Raisonnement par récurrence simple, double et forte

Démontrer que pour tout entier $n\geqslant 1$, $1^2+2^2+3^2+...+n^2$$=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $7^n-1$ est divisible par 6.

Pour tout entier naturel \(n\), on considère les deux propriétés suivantes:
\(P_n: 10^n-1\) est divisible par 9.
\(Q_n: 10^n+1\) est divisible par 9.

• Démontrer que si \(P_n\) est vraie alors \(P_{n+1}\) est vraie.
• Démontrer que si \(Q_n\) est vraie alors \(Q_{n+1}\) est vraie.
• Un élève affirme: " Donc \(P_n\) et \(Q_n\) sont vraies pour tout entier naturel \(n\)".
  Expliquer pourquoi il commet une erreur grave.
• Démontrer que \(P_n\) est vraie pour tout entier naturel \(n\).
• Démontrer que pour tout entier naturel $n$, \(Q_n\) est fausse. On pourra utiliser un raisonnement par l'absurde.

Démontrer que pour tout entier $n\geqslant 4$, $2^n\geqslant n^2$.

Soit $x$ un réel positif.
Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $(1+x)^n\ge 1+nx$.

Montrer que pour tout $ n\in \mathbb{N}$, pour tout $x\in\mathbb{R}$, $|\sin(nx)|\leqslant n|\sin(x)|$.

On considère la suite $(u_n)$ définie par: $\begin{cases} u_0=u_1=-1 \\ \forall n\in\mathbb{N},~ u_{n+2} =5u_{n+1}-6u_n \end{cases}$.
Démontrer que: $\forall n\in \mathbb{N},~ u_n=3^n-2^{n+1}$.

On considère la suite $(u_n)$ définie par: $\begin{cases} u_0=u_1=1 \\ \forall n\in\mathbb{N}^*,~ u_{n+1} =u_n+\dfrac 2{n+1}u_{n-1} \end{cases}$.
Démontrer que: $\forall n\in \mathbb{N}^*,~ 1\leqslant u_n\leqslant n^2$.

On considère la suite $(u_n)$ définie par: $\begin{cases} u_0=1 \\ \forall n\in\mathbb{N},~ u_{n+1} =\displaystyle\sum_{k=0}^{n} u_k \end{cases}$.
Démontrer que: $\forall n\in \mathbb{N}^*,~ u_n=2^{n-1}$.

Soit $x$ un réel tel que $x+\dfrac 1x$ soit un entier relatif. Montrer que pour tout entier $n\geqslant 1$, $x^n+\dfrac 1{x^n}$ est aussi un entier relatif.