Produit scalaire

Conseils

Calculer un produit scalaire

Cours

Les 6 techniques pour calculer un produit scalaire & réussir les exercices

Les 6 techniques pour calculer un produit scalaire

• Avec des vecteurs colinéaires

♦ Si les vecteurs sont colinéaires et de même sens

♦ Si les vecteurs sont colinéaires et de sens opposé

• Avec un angle

• Avec un repère

•

Avec une figure où il y a des angles droits

• Avec 3 longueurs

• Avec un projeté orthogonal

Important

Conseil

Avec un carré ou un rectangle, penser à introduire un repère ♦ C'est très efficace !

Une erreur à ne pas faire

Fais varier les vecteurs et observe

Exercice 1: Les 6 techniques pour calculer un produit scalaires - première spé maths

Dans chaque cas, calculer le produit scalaire $\overrightarrow{\rm AB}\cdot \overrightarrow{\rm AC}$:

$\color{red}{\textbf{a. }} $

$\color{red}{\textbf{b. }} $

$\color{red}{\textbf{c. }} $

$\color{red}{\textbf{d. }} $

$\color{red}{\textbf{e. }} $

$\color{red}{\textbf{f. }} $

Exercice 2: Calculer un produit scalaire avec un repère / décomposition - première spé maths

$\rm ABCD$ est un rectangle.

Calculer le produit scalaire $ \overrightarrow{\rm IB}\cdot \overrightarrow{\rm CA}$ à l'aide:

$\color{red}{\textbf{a. }}$ d'un repère bien choisi $\color{red}{\textbf{b. }} $ de décompositions

Exercice 3: Calculer un produit scalaire - première spé maths

$\rm ABCD$ est un carré de côté $2$. $\rm BEC$ est un triangle équilatéral.

À l'aide d'un projeté orthogonal, déterminer les produits scalaires suivants:

$\color{red}{\textbf{a. }} \overrightarrow{\rm CD}\cdot \overrightarrow{\rm CA}$ $\color{red}{\textbf{b. }} \overrightarrow{\rm BE}\cdot \overrightarrow{\rm BC}$ $\color{red}{\textbf{c. }} \overrightarrow{\rm CO}\cdot \overrightarrow{\rm AD}$

Exercice 4: Produit scalaire et projeté - Première spé maths

On considère cette figure où B, H et C sont alignés:

Déterminer le produit scalaire $\rm \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$

Exercice 5: Calculer un produit scalaire - première spé maths

$\rm ABCD$ est un carré de centre $\rm O$ et côté $2$.

Calculer les produits scalaires suivants:

$\color{red}{\textbf{a. }} \overrightarrow{\rm AB}\cdot \overrightarrow{\rm CD}$ $\color{red}{\textbf{b. }} \overrightarrow{\rm AB}\cdot \overrightarrow{\rm BD}$ $\color{red}{\textbf{c. }} \overrightarrow{\rm CB}\cdot \overrightarrow{\rm AO}$ $\color{red}{\textbf{d. }} \overrightarrow{\rm OA}\cdot \overrightarrow{\rm OB}$

Exercice 6: Calculer un produit scalaire - première spé maths

$\rm ABCD$ est un carré de côté $4$.

Calculer les produits scalaires suivants:

$\color{red}{\textbf{a. }} \overrightarrow{\rm CE}\cdot \overrightarrow{\rm CB}$ $\color{red}{\textbf{b. }} \overrightarrow{\rm EB}\cdot \overrightarrow{\rm EC}$ $\color{red}{\textbf{c. }} \overrightarrow{\rm CD}\cdot \overrightarrow{\rm EC}$ $\color{red}{\textbf{d. }} \overrightarrow{\rm CD}\cdot \overrightarrow{\rm CA}$

Exercice 7: Calculer un produit scalaire - première spé maths

$\rm ABCD$ est un losange de côté $2$ et $\rm BD=2$.

Calculer les produits scalaires suivants:

$\color{red}{\textbf{a. }} \overrightarrow{\rm DB}\cdot \overrightarrow{\rm CA}$ $\color{red}{\textbf{b. }} \overrightarrow{\rm CD}\cdot \overrightarrow{\rm AB}$ $\color{red}{\textbf{c. }} \overrightarrow{\rm CA}\cdot \overrightarrow{\rm DC}$ $\color{red}{\textbf{d. }} \overrightarrow{\rm BD}\cdot \overrightarrow{\rm DA}$ $\color{red}{\textbf{d. }} \overrightarrow{\rm BD}\cdot \overrightarrow{\rm DB}$ $\color{red}{\textbf{d. }} \overrightarrow{\rm DC}\cdot \overrightarrow{\rm AD}$

Exercice 8: calculer un produit scalaire avec les normes - première spé maths

Dans un repère orthonormé, on considère deux vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ tels que $||\vec u||=2$ et $||\vec v||=5$ et $(\vec u ;\vec v)=\dfrac{5\pi}6$. Calculer:

$\color{red}{\textbf{a. }} \vec u\cdot \vec v$ $\color{red}{\textbf{b. }} (\vec v-\vec u)(\vec u+3\vec v)$ $\color{red}{\textbf{c. }} ||\vec u+\vec v||$ $\color{red}{\textbf{d. }} ||\vec u-2\vec v||$

Exercice 9: Calculer un produit scalaire de deux façons différentes - Première spé mathématiques

$\rm ABCD$ est un rectangle. $\rm AD=6$ et $\rm DC=8$. $\rm I$ est le milieu de $\rm [AB]$ et $\rm J$ celui de $\rm [BC]$.

A l'aide d'un repère bien choisi, calculer $\overrightarrow{\rm DI}\cdot \overrightarrow{\rm DJ}$
Sans utiliser de coordonnées, calculer $\overrightarrow{\rm DI}\cdot \overrightarrow{\rm DJ}$.

Exercice 10: Inégalité de Cauchy-Schwarz - Première spé maths

Soit $\vec u$ et $\vec v$ deux vecteurs.

Démontrer l'inégalité suivante appelée "Inégalité de Cauchy-Schwarz": $|\vec u \cdot \vec v|\leqslant ||\vec u||\times ||\vec v||$.
Démontrer qu'il y a égalité si et seulement si $\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires.

Exercice 11: Produit scalaire et MA.MB - Première spé maths

Démontrer que pour tout point M du plan: $\rm \overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=MI^2-\dfrac 14 AB^2$
En déduire l'ensemble des point M tels que $\rm \overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=0$