53 n'est pas divisible par 7.
Donc 53 n'a aucun diviseur entre 2 et 7. Donc 53 est premier.
Cours
0, 1 et 2 sont-ils des nombres premiers ?
Cours
Technique très efficace pour savoir si un nombre est premier - exemple avec 101
Cours
Technique très efficace pour savoir si un nombre est premier - exemple avec 101
Cours
Décomposition en produit de facteurs premiers
Ce qu'il faut savoir
Tout entier supérieur ou égal à 2 se décompose en produit de facteurs premiers
Cette décomposition est unique (à l'ordre près des facteurs)
Exemples
$300$
$\begin{align} 300 &= 3\times 100 \\ &= 3\times 2\times 50 \\ &= 3\times 2\times 2\times 25\\ &= \underbrace{2^2\times 3 \times 5^2}_{\text{ Décomposition en }\\ \text{facteurs premiers}} \end{align}$
Cours
Rendre une fraction irréductible • décomposition en produit de facteur premier • Simplifier
Cours
Python : Comprendre l'opérateur modulo et à quoi il sert
Exercice 1: Savoir si un nombre est premier ou pas
Parmi les nombres suivants, lesquels sont des nombres premiers ?
$\color{red}{\textbf{a. }} 101$
$\color{red}{\textbf{b. }} 199$
Exercice 2: Savoir si un nombre est premier ou pas
Parmi les nombres suivants, lesquels sont premiers ?
$\color{red}{\textbf{a. }} 87$
$\color{red}{\textbf{b. }} 109$
$\color{red}{\textbf{c. }} 143$
$\color{red}{\textbf{d. }} 215$
Exercice 3: Décomposition - Nombre premier - Transmath Quatrième Troisième
Décomposer en produit de facteurs premiers :
$ \color{red}{\textbf{a. }} 550$
$\color{red}{\textbf{b. }} 320$
$\color{red}{\textbf{c. }} 425$
$\color{red}{\textbf{d. }} 1000$
Exercice 4: Décomposition en produit de facteurs premiers
Décomposer $450$ et $1197$ en produit de facteurs premiers.
Exercice 5: Décomposition en facteur premier pour avoir la liste des diviseurs
Décomposer 300 en produit de facteurs premiers.
En déduire les diviseurs positifs de 300.
Exercice 6: Simplifier une fraction à l'aide de la décomposition en facteurs premiers - Nombre premier - Transmath Cinquième Quatrième Troisième
Simplifier $\dfrac{68}{170}$ à l'aide de la décomposition en produit de facteurs premiers.
Exercice 7: décomposition en produit de facteurs premiers
Sans calculatrice, indiquer si $14~400$ est le carré d'un entier. Justifier.
Exercice 8: nombres premiers
Sans calculatrice, indiquer si $253~253$ est un nombre premier. Justifier.
Exercice 9: Algorithmique - programme python - modulo - fraction irréductible
Écrire un programme en python pour simplifier une fraction et la rendre irréductible.
Exercice 10: Algorithmique - programme python - modulo - nombre premier
Écrire un programme en python pour savoir si un nombre est premier ou pas.
Ce site ne convient pas aux enfants de moins de 36 mois, sauf s'ils insistent vraiment.
Ne pas dépasser la dose prescrite.
Posologie: 1 fois
/
jour la semaine avant le contrôle.
L'efficacité du traitement dépend d'une prise régulière.
Effet secondaire: Peut procurer du plaisir surtout en cas de réussite !
En cas de persistance des difficultés, arrêter le traitement pendant une nuit, puis reprendre le lendemain.
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