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Ensembles de nombres - Entiers - Décimaux - Rationnels - Réels |
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On regroupe les nombres dans des ensembles selon leur nature :
On utilise deux symboles :
👉 $3$ est un entier naturel, mais aussi un entier relatif, un décimal, un rationnel et un réel.
👉 Les ensembles sont emboîtés :
👉 Donner la nature d'un nombre, c'est indiquer le plus petit ensemble de cette liste auquel il appartient.
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Un entier naturel est un entier supérieur ou égal à zéro.
$\mathbb{N}=\{0;1;2;3;\ldots\}$
$0\in\mathbb{N}$ et $12\in\mathbb{N}$.
👉 $-3\notin\mathbb{N}$ : il est négatif.
👉 $2,5\notin\mathbb{N}$ : ce n’est pas un entier.
Un entier relatif est un entier positif, négatif ou nul.
$\mathbb{Z}=\{\ldots;-3;-2;-1;0;1;2;3;\ldots\}$
$-3\in\mathbb{Z}$, $0\in\mathbb{Z}$ et $12\in\mathbb{Z}$.
👉 Tout entier naturel est un entier relatif : $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}$.
👉 $0,5\notin\mathbb{Z}$.
Un nombre décimal est un nombre qui peut s’écrire avec un nombre fini de chiffres après la virgule, ce qui signifie qu’il peut s’écrire sous la forme $\dfrac{a}{10^n}$, avec $a\in\mathbb{Z}$ et $n\in\mathbb{N}$.
Il y a trois façons de justifier qu’un nombre est décimal :
$2,23=\dfrac{223}{100}=\dfrac{223}{10^2}$ et $\dfrac34=0,75$ sont décimaux.
👉 $\dfrac27$ n’est pas décimal : la fraction est irréductible et pourtant son dénominateur a un facteur premier, 7, qui n’est ni 2 ni 5.
👉 Un entier est aussi décimal : $3=3,0$.
⚠️ $\dfrac13=0,333\ldots$ n’est pas décimal : les chiffres 3 se répètent sans fin.
Démontrer qu’un nombre est décimal : méthode et pièges 👇
Un nombre rationnel est un nombre qui peut s’écrire sous la forme $\dfrac ab$ avec $a$ et $b$ entiers et $b\ne0$.
$\dfrac13\in\mathbb{Q}$ et $-\dfrac75\in\mathbb{Q}$.
$2,23=\dfrac{223}{100}$ est rationnel.
👉 Tout décimal est rationnel.
⚠️ Une fraction ne donne pas toujours un décimal : $\dfrac13\in\mathbb{Q}$ mais $\dfrac13\notin\mathbb{D}$.
Les nombres réels sont les nombres qui correspondent aux points d’une droite graduée.
Ce sont tous les nombres connus en classe de seconde.
$-3$, $0,75$, $\dfrac13$, $\sqrt2$ et $\pi$ sont réels.
$\in$ signifie « appartient à » : il s’utilise entre un nombre et un ensemble.
$\subset$ signifie « est inclus dans » : il s’utilise entre deux ensembles.
$3\in\mathbb{N}$ : le nombre 3 appartient à l’ensemble des entiers naturels.
$\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}$ : l’ensemble des entiers naturels est inclus dans celui des entiers relatifs, car tout entier naturel est un entier relatif.
Et pour dire le contraire :
$\notin$ signifie « n’appartient pas à ».
Exemple :
$-3\notin\mathbb{N}$, car $-3$ est négatif.
$\not\subset$ signifie « n’est pas inclus dans ».
Exemple :
$\mathbb{Z}\not\subset\mathbb{N}$, car certains entiers relatifs, comme $-3$, ne sont
pas des entiers naturels.
Donner la nature d’un nombre, c’est indiquer le plus petit ensemble auquel il appartient parmi $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{D}$, $\mathbb{Q}$ et $\mathbb{R}$.
1. Essaie d’écrire le nombre plus simplement.
2. Cherche le plus petit ensemble auquel il appartient, dans l’ordre : $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{D}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$.
$\sqrt{25}=5$ : entier naturel.
$\dfrac{-84}{14}=-6$ : entier relatif.
$\dfrac{11}{20}=0,55$ : décimal.
$\dfrac73$ : rationnel non décimal.
$\sqrt2$ : réel irrationnel.
👉 L’apparence ne suffit pas : une fraction ou une racine peut représenter un entier !
Supposons $\dfrac13=\dfrac a{10^n}$ avec $a\in\mathbb{Z}$ et $n\in\mathbb{N}$.
On aurait alors $10^n=3a$ : $10^n$ serait divisible par 3.
Or une puissance de 10 n’est jamais divisible par 3. C’est impossible.
👉 $\dfrac13$ est rationnel, mais non décimal.
⚠️ $0,333333$ n’est qu’une valeur approchée de $\dfrac13$.
Démontrer qu’un tiers n’est pas décimal 👇
Un nombre irrationnel est un nombre réel qui n’est pas rationnel c'est à dire qu'il ne peut pas s’écrire comme une fraction de deux entiers.
La racine carrée d’un entier naturel est soit un entier naturel, soit un irrationnel.
$1<\sqrt2<2$ Donc $\sqrt2$ n’est pas un entier, donc, $\sqrt2$ est irrationnel.
$\sqrt9=3$ est un entier naturel.
Démontrer que la racine de 2 est irrationnelle par l'absurde 👇
Si un nombre est rationnel, alors son développement décimal est périodique à partir d’un certain rang : un même groupe de chiffres se répète indéfiniment.
$\dfrac{15}{11}$ est rationnel, car c’est le quotient de deux entiers.
$\dfrac{15}{11}=1,363636\ldots$ : le groupe 36 se répète. C’est la période.
👉 Un nombre décimal convient aussi : $0,75=0,75000\ldots$. On peut prolonger son écriture par des zéros ; la période est alors 0.
La réciproque est vraie : si un nombre a un développement décimal périodique à partir d’un certain rang, alors ce nombre est rationnel.
$0,0454545\ldots$ est rationnel : après le premier chiffre 0 suivant la virgule, le groupe 45 se répète indéfiniment.
Posons $x=0,0454545\ldots$. Alors $10x=0,454545\ldots$ et $1000x=45,454545\ldots$.
En soustrayant : $1000x-10x=45$, donc $990x=45$.
Ainsi $x=\dfrac{45}{990}=\dfrac1{22}$ : c’est bien le quotient de deux entiers.
Approfondir les nombres rationnels 👇
| Appartient à | $\mathbb{N}$ | $\mathbb{Z}$ | $\mathbb{D}$ | $\mathbb{Q}$ | $\mathbb{R}$ |
| -5 | |||||
| $\displaystyle\frac 13$ | |||||
| $\displaystyle\frac 34$ | |||||
| $\displaystyle\sqrt 2$ | |||||
| $\displaystyle\frac {\sqrt{144}}3$ | |||||
| $\displaystyle\pi$ |
| a) 3 .... $\mathbb{Z}$ | b) $\displaystyle \frac 54$ .... $\mathbb{D}$ | c) $\sqrt 2$ .... $\mathbb{Q}$ |
| d) $\displaystyle \frac 13$ .... $\mathbb{D}$ | e) $\mathbb{Q}$ .... $\mathbb{D}$ | f) $\mathbb{N}$ .... $\mathbb{Q}$ |
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