Espace vectoriel & sous-espace vectoriel

Les parties suivantes sont-elles des sous-espaces vectoriels de $\mathbb{R}^2$?
${\rm E_1}=\{(x,~y)\in \mathbb{R}^2 ~ | ~ x\leqslant y\}$
${\rm E_2}=\{(x,~y)\in \mathbb{R}^2 ~ | ~ x= y\}$
${\rm E_3}=\{(x,~y)\in \mathbb{R}^2 ~ | ~ x y=0\}$
${\rm E_4}=\{(x,~y)\in \mathbb{R}^2 ~ | ~ x+ y=1\}$

1. Donner deux sous-espaces vectoriels de $\mathbb{R}^2$ dont la réunion n'est pas un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^2$.
2. Soit $\rm E$ un espace vectoriel. Soient $\rm F$ et $\rm G$ deux sous-espaces vectoriels de $\rm E$.
   Démontrer que $\rm F\cup G$ est un sous-espace vectoriel de $\rm E$ si et seulement si $\rm F \subset G$ ou $\rm G \subset F$.

Les parties suivantes sont-elles des sous-espaces vectoriels de $\mathbb{R}^3$?
${\rm E_1}=\{(x,~y,~z)\in \mathbb{R}^3 ~ | ~ x-y+z=0\}$
${\rm E_2}=\{(x,~y,~z)\in \mathbb{R}^3 ~ | ~ x-y+z=1\}$
${\rm E_3}=\{(x,~y,~z)\in \mathbb{R}^3 ~ | ~ x^2-y^2=0\}$

Les parties suivantes sont-elles des sous-espaces vectoriels de $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ ?
${\rm E_1}=\left\{ (u_n)\in\mathbb{R}^{\mathbb{N}} \, | \, (u_n) \, \text{est arithmétique}\right\}$
${\rm E_2}=\left\{ (u_n)\in\mathbb{R}^{\mathbb{N}} \, | \, (u_n) \, \text{est géométrique}\right\}$
${\rm E_3}=\left\{(u_n)\in\mathbb{R}^{\mathbb{N}} \, | \, (u_n) \, \text{est monotone}\right\}$

Les parties suivantes sont-elles des sous-espaces vectoriels de $\mathbb{R}[X]$ ?
${\rm E_1} = \{P \in \mathbb{R}[X] ~;~ \deg (P) \leqslant 2\}$
${\rm E_2} = \{P \in \mathbb{R}[X] ~;~ \deg (P) = 2\}$

Déterminer si les ensembles suivants sont des sous-espaces vectoriels d'espaces vectoriels que l'on précisera:
$E_1 = \{f \in \mathscr{F}(\mathbb{R},\mathbb{R}) ~|~ f(0)=0\}$
$E_2= \{y \in \mathcal{C}^1(\mathbb{R},\mathbb{R}) ~|~ y'+a(x)y=0\}$ où $a \in \mathcal{C}^0(\mathbb{R},\mathbb{R})$
$E_3= \{y \in \mathcal{C}^1(\mathbb{R},\mathbb{R}) ~|~ y'+a(x)y=x\}$ où $a \in \mathcal{C}^0(\mathbb{R},\mathbb{R})$

Déterminer si les ensembles suivants sont des sous-espaces vectoriels d'espaces vectoriels que l'on précisera:
$E_1 = \left\{f \in \mathcal{C}^0([a~;~b]~,~\mathbb{R}) ~|~ \displaystyle \int_a^b f(x) \mathrm{d}x = 0\right\}$
$E_2 = \{(x~;~y) \in \mathbb{R}^2 ~|~ x^2+y^2 \leqslant 1\}$
$E_3 = \{(u_n) \in \mathbb{R}^\mathbb{N} ~|~ \forall n \in \mathbb{N},\, u_{n+2} = nu_{n+1} + u_n\}$