Dénombrement - Principe additif et multiplicatif

Définition Un ensemble est un regroupement d'objets distincts Les accolades $\{...\}$ indiquent que l'on a affaire à un ensemble Il n'y a pas d'ordre dans un ensemble Il n'y a pas de répétition dans un ensemble Un ensemble fini est un ensemble contenant un nombre fini d'éléments $\varnothing$ désigne l' ensemble vide, c'est à dire ne contenant aucun élément.

Définition On appelle

partie d'un ensemble

$\rm E$, un sous-ensemble de $\rm E$

Définition $\in$ s'utilise pour dire qu'un élément appartient à un ensemble. $a\in {\rm E}$ signifie que l'élément $a$ appartient à l'ensemble ${\rm E}$ Définition $\subset$ s'utilise pour dire qu'un ensemble est inclus dans un ensemble. Dire $\rm F\subset E$ signifie que l'ensemble $\rm F$ est inclus dans l'ensemble $\rm E$ Méthode très classique Pour montrer que deux ensembles $\rm A$ et $\rm B$ sont égaux, on montre que $\rm A\subset B$ puis que $\rm B\subset A$

Définition Soit $\rm E$ un ensemble. $\mathscr{P}({\rm E})$ désigne l'

ensemble des parties

de $\rm E$ Propriété Si $\rm E$ contient $n$ éléments alors le nombre de parties de $\rm E$ est $2^n$ + vidéo!

Définition Dénombrer, c'est compter le nombre d' éléments d'un ensemble.
Exemple Soit $\rm A=\{2;3;8\}$.

Définition Soit $\rm A$ un ensemble fini. Le cardinal de $\rm A$ noté $\text{Card}({\rm A})$ désigne le nombre d'éléments de $\rm A$ Exemple Soit A={2;3;8}

Définition

L'intersection des ensembles $\rm A$ et $\rm B$

notée $\rm A \cap B$ désigne l'ensemble des éléments qui sont à la fois dans $\rm A$ et $\rm B$ Exemple Soit $\rm A=\{2;3;8\}$ et $\rm B=\{1;2;8;15\}$

Définition

La réunion des ensembles $\rm A$ et $\rm B$

notée $\rm A \cup B$ désigne l'ensemble des éléments qui sont dans A ou B, c'est à dire dans au moins A ou B. Exemple Soit $\rm A=\{2;3;8\}$ et $\rm B=\{1;2;8;15\}$. Déterminer $\rm A \cup B$

Définition Soit $\rm A$ une partie d'un ensemble $\rm E$.

Le complémentaire de $\rm A$ dans $\rm E$

noté $\overline{\rm A}$ désigne l'ensemble des éléments de $\rm E$ qui ne sont pas dans $\rm A$ Propriété $\text{Card}(\overline{\rm A})$

Définition

Deux ensembles sont disjoints

lorsque leur intersection est vide, autrement lorsqu'ils n'ont aucun élément commun. Autrement dit, $\rm A$ et $\rm B$ sont disjoints lorsque $\rm A\cap B=\varnothing$ Exemple Soient $\rm A=\{2;3;8\}$, $\rm B=\{1;2;8;15\}$ et $\rm C=\{3;5;10\}$. Indiquer si $\rm A$ et $\rm B$ sont disjoints puis $\rm B$ et $\rm C$

Propriété Soient $\rm A$ et $\rm B$ deux ensembles finis. $\rm \text{Card}(A\cup B)=\text{Card}(A)+\text{Card}(B)-\text{Card}(A\cap B)$ Dans le cas particulier où $\rm A$ et $\rm B$ sont disjoints: $\rm \text{Card}(A\cup B)=\text{Card}(A)+\text{Card}(B)$ Cette propriété s'appelle le principe additif.
Exemple Soit A={2;3;8} et B={1;2;8;15}. Déterminer le cardinal de $\rm A\cup B$

Définition Soient $\rm E$ et $\rm F$ deux ensembles. Le produit cartésien de $\rm E$ et $\rm F$ noté $\rm E\times F$ est l'ensemble des couples $(x;y)$ où $x$ appartient à $\rm E$ et $y$ appartient à $\rm F$ Écrit mathématiquement: ${\rm E}\times {\rm F}=\{(x;y) ~|~ x\in {\rm E},~ y\in {\rm F}\}$
$\rm E\times E$ se note $\rm E^2$

PropriétéSoient $\rm E$ et $\rm F$ deux ensembles finis. $\rm \text{Card}(E\times F)=\text{Card}(E)\times \text{Card}(F)$

Propriété Soit $\rm E$ un ensemble à $n$ éléments. $\rm E$ possède $2^n$ parties