L'objectif de cet exercice est de calculer la puissance d'une matrice par
deux méthodes complètement différentes
:
Soit
${\rm A}=\begin{pmatrix}
4 & 1 & -1\\
2 & 5 & -2\\
1 &1 &2
\end{pmatrix}$
Méthode 1
: à l'aide de la diagonalisation
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Diagonaliser la matrice $\rm A$.
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En déduire pour tout entier naturel $n$, une expression de ${\rm A}^n$.
Méthode 2
: à l'aide d'un polynôme annulateur et de la division euclidienne
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Vérifier que $\rm X^2-8X+15$ est un polynôme annulateur de $\rm A$.
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En déduire pour tout entier naturel $n$, une expression de ${\rm A}^n$.
