Suite géométrique - Exercices et problèmes plus difficiles

Sophie a placé 250€ à sa banque à intérêt composé de 7% par an.
Les intérêts sont calculés chaque année sur le montant disponible en banque et sont ajoutés au capital.
Sophie ne fait ni retrait, ni dépôt supplémentaire. On note $(s_n)$ la somme d'argent au bout de $n$ années.

1. Exprimer $s_n$ en fonction $n$.
2. Déterminer le montant dont dispose Sophie au bout de 5 années. Arrondir à l'euro prés.
3. A l'aide d'une calculatrice, déterminer au bout de combien d'années, le placement aura doublé.

On a obtenu avec un tableur les termes consécutifs d'une suite $(u_n)$.
Les valeurs ont été arrondies au cent-millième.

1. Conjecturer l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.
2. Quelle formule a-t-on écrite dans la cellule A2 puis copiée vers le bas pour obtenir les termes de la suite.

On considère une suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1} = 3u_n - 8$ et $u_0 = 6$.

1. Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
2. La suite $(u_n)$ est-elle arithmétique ? Géométrique ?
3. On pose pour tout entier naturel $n$, $v_n = u_n - 4$.
   1. Calculer $v_0$, $v_1$, $v_2$ et $v_3$.
   2. Montrer que la suite $(v_n)$ est géométrique.
   3. Exprimer pour tout entier naturel $n$, $v_n$ en fonction de $n$.
4. En déduire $u_n$ en fonction de $n$ pour tout entier naturel $n$.

On considère une suite géométrique $(u_n)$ à termes strictement positifs.
On sait que $u_0 = 4$ et que $u_1 + u_2 = 15$. Déterminer $u_6$.

$(u_n)$ est une suite arithmétique de raison $r$ et de premier terme $u_0$. On considère la suite $(v_n)$ définie pour tout entier naturel $n$, par $v_n=2^{u_n}$.
Démontrer que $(v_n)$ est géométrique. Préciser le premier terme et la raison.

Une balle est lâchée sur le sol d'une hauteur de 1,5 mètre. On note $h_n$ sa hauteur en mètres après $n$ rebonds. On pose donc $h_0 = 1,5$. On suppose que la balle rebondit toujours à 80% de la hauteur du précédent rebond.

1. Vérifier que $h_2 = 0,96$.
2. Exprimer pour tout entier naturel $n$, $h_{n+1}$ en fonction de $h_n$. Quelle est la nature de la suite $(h_n)$?
3. Exprimer $h_n$ en fonction de $n$ pour tout entier naturel $n$.
4. On estime maintenant que la balle ne rebondit plus lorsque la hauteur du rebond ne dépasse pas 0,5 cm. A l'aide de la calculatrice, déterminer le nombre de rebonds effectués par la balle.

On considère la suite $(u_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ par $u_{n+1} = \dfrac{1}{2}\sqrt{u_n^2+12}$ et $u_0 = 0$.

1. Montrer que $u_1 = \sqrt{3}$ et $u_2 = \dfrac{\sqrt{15}}{2}$.
2. On pose pour tout $n \in \mathbb{N}, v_n = u_n^2-4$.
   1. Calculer $v_0$, $v_1$ et $v_2$.
   2. Montrer que la suite $(v_n)$ est géométrique.
   3. Exprimer pour tout $n \in \mathbb{N}$, $v_n$ en fonction de $n$.
   4. En déduire $u_n$ en fonction de $n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
3. En déduire $u_n$ en fonction de $n$ pour tout entier naturel $n$.

On considère les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ définies pour tout entier naturel $n$ par $\begin{cases} u_0 =32 \quad \text{et} \quad v_0 =18 \\ u_{n+1} = 0,8 u_n+ 0,3 v_n \\ v_{n+1} = 0,2 u_n + 0,7v_n \end{cases}$

1. Calculer $u_1$ et $v_1$.
2. On pose pour tout entier naturel $n$, $s_n = u_n + v_n$ et $t_n = -2u_n + 3v_n$.
   1. Justifier par un calcul que la suite $(s_n)$ est constante et donner cette constante.
   2. Démontrer que la suite $(t_n)$ est une suite géométrique.
   3. Exprimer alors $t_n$ en fonction de $n$ pour tout entier $n$.
3. Déduire de la question précédente les expressions de $u_n$ et de $v_n$ en fonction de $n$.
4. En déduire les limites des suites $(u_n)$ et $(v_n)$.

Soit la suite \(u\) définie sur \(\mathbb{N}\) par \(u_0=1\) et pour tout entier naturel \(n\), $u_{n+1}=2+\dfrac{3}{u_n}$
On admet que pour tout entier naturel $n$, $u_n\gt 0$.
L'objectif du problème est d'exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\) puis de trouver la limite de \((u_n)\).

1. On a tracé la courbe de la fonction \(f\) définie sur \(]0;+\infty[\) par $f(x)=2+\dfrac3x$
   
2. Déterminer graphiquement puis par le calcul, \(u_1\), \(u_2\), \(u_3\).
3. Quelles conjectures peut-on faire concernant le sens de variation, et la limite de cette suite \((u_n)\).
4. On considère la suite \((v_n)\) définie pour tout entier naturel \(n\) par $v_n=\dfrac{u_n-3}{u_n+1}$
   1. Déterminer par le calcul les 4 premiers termes de la suite \((v_n)\).
   2. La suite $v$ semble-t-elle arithmétique? Géométrique?
   3. Démontrer votre conjecture.
   4. Exprimer \(v_n\) en fonction de \(n\). En déduire l'expression de \(u_n\) en fonction de \(n\).
   5. En déduire la limite de la suite \((u_n)\).

Pour tout entier naturel $n$, on note :
    • $c_n$ le nombre de côtés de la figure $\mathscr{F}_n$ ;
    • $l_n$ la longueur d'un côté de la figure $\mathscr{F}_n$ ;
    • $p_n$ le périmètre de la figure $\mathscr{F}_n$.

1. Exprimer $c_{n+1}$ en fonction de $c_n$ puis en déduire $c_n$ en fonction de $n$.
2. Exprimer $l_{n+1}$ en fonction de $l_n$ puis en déduire $l_n$ en fonction de $n$ sachant que $l_0 = 1$.
3. En déduire $p_n$ en fonction de $n$.
4. Le flocon de von Koch est la figure obtenue quand $n$ tend vers l'infini. Que dire de son périmètre ?

1. $(u_n)$ est une suite géométrique où aucun terme n'est nul et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+2}=u_n$.
   Que peut-on dire de la raison?
2. $(u_n)$ est une suite géométrique où aucun terme n'est nul et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+2}=u_{n+1}+u_n$.
   Que peut-on dire de la raison?

Soit la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$, par $\left\{ \begin{array}{l} u_0 = 5 \\ u_{n+1}=\dfrac12 u_n-2 \end{array} \right.$

1. Tracer la courbe de la fonction $f:x\mapsto \dfrac12 x-2$.
   Représenter graphiquement les quatre premiers termes de la suite $(u_n)$.
2. Quel semble être le sens de variation de $(u_n)$? $(u_n)$ semble-t-elle avoir une limite?
3. On considère la $(v_n)$ définie pour tout entier naturel $n$, par $v_n=u_n+4$.
   Démontrer que $(v_n)$ est une suite géométrique dont précisera la raison.
4. Exprimer pour tout entier naturel $n$, $v_n$ puis $u_n$ en fonction de $n$.
5. Démontrer les conjectures faites à la question 2)