Contrôle : Milieu & Longueur - Exercices Seconde

Sur cette page, je vous propose une série d'exercices de géométrie spécialement conçus pour les élèves de Seconde afin de réussir votre prochain contrôle sur la formule du milieu et la formule de la longueur avec les coordonnées. À travers des situations variées — parallélogrammes, cercles, médiatrices, intersections avec les axes, triangles — vous pourrez vous entraîner, consolider vos méthodes et vérifier votre compréhension. Idéal pour s'entraîner efficacement et arriver en confiance le jour du contrôle !

Vous utiliserez les deux formules indispensables du chapitre :

• La formule du milieu

: Pour deux points ${\rm A}(x_{\rm A};y_{\rm A})$ et ${\rm B}(x_{\rm B};y_{\rm B})$, le milieu $\rm I$ du segment $\rm [AB]$ a pour coordonnées : $${\rm I}\left(\frac{x_A+x_B}{2} \,;\, \frac{y_A+y_B}{2}\right)$$

• La formule de la longueur

: la distance entre deux points ${\rm A}(x_{\rm A};y_{\rm A})$ et ${\rm B}(x_{\rm B};y_{\rm B})$ est $${{\rm AB}=\sqrt{(x_{\rm B}-x_{\rm A})^2+(y_{\rm B}-y_{\rm A})^2}}$$

Exercice 1: Formule Milieu et longueur pour savoir si ABCD est un parallélogramme, rectangle, losange, carré

Dans un repère orthonormé, on considère les points $\rm A(-2;-3)$, $\rm B(10;-1)$, $\rm C(8;11)$ et $\rm D(-4;9)$.

$\rm ABCD$ est-il un parallélogramme ?
$\rm ABCD$ est-il un rectangle ?
$\rm ABCD$ est-il un losange ?
$\rm ABCD$ est-il un carré ?

Exercice 2: Formule Milieu et longueur & parallélogramme

Dans un repère, on considère les points $\rm A(-2;4)$, $\rm B(10;-1)$ et $\rm C(9;6)$.
Déterminer les coordonnées du point $\rm D$ tel que $\rm ACBD$ soit un parallélogramme.

Exercice 3: Formule Milieu et longueur & cercle

Dans un repère orthonormé, on considère les points $\rm A(-2;4)$, $\rm B(2;1)$ et $\rm C(-3;-1)$.
On note $\mathscr{C}$ le cercle de centre $\rm A$ passant par $\rm B$.

Déterminer le rayon du cercle $\mathscr{C}$.
Le point $\rm C$ appartient-il $\mathscr{C}$?
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $(x+2)^2=9$.
En déduire les coordonnées de(s) point(s) d'intersection de $\mathscr{C}$ avec l'axe des abscisses.

Exercice 4: Formule Milieu et longueur & médiatrice

Dans un repère orthonormé, on considère les points $\rm A(-3;1)$, $\rm B(4;2)$ et $\rm C(1;-2)$.
On note $\mathscr{D}$ la médiatrice du segment $\rm [AB]$.

$\rm C$ appartient-il $\mathscr{D}$ ?
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation : $9+(y-1)^2=16+(y-2)^2$.
En déduire les coordonnées de(s) point(s) d'intersection de $\mathscr{D}$ avec l'axe des ordonnées.

Exercice 5: Formule Milieu et longueur & cercle

Dans un repère orthonormé $\rm (O;I;J)$, on considère le point $\rm A(-5;2)$.
Un point $\rm M$ d'ordonnée $4$ appartient au cercle $\mathscr{C}$ de centre $\rm A$ passant par $\rm I$.

Construire les points $\rm M$ possibles.
Déterminer par le calcul les coordonnées des points $\rm M$ possibles.

Exercice 6: Formule Milieu et longueur & triangle isocèle

Dans un repère orthonormé, on considère les points $\rm A(6;8)$ et $\rm B(11;2)$.
Le but de l'exercice est de savoir s'il existe des points $\rm M$ appartenant à l'axe des ordonnées tels le triangle $\rm ABM$ soit isocèle en $\rm A$.

Résoudre le problème graphiquement.
Résoudre l'équation $(y-8)^2=25$.
Résoudre le problème par le calcul.

Exercice 7: Formule Milieu et longueur & coordonnées

Dans un repère orthonormé $\rm (O;I;J)$, on considère les points $\rm A(-5;2)$ et $\rm B(2;y)$.
Déterminer les valeurs de $y$ dans les cas suivants :

$\rm AB=7$
$\rm AB=7\sqrt 2$
$\rm OA=OB$
$\rm B$ appartient à la médiatrice du segment $\rm [IJ]$.

Exercice 8: Formule Milieu et longueur & hauteur d'un triangle

Dans un repère orthonormé, on considère les points $\rm A(7;5)$, $\rm B(12;-5)$ et $\rm C(-1;1)$.

Montrer que le triangle $\rm ABC$ est rectangle.
Soit $\rm H$ le pied de la hauteur issue de $\rm A$ dans le triangle $\rm ABC$. En exprimant l'aire du triangle $\rm ABC$ de deux façons, calculer la longueur $\rm AH$.