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Diagonalisation d'un endomorphisme, d'une matrice

Conseils
Exercice type

pour savoir diagonaliser une matrice

Exercice 1: matrice diagonalisable - polynôme caractéristique - déterminant - valeurs propres - sous-espaces propres

Les matrices suivantes de $\mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ sont-elles diagonalisables? Justifier.
${\rm A}=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0& 4 & 5\\ 0&0&6 \end{pmatrix}$
${\rm B}=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 4\\ 0& 1 & 3\\ 0&0&2 \end{pmatrix}$
${\rm C}=\begin{pmatrix} 0 & -1 & 0\\ 1& 0 & 0\\ 0&2&-1 \end{pmatrix}$
${\rm D}=\begin{pmatrix} 0 & -2 & 0\\ -2& 0 & 0\\ 0&0&2 \end{pmatrix}$

Exercice 2: matrice diagonalisable - polynôme caractéristique - déterminant - rang - trace

Soit ${\rm A}=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 1\\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}\in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})$.
Dire si $\rm A$ est-elle diagonalisable ?
  1. à l'aide du déterminant.
  2. à l'aide du rang.

Exercice 3: matrice diagonalisation - polynôme caractéristique - valeur propre - sous-espaces propres

Pour chacune des matrices suivantes:
${\rm A}=\begin{pmatrix} 2 & -1 & 1\\ -1& 2 & -1\\ -1&1&0 \end{pmatrix}$
${\rm B}=\begin{pmatrix} 3 & 2 & 6\\ 2& 1 & 4\\ -2&0&-3 \end{pmatrix}$
  1. Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de la matrice. On donnera une base de chaque sous-espace propre.
  2. Dire si la matrice est diagonalisable ou pas.

Exercice 4: diagonaliser une matrice + application pour calculer A^n

Soit ${\rm A}=\begin{pmatrix} 4 & 1 & -1\\ 2 & 5 & -2\\ 1 &1 &2 \end{pmatrix}$
  1. Diagonaliser la matrice $\rm A$.
  2. En déduire pour tout entier naturel $n$, une expression de ${\rm A}^n$.

Exercice 5: matrice diagonalisable - polynôme caractéristique - déterminant - rang - trace

On considère une matrice ${\rm A}\in \mathscr{M}_n{(\mathbb{R})}$ telle que ${\rm A}^3=-4{\rm A}+5{\rm I}_n$ et $1$ n'est pas valeur propre de $\rm A$.
  1. ${\rm A}$ est-elle diagonalisable dans $\mathscr{M}_n{(\mathbb{R})}$?
  2. Justifier que ${\rm A}$ est inversible puis donner son inverse.
  3. Déterminer un polynôme annulateur de ${\rm A}$ de degré $2$.
  4. En déduire une autre expression de l'inverse de ${\rm A}$.
  5. Démontrer par $2$ méthodes que $n$ est pair.
  6. Déterminer la trace et le déterminant de $\rm A$ en fonction de $n$.

Exercice 6: Théorème spectral démonstration matrice de taille 2 - polynôme caractéristique - déterminant

Démontrer que toute matrice symétrique réelle de taille $2$ est diagonalisable.

Exercice 7: matrice diagonalisation par bloc - Oraux CCINP polynôme caractéristique - déterminant

Soit ${\rm A}\in {\mathscr{M}}_3(\mathbb{R})$ diagonalisable telle que $\textbf{dim}(\textbf{Ker}({\rm A}))=2$.
Soit ${\rm B}=\begin{pmatrix} \alpha {\rm A} & \beta {\rm A} \\ \gamma {\rm A} & 0 \end{pmatrix}$ avec $\alpha+\beta=\gamma$ et $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ non nuls.
  1. Montrer que : $\chi_{B}=\chi_{\gamma {\rm A}}\times \chi_{-\beta {\rm A}}$
  2. Démontrer que $\textbf{dim}(\textbf{Ker}({\rm B}))=2~\textbf{dim}(\textbf{Ker}({\rm A}))$
  3. Justifier que pour $\alpha=-1$, $\beta=3$, $\rm B$ est diagonalisable puis la diagonaliser.

Exercice 8: diagonalisation simultanée • sous-espaces stables

Soient $u$ et $v$ deux endomorphismes d'un $\mathbb{K}$-espace vectoriel E de dimension finie.
  1. Démontrer que si $u$ et $v$ commutent alors les sous-espaces propres de $u$ sont stables par $v$.
  2. Soit ${\rm F}\ne\{0\}$ un sous-espace vectoriel de E stable par $u$. Démontrer que si $u$ est diagonalisable alors $u_{|\rm F}$ est aussi diagonalisable.
  3. Démontrer que si $u$ et $v$ sont diagonalisables et $u\circ v=v\circ u$ alors il existe une base de E dans laquelle les matrices de $u$ et $v$ sont simultanément diagonales.


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