Qu'est-ce que le produit scalaire ?

Le produit scalaire est une opération entre deux vecteurs qui donne un nombre réel. Il y a plusieurs techniques pour le calculer : avec le cosinus, avec les coordonnées, avec une décomposition ou avec des longueurs.

Comment calculer un produit scalaire avec le cosinus ?

On utilise la formule u·v = |u| × |v| × cos(θ), c'est-à-dire le produit des normes multiplié par le cosinus de l'angle entre les deux vecteurs.

Comment calculer un produit scalaire avec les coordonnées ?

Si u = (x, y) et v = (x', y'), alors u·v = xx' + yy'. Par exemple, si u = (2, 3) et v = (4, 1), alors u·v = 2x4 + 3x1 = 11.

Comment calculer un produit scalaire avec une décomposition ?

On décompose chaque vecteur à l'aide des angles droit de la figure, puis on applique la distributivité.

Comment calculer un produit scalaire avec les longueurs ?

Dans un triangle ABC, si le produit scalaire recherché est AB·AC, on peut utiliser la formule AB·AC = 0,5(AB² + AC² - BC²).

Produit scalaire en Première spécialité maths : définition, formules et exercices corrigés

Conseils

Le produit scalaire est une notion essentielle en première spécialité maths. Il permet de calculer des angles, des longueurs et de résoudre de nombreux exercices. Dans ce cours, tu vas apprendre les différentes formules du produit scalaire, les méthodes de calcul et t'entraîner avec des exercices corrigés.

📌 Première difficulté : connaître les différentes méthodes pour calculer un produit scalaire
📌 Deuxième difficulté : choisir la bonne méthode selon la situation !

👉 Clique sur les ampoules pour afficher les explications du cours 👇

📘 Produit scalaire : Cours - méthodes de calcul, propriétés et applications

📌 Le produit scalaire se note avec un point : $\vec{u} \cdot \vec{v}$ (et surtout pas avec une croix comme une multiplication classique).
On utilise donc :
👉 le symbole $\boldsymbol{\color{red}\cdot}$ pour le produit scalaire
👉 le symbole $\boldsymbol{\color{red}\times}$ pour multiplier des nombres ou des longueurs

⚠️ Attention : le résultat d'un produit scalaire est un nombre (un réel), pas un vecteur !

📌 Quelle méthode choisir ?

👉 repère orthonormé → coordonnées
👉 vecteur orthogonaux → produit scalaire = 0
👉 angle connu → cosinus
👉 triangle avec 3 longueurs → formule avec BC²
👉 rectangle / carré → introduit un repère
👉 points alignés → colinéarité
👉 cherche une projection simple sur le schéma → projeté orthogonal

📺 Tout le cours est expliqué en vidéo et tu trouveras aussi de nombreux exercices corrigés en vidéo pour t'entraîner 💪

👉 Voici les principales méthodes à connaître pour calculer un produit scalaire :

📺 6 techniques pour calculer un produit scalaire & réussir les exercices 👇

1) Avec des vecteurs colinéaires

Si les vecteurs sont colinéaires même sens :
$\overrightarrow{\rm AB}\cdot \overrightarrow{\rm AC}=\rm AB\times AC$
Quand les vecteurs sont colinéaires de même sens, on multiplie juste des longueurs, donc le résultat est positif.

Exemple
Dans la situation ci-dessous, calculer $\overrightarrow{\rm AB}\cdot \overrightarrow{\rm AC}$

Les vecteurs sont colinéaires de même sens donc :
$\overrightarrow{\rm AB}\cdot \overrightarrow{\rm AC} =\rm AB \times AC =2\times 5 =10$
Si les vecteurs sont colinéaires de sens opposé :
$\overrightarrow{\rm AB}\cdot \overrightarrow{\rm AC}=-\rm AB\times AC$
Quand les vecteurs sont colinéaires de sens opposé, on multiplie juste des longueurs avec un moins devant, donc le résultat est négatif.

Exemple
Dans la situation ci-dessous, calculer $\overrightarrow{\rm AB}\cdot \overrightarrow{\rm AC}$

Les vecteurs sont colinéaires de sens opposé donc :
$\overrightarrow{\rm AB}\cdot \overrightarrow{\rm AC} =-\rm AB \times AC = -2\times 5 =-10$

2) Avec le cosinus
$\overrightarrow{\rm AB}\cdot \overrightarrow{\rm AC}=\rm AB\times AC\times \cos (\alpha)$

Exemple : $\rm AB=3$, $\rm AC=4$ et $\alpha=\dfrac {\pi}3$

📌 Conséquence très importante de la formule avec le cosinus :
Si deux vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ sont orthogonaux alors leur produit scalaire est nul $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 0$

3) Avec les coordonnées (dans un repère orthonormé)
$\vec{u} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ et $\vec{v} = \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}$ alors $\displaystyle \vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy'$

Exemple : Soit $\vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ et $\vec{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$. Calculer $\vec{u}\cdot \vec{v}$

4) Avec une décomposition
On décompose les vecteurs à l'aide de la relation de Chasles en utilisant des angles droits de la figure puis on développe.

Exemple : Calculer $\rm \overrightarrow{JB}\cdot \overrightarrow{JC}$ à partir la figure ci-dessous

5) Avec les longueurs (dans un triangle)
$\overrightarrow{\rm AB}\cdot \overrightarrow{\rm AC}=\rm \dfrac12(AB^2+AC^2-BC^2)$

Exemple : Calculer $\overrightarrow{\rm AB}\cdot \overrightarrow{\rm AC}$ à partir de la figure ci-dessous

6) Avec un projeté orthogonal
On projette $\rm \overrightarrow{AC}$ orthogonalement sur $\rm \overrightarrow{AB}$ ou l'inverse

$\rm \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AH}$

📌 Ne pas oublier qu'il y a deux possibilités pour projeter : soit le premier vecteur sur le second soit l'inverse !

💡 Conseil important :
Si la figure contient un rectangle ou un carré, pense à introduire un repère orthonormal → c’est souvent la méthode la plus rapide !

🎯 Objectif : savoir choisir la bonne méthode pour calculer efficacement un produit scalaire.

Fais varier les vecteurs et observe le produit scalaire

✏️ Exercices produit scalaire : calculs, méthodes et erreurs à éviter (Première spé maths)

Exercice 1: Les 6 techniques pour calculer un produit scalaire - première spé maths

Dans chaque cas, calculer le produit scalaire $\overrightarrow{\rm AB}\cdot \overrightarrow{\rm AC}$:

$\color{red}{\textbf{a. }} $

$\color{red}{\textbf{b. }} $

$\color{red}{\textbf{c. }} $

$\color{red}{\textbf{d. }} $

$\color{red}{\textbf{e. }} $

$\color{red}{\textbf{f. }} $

Exercice 2: Calculer un produit scalaire avec un repère / décomposition - première spé maths

$\rm ABCD$ est un rectangle.

Calculer le produit scalaire $ \overrightarrow{\rm IB}\cdot \overrightarrow{\rm CA}$ à l'aide:

$\color{red}{\textbf{a. }}$ d'un repère bien choisi $\color{red}{\textbf{b. }} $ de décompositions

Exercice 3: Calculer un produit scalaire - première spé maths

$\rm ABCD$ est un carré de côté $2$. $\rm BEC$ est un triangle équilatéral.

À l'aide d'un projeté orthogonal, déterminer les produits scalaires suivants:

$\color{red}{\textbf{a. }} \overrightarrow{\rm CD}\cdot \overrightarrow{\rm CA}$ $\color{red}{\textbf{b. }} \overrightarrow{\rm BE}\cdot \overrightarrow{\rm BC}$ $\color{red}{\textbf{c. }} \overrightarrow{\rm CO}\cdot \overrightarrow{\rm AD}$

Exercice 4: Produit scalaire et projeté - Première spé maths

On considère cette figure où B, H et C sont alignés:

Déterminer le produit scalaire $\rm \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$

Exercice 5: Calculer un produit scalaire - première spé maths

$\rm ABCD$ est un carré de centre $\rm O$ et côté $2$.

Calculer les produits scalaires suivants:

$\color{red}{\textbf{a. }} \overrightarrow{\rm AB}\cdot \overrightarrow{\rm CD}$ $\color{red}{\textbf{b. }} \overrightarrow{\rm AB}\cdot \overrightarrow{\rm BD}$ $\color{red}{\textbf{c. }} \overrightarrow{\rm CB}\cdot \overrightarrow{\rm AO}$ $\color{red}{\textbf{d. }} \overrightarrow{\rm OA}\cdot \overrightarrow{\rm OB}$

Exercice 6: Calculer un produit scalaire - première spé maths

$\rm ABCD$ est un carré de côté $4$.

Calculer les produits scalaires suivants:

$\color{red}{\textbf{a. }} \overrightarrow{\rm CE}\cdot \overrightarrow{\rm CB}$ $\color{red}{\textbf{b. }} \overrightarrow{\rm EB}\cdot \overrightarrow{\rm EC}$ $\color{red}{\textbf{c. }} \overrightarrow{\rm CD}\cdot \overrightarrow{\rm EC}$ $\color{red}{\textbf{d. }} \overrightarrow{\rm CD}\cdot \overrightarrow{\rm CA}$

Exercice 7: Calculer un produit scalaire - première spé maths

$\rm ABCD$ est un losange de côté $2$ et $\rm BD=2$.

Calculer les produits scalaires suivants:

$\color{red}{\textbf{a. }} \overrightarrow{\rm DB}\cdot \overrightarrow{\rm CA}$ $\color{red}{\textbf{b. }} \overrightarrow{\rm CD}\cdot \overrightarrow{\rm AB}$ $\color{red}{\textbf{c. }} \overrightarrow{\rm CA}\cdot \overrightarrow{\rm DC}$ $\color{red}{\textbf{d. }} \overrightarrow{\rm BD}\cdot \overrightarrow{\rm DA}$ $\color{red}{\textbf{d. }} \overrightarrow{\rm BD}\cdot \overrightarrow{\rm DB}$ $\color{red}{\textbf{d. }} \overrightarrow{\rm DC}\cdot \overrightarrow{\rm AD}$

Exercice 8: calculer un produit scalaire avec les normes - première spé maths

Dans un repère orthonormé, on considère deux vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ tels que $||\vec u||=2$ et $||\vec v||=5$ et $(\vec u ;\vec v)=\dfrac{5\pi}6$. Calculer:

$\color{red}{\textbf{a. }} \vec u\cdot \vec v$ $\color{red}{\textbf{b. }} (\vec v-\vec u)(\vec u+3\vec v)$ $\color{red}{\textbf{c. }} ||\vec u+\vec v||$ $\color{red}{\textbf{d. }} ||\vec u-2\vec v||$

Exercice 9: Calculer un produit scalaire de deux façons différentes - Première spé mathématiques

$\rm ABCD$ est un rectangle. $\rm AD=6$ et $\rm DC=8$. $\rm I$ est le milieu de $\rm [AB]$ et $\rm J$ celui de $\rm [BC]$.

A l'aide d'un repère bien choisi, calculer $\overrightarrow{\rm DI}\cdot \overrightarrow{\rm DJ}$
Sans utiliser de coordonnées, calculer $\overrightarrow{\rm DI}\cdot \overrightarrow{\rm DJ}$.

Exercice 10: Inégalité de Cauchy-Schwarz - Première spé maths

Soit $\vec u$ et $\vec v$ deux vecteurs.

Démontrer l'inégalité suivante appelée "Inégalité de Cauchy-Schwarz": $|\vec u \cdot \vec v|\leqslant ||\vec u||\times ||\vec v||$.
Démontrer qu'il y a égalité si et seulement si $\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires.

Exercice 11: Produit scalaire et MA.MB - Première spé maths

Démontrer que pour tout point M du plan: $\rm \overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=MI^2-\dfrac 14 AB^2$
En déduire l'ensemble des point M tels que $\rm \overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=0$

Produit scalaire en Première spécialité maths : définition et méthodes de calcul

📘 Produit scalaire : Cours - méthodes de calcul, propriétés et applications

✏️ Exercices produit scalaire : calculs, méthodes et erreurs à éviter (Première spé maths)

Exercice 1: Les 6 techniques pour calculer un produit scalaire - première spé maths

Exercice 2: Calculer un produit scalaire avec un repère / décomposition - première spé maths

Exercice 3: Calculer un produit scalaire - première spé maths

Exercice 4: Produit scalaire et projeté - Première spé maths

Exercice 5: Calculer un produit scalaire - première spé maths

Exercice 6: Calculer un produit scalaire - première spé maths

Exercice 7: Calculer un produit scalaire - première spé maths

Exercice 8: calculer un produit scalaire avec les normes - première spé maths

Exercice 9: Calculer un produit scalaire de deux façons différentes - Première spé mathématiques

Exercice 10: Inégalité de Cauchy-Schwarz - Première spé maths

Exercice 11: Produit scalaire et MA.MB - Première spé maths

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