Exercice
1:
Somme et Raisonnement par récurrence
Démontrer que pour tout entier $n\geqslant 1$, $1^2+2^2+3^2+...+n^2$$=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
Exercice
2:
arithmétique divisibilité et Raisonnement par récurrence
Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $7^n-1$ est divisible par 6.
Exercice
3:
Erreur classique avec le Raisonnement par récurrence
Pour tout entier naturel \(n\), on considère les deux propriétés suivantes:
\(P_n: 10^n-1\) est divisible par 9.
\(Q_n: 10^n+1\) est divisible par 9.
- Démontrer que si \(P_n\) est vraie alors \(P_{n+1}\) est vraie.
- Démontrer que si \(Q_n\) est vraie alors \(Q_{n+1}\) est vraie.
-
Un élève affirme: " Donc \(P_n\) et \(Q_n\) sont vraies pour tout entier naturel
\(n\)".
Expliquer pourquoi il commet une erreur grave.
- Démontrer que \(P_n\) est vraie pour tout entier naturel \(n\).
- Démontrer que pour tout entier naturel $n$, \(Q_n\) est fausse. On pourra utiliser un
raisonnement par l'absurde.
Exercice
4:
Raisonnement par récurrence & inégalité
Démontrer que pour tout entier $n\geqslant 4$, $2^n\geqslant n^2$.
Exercice
5:
Inégalité de Bernoulli - prépa MPSI PCSI
Soit $x$ un réel positif.
Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $(1+x)^n\ge 1+nx$.
Exercice
6:
Inégalité, trigonométrie et récurrence - prépa MPSI PCSI
Montrer que pour tout $ n\in \mathbb{N}$, pour tout $x\in\mathbb{R}$, $|\sin(nx)|\leqslant n|\sin(x)|$.
Exercice
7:
Récurrence double - prépa MPSI PCSI
On considère la suite $(u_n)$ définie par:
$\begin{cases}
u_0=u_1=-1 \\
\forall n\in\mathbb{N},~ u_{n+2} =5u_{n+1}-6u_n
\end{cases}$.
Démontrer que: $\forall n\in \mathbb{N},~ u_n=3^n-2^{n+1}$.
Exercice
8:
Récurrence double & inégalité - prépa MPSI PCSI
On considère la suite $(u_n)$ définie par: $\begin{cases}
u_0=u_1=1 \\
\forall n\in\mathbb{N}^*,~ u_{n+1} =u_n+\dfrac 2{n+1}u_{n-1}
\end{cases}$.
Démontrer que: $\forall n\in \mathbb{N}^*,~ 1\leqslant u_n\leqslant n^2$.
Exercice
9:
Récurrence forte - prépa MPSI PCSI CPGE
On considère la suite $(u_n)$ définie par:
$\begin{cases}
u_0=1 \\
\forall n\in\mathbb{N},~ u_{n+1} =\displaystyle\sum_{k=0}^{n} u_k
\end{cases}$.
Démontrer que: $\forall n\in \mathbb{N}^*,~ u_n=2^{n-1}$.
Exercice
10:
Récurrence forte - prépa MPSI PCSI CPGE
Soit $x$ un réel tel que $x+\dfrac 1x$ soit un entier relatif.
Montrer que pour tout entier $n\geqslant 1$, $x^n+\dfrac 1{x^n}$ est aussi un entier relatif.
