Il est important avant d'attaquer la notion d'arrangement et de combinaison de commencer par regarder la page précédente
"Principe additif et multiplicatif"
Conseils pour travailler efficacement
Conseils pour le jour du Bac
Arrangement & Combinaison
Cours
$k$-uplet - Arrangement - permutation
•
Factorielle
Définition Soit $n$ un entier naturel non
nul. On appelle factorielle $n$ le nombre noté $n!$ et qui vaut
$n!=n\times (n-1)\times ....\times 1$
Le symbole ! est placé après $n$ mais on lit "factorielle $n$"
Par convention, $0!=1$
On verra avec les combinaisons pourquoi on a choisi cette convention.
Exemple Déterminer la valeur de $5!$
$5!=5\times 4\times 3\times 2\times 1=120$
•
$k$-uplet
Définition Un
$\boldsymbol{k}$-uplet d'éléments de $\rm E$ est une
liste ordonnée de $k$ éléments de $\rm E$ distincts ou pas.
Mathématiquement, un $k$-uplet
d'élements de $\rm E$ est un élément de $ \underbrace{\rm E\times ...\times
E}_k$.
Un $k$-uplet s'appelle aussi
une $k$-liste.
Les
parenthèses $( ... ;...;...)$ indiquent que l'on a affaire
à un $k$-uplet
alors que les accolades indiquent que l'on a
affaire à un ensemble. On le verra avec les
combinaisons.
L'ordre
compte dans un $k$-uplet
$(a;b;c)\ne (a;c;b)$
Il peut y avoir des
répétitions dans un $k$-uplet
$(p;a;p;i)$ est un $4$-uplet de l'ensemble des lettres de l'alphabet
${\rm E}=\{a;b;...;z\}$ et il y a répétition de la lettre $p$.
Un $k$-uplet correspond à un
tirage successif de $k$ boules (l'une après l'autre donc
avec ordre) et avec remise (on remet la boule
après chaque tirage) dans une urne contenant $n$ boules discernables.
Exemple Les mots
Un mot de 5 lettres peut être vu comme un $5$-uplet de l'ensemble
${\rm E}=\{a;b;...;z\}$
${\rm E}$ est l'ensemble des 26 lettres de l'alphabet.
Le mot "babar"
peut être vu comme le 5-uplet $(b;a;b;a;r)$.
Propriété Le nombre
de $\boldsymbol{k}$-uplets d'un ensemble de $n$ éléments est de
$\boldsymbol{n^k}$.
On a $\boldsymbol n$ choix pour le premier
élément, puis encore $\boldsymbol{n}$ pour le second, car
le tirage est avec remise et ainsi de suite,
ce qui donne $\underbrace{n\times n\times ... \times n}_k=n^k$
Exemple Déterminer le nombre de mots de
3 lettres (on ne compte pas les accents)
Pour la première lettre, on a 26 possibilités, de même pour la deuxième
lettre et idem pour la troisième. Donc il y a $26\times 26\times 26=26^3$
mots de trois lettres
Dit mathématiquement avec les $k$-uplets, on note $\rm E$ l'ensemble des
26 lettres de l'alphabet: ${\rm E}=\{a;b;...;z\}$. Soit $n$ le
nombre d'éléments de $\rm E$. On a donc $n=26$ et comme on veut
des mots de 3 lettres, on cherche le nombre de 3-uplets de $\rm E$. Or
on a vu que le nombre de $k$-uplets d'un ensemble à $n$ éléments est
égal à $n^k$. Donc pour avoir le nombre de mots de 3 lettres,
on applique cette formule avec $n=26$ et $k=3$ et on trouve donc que le
nombre de mots de 3 lettres est égal à $26^3$.
•
Arrangement
Définition Soit $\rm E$ un ensemble
fini non vide à $n$ éléments. Un
arrangement de $\rm E$
est un $k$-uplet d'éléments
distincts de $\rm E$
Autrement dit, dans un
arrangement, l'ordre compte car c'est un
$k$-uplet mais il n'y a
pas de répétition car les éléments doivent être
distincts
Une autre façon de dire la même chose, un arrangement
est une $k$-liste ordonnée d'éléments
distincts d'un ensemble, c'est à dire une liste
sans répétition
Un
arrangement correspond à un tirage
successif de $k$ boules (c'est à dire l'une après l'autre
donc l'ordre compte) et sans remise (on ne remet pas la
boule après le tirage) dans une urne contenant $n$ boules discernables.
$k\leqslant n$
Exemple $(s;o;p;h;i;e)$ et
$(g;a;s;p;a;r;d)$ sont-ils des arrangements?
$(s;o;p;h;i;e)$ est un arrangement de l'ensemble
${\rm E}=\{a;b;...;z\}$ des lettres de l'alphabet car l'ordre compte
et toutes les lettres sont
distinctes $(g;a;s;p;a;r;d)$ n'est pas un arrangement
${\rm E}=\{a;b;...;z\}$ car il y a répétition de
certaines lettres (ici le $a$) donc ce n'est pas un arrangement.
Propriété Le nombre
d'arrangements de $k$ éléments d'un ensemble ayant $n$ éléments
est égal à $\boldsymbol{n\times (n-1)\times ... \times
(n-k+1)}$
On a $\boldsymbol{n}$
choix pour le premier élément, puis
$\boldsymbol{n-1}$ pour le second car les éléments
doivent être distincts, puis $n-2$ pour le troisième et ainsi de suite
et $\boldsymbol{n-k+1}$ pour le $\boldsymbol{k}$-ième
c'est à dire le dernier. Donc au final, on a $\boldsymbol{n\times
(n-1)\times ...\times (n-k+1)}$ choix possibles. $k\leqslant n$
Avec la notation
factorielle: $n\times (n-1)\times ... \times
(n-k+1)=\dfrac{n!}{(n-k)!}$
Exemple Une urne contient
dix boules numérotées de 1 à 10. On tire 4 boules une par une et
sans remise. Déterminer le nombre de tirages possibles
On a 10 possibilités pour la première boule, puis 9 pour la
seconde car on ne remet pas la première boule, puis 8 pour
la troisième puis enfin 7 pour la quatrième. Finalement, on
a $10\times 9\times 8\times 7=5040$ tirages différents.
Il
s'agit d'un tirage successif (donc l'ordre compte)
et sans remise (sans répétition) de 4 éléments dans
un ensemble à 10 éléments. Chaque
tirage correspond à un 4-uplet d'éléments distincts
de $\{1;2;...;10\}$. Donc chaque tirage est un
4-arrangement. On utilise la formule $n\times
(n-1)\times ... \times (n-k+1)$ avec
$n=10$ et $k=4$, ce qui donne: $10\times 9\times ...
\times (10-4+1)=10\times...\times 7=5040$
•
Permutation
Définition Soit $\rm E$ un ensemble
fini non vide à $n$ éléments. Une permutation de
$\rm E$ est un $\boldsymbol{n}$-uplet d'éléments
distincts de $\rm E$.
Une
permutation correspond à l'idée de
réarrangement ou mélange de tous les
éléments de $\rm E$.
Une
permutation correspond à un
arrangement "complet" c'est à dire de tous les éléments.
Autrement dit, une permutation est un arrangement avec $k=n$.
Une
permutation correspond à un tirage
successif de $n$ boules (c'est à dire l'une après l'autre donc
l'ordre compte) et sans remise (on ne remet pas la boule
après le tirage) des $n$ boules de l'urne, c'est à dire de
toutes les boules de l'urne.
Exemple Soit l'ensemble $\rm
E=\{a;b;c \}$. $(b;a;c)$ est une permutation de $\rm E$
Car $(b;a;c)$ est un $n$-uplet d'élements distincts de
$\rm E$: tous les éléments de $\rm E$ sont présents et
il n'y a pas de répétition.
Propriété Le nombre de
permutations d'un ensemble à $n$ éléments est $\boldsymbol{n!}$
Comme une permutation est un
arrangement "complet", pour retrouver $n!$ il suffit
d'appliquer la formule des arrangements avec
$\boldsymbol{k=n}$ ce qui donne: $\boldsymbol{n\times (n-1) \times ....
\times (n-k+1)=n\times (n-1) \times ... \times 1=n!}$
Une autre façon de voir les
choses: on a $n$ choix pour le premier élément, puis $n-1$ pour le second,
puis $n-2$ pour le troisième,...., $1$ pour le $n$-ième c'est
à dire le dernier. Au final, on a donc $n\times (n-1)\times ... \times 1=n!$
permutations.
Exemple Un professeur doit interroger 4
élèves à l'oral. Déterminer dans combien d'ordres différents le professeur peut
le faire
Il a 4 possibilités pour le premier élève, puis 3 pour le second, puis 2
pour le troisième puis une seule pour le dernier. Il a donc $4\times
3\times 2\times 1=4!=24$ ordres différents possibles
Dit
mathématiquement, il s'agit d'un tirage avec ordre (l'ordre
compte) et sans répétition de 4 éléments dans l'ensemble des 4
élèves. On note l'ensemble
des quatre élèves: ${\rm E}=\{
\text{eleve1};\text{eleve2};\text{eleve3};\text{eleve4} \}$.
Chaque tirage correspond à une permutation des éléments de $\rm
E$. Donc le nombre de tirages possibles
est égal au nombre de permutations de $\rm E$ c'est à dire à
$4!$.
Cours
Combinaison
Définition Soit $\rm E$ un ensemble fini à $n$
éléments et $k$ un entier naturel avec $k\leqslant n$. Une combinaison
de $k$ élements de $\rm E$ est une partie
(c'est à dire un sous-ensemble) de $\rm E$ à $k$ éléments
Le nombre de
combinaisons de $k$ éléments parmi $n$ est noté
$\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}$ se lit "$k$ parmi $n$".
$\begin{pmatrix} n \\ k
\end{pmatrix}$ est également appelé coefficient binomial
Ne pas confondre $\{a;b;c \}$ et
$(a;b;c)$
Dans $(a;b;c)$, l'ordre compte. $(a;b;c)$ est différent
de $(b;a;c)$
Par exemple, le point de coordonnées $(2;3)$ n'est pas le même que
le point de coordonnées $(3;2)$. L'ordre compte.
Dans $\{a;b;c \}$, l'ordre ne compte pas. C'est un
ensemble. $\{a;b;c \}=\{b;a;c \}$.
Si une équation a pour solution 1, -2 et 3. On peut dire que
l'ensemble des solutions est $\{1;-2;3 \}$ ou encore que l'ensemble
des solutions est $\{-2;3;1 \}$. L'ordre ne compte pas. On donne les
solutions dans l'ordre que l'on veut.
Propriétés
$\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}=?$
$\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}$
Exemple Dans une
classe de 35 élèves, les élèves décident d'envoyer une
délégation de 4 élèves voir le proviseur. Déterminer le
nombre de délégations
que l'on peut faire
Choisir une délégation, c'est choisir 4
élèves parmi 35. Dans une délégation,
l'ordre ne compte pas. Une délégation est un
sous-ensemble de la classe. Si on numérote
les élèves de 1 à 35, une délégation
possible est {10;2;5;32}. Une délégation est
donc
une combinaison de 4 éléments. Donc le
nombre de délégation est égal au nombre de
combinaison de 4 éléments parmi 35, c'est à
dire $\begin{pmatrix} 35 \\ 4
\end{pmatrix}=\dfrac{35!}{4!~31!}$$=\dfrac{35\times
34\times 33\times 32}{4\times 3\times
2}$$=35\times 34\times 11\times 4=52~360$
$\begin{pmatrix} n \\ 0 \end{pmatrix}=?$
$\begin{pmatrix} n \\ 0 \end{pmatrix}=1$
$\begin{pmatrix} n \\ 0 \end{pmatrix}$ désigne
le nombre de partie de $\rm E$ à 0 élément. Or
il n'y a qu'une seule partie à
0 éléments: l'
ensemble vide $\varnothing$.
Donc $\begin{pmatrix} n \\ 0 \end{pmatrix}=1$
En utilisant la formule $\begin{pmatrix} n \\ k
\end{pmatrix}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}$, on obtient
$\begin{pmatrix} n \\ 0
\end{pmatrix}=\dfrac{n!}{0!n!}=\dfrac
1{0!}$. Or $\begin{pmatrix} n \\ 0
\end{pmatrix}=1$ donc $\dfrac 1{0!}=1$ donc
$0!=1$. C'est pourquoi on convient que $0!=1$
$\begin{pmatrix} n \\ 1 \end{pmatrix}=?$
$\begin{pmatrix} n \\ 1 \end{pmatrix}=n$
$\begin{pmatrix} n \\ 1 \end{pmatrix}$ désigne
le nombre de parties de $\rm E$ à 1 élément. Or
il y a $n$ parties à 1 éléments dans
un ensemble à $n$ éléments. Donc
$\begin{pmatrix} n \\ 1 \end{pmatrix}=n$
Exemple
${\rm E}=\{a;b;c\}$. L'ensemble $\rm
E$ a 3 parties à 1 élèment {a}, {b}
et {c}.
Cette relation $\begin{pmatrix} n \\ 1
\end{pmatrix}=n$ a un sens sous réserve que
$n \geqslant 1$.
$\begin{pmatrix} n \\ n-k \end{pmatrix}=?$
$\begin{pmatrix} n \\ n-k \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} n \\
k \end{pmatrix}$
Cette
relation traduit le fait que
choisir $\boldsymbol{n-k}$ objets
parmi $n$ revient à choisir
ceux qu'on ne prend pas c'est à
dire $k$ parmi $n$
Exemple Soit
${\rm E}=\{a;b;c;d;e\}$. Choisir $\{a;b;d\}$ revient
à indiquer que l'on n'a pas choisi $\{c;e\}$. Donc
choisir 3 objets parmi 5 revient
à indiquer ceux qu'on ne prend pas c'est à dire 2
parmi 5. Et donc il y a autant de façons de choisir
3 objets parmi 5 que de choisir 2 parmi 5 et donc:
$\begin{pmatrix} 5 \\ 3
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
5 \\ 2 \end{pmatrix}$
On
retrouve $\begin{pmatrix} n \\ n-k
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}$
en utilisant la formule$\begin{pmatrix} n \\ k
\end{pmatrix}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}$
$\begin{pmatrix} n \\ n-k \end{pmatrix}$$=\dfrac
{n!}{(n-k)!~k!}=\dfrac{n!}{k!~(n-k)!}$$=\begin{pmatrix}
n \\ k \end{pmatrix}$
Relation de Pascal
?
et
$\begin{pmatrix} n-1 \\ k-1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
n-1 \\ k \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}$
Cette relation est appelée relation de
Pascal
Savoir utiliser cette relation pour construire
le
triangle de
Pascal
Ne pas apprendre cette formule par cœur mais la
retrouver avec le triangle de Pascal
Démonstration de la relation de Pascal en vidéo
et
Écrire un programme Python pour déterminer le
triangle de Pascal et les coefficients binomiaux
$\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}=?$
et
$\displaystyle\sum_{k=0}^{n} \begin{pmatrix} n \\ k
\end{pmatrix}=2^n$
$\displaystyle\sum_{k=0}^{n} \begin{pmatrix}
n \\ k \end{pmatrix}$ correspond au nombre
de partie à 0 élément + au nombre de parties
à 1 élément + au nombre de parties à 2
éléments,...., + au nombre de parties à $n$
éléments. Autrement dit
$\displaystyle\sum_{k=0}^{n} \begin{pmatrix}
n \\ k \end{pmatrix}$ correspond
au nombre total de parties
d'un ensemble. Et donc cette formule
$\displaystyle\sum_{k=0}^{n} \begin{pmatrix}
n \\ k \end{pmatrix}=2^n$ indique qu'un
ensemble
à $n$ éléments a $2^n$ parties.
D'après la formule $\begin{pmatrix} 3 \\
0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 3 \\ 1
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 3 \\ 2
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
3 \\ 3 \end{pmatrix}=2^3$
On peut le vérifier en comptant le
nombre de parties d'un ensemble à 3
éléments. Soit ${\rm E}=\{
a;b;c\}$. • $\begin{pmatrix}
3 \\ 0\end{pmatrix}$ est le nombre de
partie de $\rm E$ à 0 élément. Il y en a
qu'une seule: l'ensemble vide
$\varnothing$. Donc $\begin{pmatrix} 3
\\ 0\end{pmatrix}=1$ •
$\begin{pmatrix} 3 \\ 1\end{pmatrix}$
est le nombre de parties $\rm E$ à 1
élément. Il y en a 3: $\{a\}$, $\{b\}$
et $\{c\}$. Donc $\begin{pmatrix} 3 \\
1\end{pmatrix}=3$
• $\begin{pmatrix} 3 \\
2\end{pmatrix}$ est le nombre de parties
de $\rm E$ à 2 éléments. Il y en a 3:
$\{a;b\}$, $\{a;c\}$ et $\{b;c\}$. Donc
$\begin{pmatrix}
3 \\ 2\end{pmatrix}=3$
• $\begin{pmatrix} 3 \\
3\end{pmatrix}$ est le nombre de parties
à 3 éléments de $\rm E$. Il y en a
qu'une: $\{a;b;c\}$. Donc
$\begin{pmatrix} 3 \\
3\end{pmatrix}=1$ Finalement $\rm
E$ a 8 parties ce qui correspond à
$\begin{pmatrix} 3 \\ 0\end{pmatrix} +
\begin{pmatrix} 3 \\ 1
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 3 \\
2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
3 \\ 3\end{pmatrix}=1+3+3+1=8$.
Cours
Résumé du cours - Ce qu'il faut savoir pour faire les exercices
•
Les questions à se poser
• Cas particulier important
Méthode Souvent on rencontre la situation
suivante ou une situation s'y ramenant: Combien de façons a-t-on de placer $k$
objets identiques dans $n$ cases (chaque case ne
pouvant contenir qu'un objet au maximum? En fait cela revient à numéroter les cases
de 1 à n, puis à choisir $k$ emplacements parmi les $n$ cases pour les $k$ objets.
Le nombre de façons de placer les $k$ objets parmi
les $n$ cases correspond donc au nombre de combinaisons $\begin{pmatrix} n \\ k
\end{pmatrix}$.
Exemple Combien y-a-t-il de façons de
ranger $3$ œufs identiques parmi 10 cases?
On numérote les cases de 1 à 10. Un rangement possible est {2;5;7}, c'est à
dire un œuf sur la case 2, un œuf sur la case 5 et un sur la 7. L'ordre ne
compte pas car les œufs sont identiques. Donc le nombre de rangements
possibles est le nombre de combinaisons
à 3 éléments parmi 10, c'est à dire $\begin{pmatrix} 10 \\ 3
\end{pmatrix}=\dfrac{10!}{3!~7!}$$=\dfrac{10\times 9\times 8}{3\times
2}$$=120$.
Voir cet
exercice qui illustre bien cette méthode et qui est très classique
Cours
Démonstration: Formule du triangle de Pascal
par le Dénombrement et par le
calcul
Cours
Démonstration: Parties d'un ensemble
Exercice
1:
Dénombrement - tiercé - Mot - Arrangement Combinaison
Déterminer le nombre de tiercés possibles dans une course avec $15$ chevaux et pas
d'ex-aequo.
Déterminer le nombre de mots de quatre lettres, formés avec les $26$ lettres de l'alphabet.
De combien de façons peut-on garer $4$ voitures distinctes dans un parking à $6$ places?
On place $10$ points distincts sur un cercle. Dénombrer le nombre de droites passant par
deux de ces points.
Exercice
2:
Dénombrement - Arrangement - Combinaison
On dispose de 8 souris, quatre mâles et quatre femelles. Combien de couples peut-on former
afin qu'ils se reproduisent?
On choisit deux villes parmi 7 pour une course cycliste entre ces 2 villes. Combien y-a-t-il
de choix si on ne distingue pas ville de départ et d'arrivée?
Même question mais en distinguant ville de départ et d'arrivée?
Dix nageurs participent à une course. Combien y-a-t-il de podiums possibles? Il n'y a pas
d'ex-æquo. .
Exercice
3:
Dénombrement - Tirage avec et sans remise et simultané
On tire 4 boules dans une urne contenant 10 boules de couleurs différentes. Déterminer le nombre de
tirages possibles lorsque:
on tire les 4 boules successivement et avec remise.
on tire les 4 boules successivement et sans remise.
on tire les 4 boules simultanément.
Exercice
4
Dénombrement - Arrangement Combinaison
Huit nageurs dont un français participent à une compétition. Un podium est constitué du premier, du
deuxième et du troisième. Il n'y a pas d'ex-æquo.
Combien y-a-t-il de podiums possibles?
Déterminer le nombre de podiums possibles avec le nageur français de deux façons
différentes.
Exercice
5:
Dénombrement - digicode
Un digicode à l'entrée d'un immeuble est constitué d'un clavier avec 13 touches marquées des trois
lettres U, V et X et des 10 chiffres de 0 à 9. Un code est formé d'une lettre suivie d'une liste de
3 chiffres non nécessairement distincts. Rose a oublié
le code.
Parmi combien de code différents Rose doit faire son choix?
Rose se souvient de la lettre du code. Parmi combien de code différents Rose fait-elle son
choix?
Rose maintenant se souvient en plus de la lettre que les trois chiffres du code sont 6, 2 et
9, mais ne se souvient plus de l'ordre. Quelle est la probabilité que Rose trouve le bon
code dès le premier essai?
La plaque d'immatriculation d'une voiture comporte deux lettres, distinctes de O, I et U pour éviter
la confusion avec 0, 1 et V. Puis trois chiffres entre 0 et 9 inclus puis encore deux lettres
distinctes de O, I et U. Déterminer le nombre de plaques
d'immatriculation différentes possibles.
On dispose de 6 cages sans limite de capacité. 3 cochons d'Inde discernables se précipitent dans les
cages. De combien de façon peuvent-ils occuper les cages?
Exercice
8:
Dénombrement - Cartes
On tire au hasard et simultanément 5 cartes d'un jeu de 32. On constitue ainsi une main.
Matthias affirme que le nombre de mains possibles est égal à $32\times 31\times 30\times
29\times 28$. Qu'en pensez-vous? Corriger si nécessaire.
Zoé affirme que le probabilité que la main ne contienne aucun cœur est égale à $\dfrac
{24}{32}$. Qu'en pensez-vous? Corriger si nécessaire.
Exercice
9: Dénombrement - rangement
Sur une étagère se trouvent 12 livres différents : 5 de mathématiques, 4 de physique-chimie et 3 de
SVT.
De combien de manières différentes peut-on ranger ces livres sur l'étagère.
De combien de manières différentes peut-on ranger ces livres sur l'étagère en ayant les
livres de mathématiques côte à côte ?
Exercice
10
Dénombrement - Loto Joker Quinté
Un joueur se demande ce qu'il en coûte de jouer tous les résultats possibles d'un jeu de hasard afin
d'être sûr de gagner. Il s'intéresse au loto, au Joker et au Quinté.
Au Loto, il s'agit d'un tirage au hasard de 6 nombres parmi 49. Un même nombre ne peut être
tiré plusieurs fois et l'ordre n'est pas pris en compte. Le prix d'une grille de loto est de
2 euros.
Au Joker, il s'agit d'un tirage successifs de 7 chiffres au hasard parmi les chiffres de 0 à
9. Un même chiffre peut être tiré plusieurs fois. Un jeu coûte 1 euro.
Au Quinté, on s'intéresse à l'arrivée dans l'ordre des 5 premiers chevaux d'une course
comportant 18 partants. Le prix d'un pari est de 1,5 euro.
Exercice
11: Dénombrement et géométrie
Dans la figure ci-dessous, les droites $\mathscr{D_1}$, $\mathscr{D_2}$, $\mathscr{D_3}$ et
$\mathscr{D_4}$ sont parallèles. De plus, les droites $\mathscr{D'_1}$, $\mathscr{D '_2}$,
$\mathscr{D'_3}$, $\mathscr{D '_4}$, et $\mathscr{D'_5}$ sont parallèles.
Combien cette
figure contient-elle de parallélogramme non aplatis?
Exercice
12:
Dénombrement et déplacement sur une grille
Une araignée en A se déplace sur une toile quadrillée représentée ci-dessous. Elle veut atteindre la
mouche en M et se déplace uniquement de gauche à droite et de bas en haut.
Dénombrer tous les chemins possibles.
Dénombrer tous les chemins passant par P.
Dénombrer tous les chemins passant par P et Q.
Dénombrer tous les chemins passant par P ou Q.
Exercice
13:
Dénombrement et Python
Écrire un programme en Python qui génère les permutations d'une liste par 2 méthodes
Exercice
14: Dénombrement et Python
Écrire un programme en Python qui affiche pour un entier $n$ donné la liste des coefficients
$\displaystyle\binom{n}{k}$ à l'aide de la
relation de Pascal.
Exercice
15: Dénombrement et rangement
On dispose de trois tiroirs pour ranger cinq pulls différents. Chaque tiroir peut contenir les cinq
pulls.
De combien de façons peut-on réaliser le rangement?
Combien y-a-t-il de rangements possibles pour lesquels aucun tiroir ne reste vide?
Exercice
16:
Dénombrement et anagramme - Nathan Hyperbole exercice 31 chapitre 2
Lorsqu'on permute les lettres d'un mot, on obtient une anagramme de ce mot.
On s'intéresse aux anagrammes du mot DIJON sans tenir compte de la signification ou non.
Combien y-a-t-il de telles anagrammes ?
Combien de ces anagrammes commencent par la lettre D ?
Combien de ces anagrammes commencent par une consonne ?
Combien de ces anagrammes commencent par une voyelle et finissent par une consomme ?
Exercice
17:
Dénombrement et anagramme
Lorsqu'on permute les lettres d'un mot, on obtient une anagramme de ce mot. Dénombrer les
anagrammes de SOPHIE, GASPARD puis ANANAS.
Exercice
18: Dénombrement et Poker Nathan hyperbole 45 chapitre 2 Terminale
spécialité maths
Au poker, on utilise un jeu de $52$ cartes : $13$ valeurs (de l'as au $10$, puis valet, dame, roi)
en quatre familles
(cœur, carreau, pique, trèfle). Une main est un ensemble de $5$ cartes différentes.
Combien de mains différentes peut recevoir un joueur ?
Une couleur est une main constituée de $5$ cartes de la même famille.
Combien y a-t-il de mains de ce type en coeur ?
Combien y a-t-il de mains de ce type en tout ?
Un carré est une main composée de $4$ cartes de la même valeur et d'une cinquième carte
quelconque.
En considérant la cinquième carte, déterminer combien de carrés présentent le numéro
$10$ répété $4$ fois ?
Combien y a-t-il de carrés en tout ?
Exercice
19:
Dénombrement et Poker
Au poker, on utilise un jeu de $52$ cartes :
$13$ valeurs (de l'as au $10$, puis valet, dame, roi)
en quatre familles (cœur, carreau, pique, trèfle).
Une main est un ensemble de $5$ cartes différentes.
À l'aide de la calculatrice, retrouver les résultats présentés dans le tableau ci-contre.
Main
Combinaisons
Quinte flush
40
Carré
624
Full
3 744
Couleur
5 108
Quinte
10 200
Brelan
54 912
Deux paires
123 552
Paire
1 098 240
Carte haute
1 302 540
Total
2 598 960
Exercice
20: Dénombrement et jeton sur une grille
Sur un damier carré de cinq cases sur cinq, on pose au hasard cinq jetons indiscernables sur cinq
cases différentes. Quelle est la probabilité de chacun des événements suivants:
un jeton exactement est placé par ligne et par colonne
Aucun jeton n'est sur une diagonale
Une colonne au moins est vide
Ce site ne convient pas aux enfants de moins de 36 mois, sauf s'ils insistent vraiment.
Ne pas dépasser la dose prescrite.
Posologie: 1 fois/jour la semaine avant le contrôle.
L'efficacité du traitement dépend d'une prise régulière.
Effet secondaire: Peut procurer du plaisir surtout en cas de réussite !
En cas de persistance des difficultés, arrêter le traitement pendant une nuit, puis reprendre le
lendemain.