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Produit scalaire en Première spé maths
définition, formules et exercices

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Conseils
Calculer un produit scalaire

Le produit scalaire est un outil fondamental en mathématiques, utilisé pour calculer des angles, des longueurs et des projections entre vecteurs. Dans cette page, nous allons voir comment calculer le produit scalaire, comprendre ses formules et ses propriétés, et découvrir des exercices corrigés sur le produit scalaire pour mieux maîtriser ce concept. Que vous soyez en Première spé maths ou simplement curieux, cette page vous guidera pas à pas pour tout savoir sur le produit scalaire.

Cours

Les 6 techniques pour calculer un produit scalaire & réussir les exercices

Les 6 techniques pour calculer un produit scalaire
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Calculer un produit scalaire avec des vecteurs colinéaires
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Calculer un produit scalaire avec le cosinus (un angle)
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Calculer un produit scalaire avec un repère et des coordonnées
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Calculer un produit scalaire avec une figure où il y a des angles droits

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Calculer un produit scalaire avec des longueurs
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Calculer un produit scalaire avec un projeté orthogonal
Conseil Avec un carré ou un rectangle, penser à introduire un repère ♦ C'est très efficace !
Une erreur à ne pas faire quand on écrit un produit scalaire
Fais varier les vecteurs et observe le produit scalaire

Exercice 1: Les 6 techniques pour calculer un produit scalaire - première spé maths

Dans chaque cas, calculer le produit scalaire $\overrightarrow{\rm AB}\cdot \overrightarrow{\rm AC}$:
$\color{red}{\textbf{a. }} $ $\color{red}{\textbf{b. }} $ $\color{red}{\textbf{c. }} $ $\color{red}{\textbf{d. }} $ $\color{red}{\textbf{e. }} $ $\color{red}{\textbf{f. }} $

Exercice 2: Calculer un produit scalaire avec un repère / décomposition - première spé maths

$\rm ABCD$ est un rectangle.
Calculer le produit scalaire $ \overrightarrow{\rm IB}\cdot \overrightarrow{\rm CA}$ à l'aide:
$\color{red}{\textbf{a. }}$ d'un repère bien choisi $\color{red}{\textbf{b. }} $ de décompositions

Exercice 3: Calculer un produit scalaire - première spé maths

$\rm ABCD$ est un carré de côté $2$. $\rm BEC$ est un triangle équilatéral.
À l'aide d'un projeté orthogonal, déterminer les produits scalaires suivants:
$\color{red}{\textbf{a. }} \overrightarrow{\rm CD}\cdot \overrightarrow{\rm CA}$ $\color{red}{\textbf{b. }} \overrightarrow{\rm BE}\cdot \overrightarrow{\rm BC}$ $\color{red}{\textbf{c. }} \overrightarrow{\rm CO}\cdot \overrightarrow{\rm AD}$

Exercice 4: Produit scalaire et projeté - Première spé maths

On considère cette figure où B, H et C sont alignés:
Déterminer le produit scalaire $\rm \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$

Exercice 5: Calculer un produit scalaire - première spé maths

$\rm ABCD$ est un carré de centre $\rm O$ et côté $2$.

Calculer les produits scalaires suivants:
$\color{red}{\textbf{a. }} \overrightarrow{\rm AB}\cdot \overrightarrow{\rm CD}$ $\color{red}{\textbf{b. }} \overrightarrow{\rm AB}\cdot \overrightarrow{\rm BD}$ $\color{red}{\textbf{c. }} \overrightarrow{\rm CB}\cdot \overrightarrow{\rm AO}$ $\color{red}{\textbf{d. }} \overrightarrow{\rm OA}\cdot \overrightarrow{\rm OB}$

Exercice 6: Calculer un produit scalaire - première spé maths

$\rm ABCD$ est un carré de côté $4$.

Calculer les produits scalaires suivants:
$\color{red}{\textbf{a. }} \overrightarrow{\rm CE}\cdot \overrightarrow{\rm CB}$ $\color{red}{\textbf{b. }} \overrightarrow{\rm EB}\cdot \overrightarrow{\rm EC}$ $\color{red}{\textbf{c. }} \overrightarrow{\rm CD}\cdot \overrightarrow{\rm EC}$ $\color{red}{\textbf{d. }} \overrightarrow{\rm CD}\cdot \overrightarrow{\rm CA}$

Exercice 7: Calculer un produit scalaire - première spé maths

$\rm ABCD$ est un losange de côté $2$ et $\rm BD=2$.

Calculer les produits scalaires suivants:
$\color{red}{\textbf{a. }} \overrightarrow{\rm DB}\cdot \overrightarrow{\rm CA}$ $\color{red}{\textbf{b. }} \overrightarrow{\rm CD}\cdot \overrightarrow{\rm AB}$ $\color{red}{\textbf{c. }} \overrightarrow{\rm CA}\cdot \overrightarrow{\rm DC}$ $\color{red}{\textbf{d. }} \overrightarrow{\rm BD}\cdot \overrightarrow{\rm DA}$ $\color{red}{\textbf{d. }} \overrightarrow{\rm BD}\cdot \overrightarrow{\rm DB}$ $\color{red}{\textbf{d. }} \overrightarrow{\rm DC}\cdot \overrightarrow{\rm AD}$

Exercice 8: calculer un produit scalaire avec les normes - première spé maths

Dans un repère orthonormé, on considère deux vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ tels que $||\vec u||=2$ et $||\vec v||=5$ et $(\vec u ;\vec v)=\dfrac{5\pi}6$. Calculer:
$\color{red}{\textbf{a. }} \vec u\cdot \vec v$ $\color{red}{\textbf{b. }} (\vec v-\vec u)(\vec u+3\vec v)$ $\color{red}{\textbf{c. }} ||\vec u+\vec v||$ $\color{red}{\textbf{d. }} ||\vec u-2\vec v||$

Exercice 9: Calculer un produit scalaire de deux façons différentes - Première spé mathématiques

$\rm ABCD$ est un rectangle. $\rm AD=6$ et $\rm DC=8$. $\rm I$ est le milieu de $\rm [AB]$ et $\rm J$ celui de $\rm [BC]$.
  1. A l'aide d'un repère bien choisi, calculer $\overrightarrow{\rm DI}\cdot \overrightarrow{\rm DJ}$
  2. Sans utiliser de coordonnées, calculer $\overrightarrow{\rm DI}\cdot \overrightarrow{\rm DJ}$.

Exercice 10: Inégalité de Cauchy-Schwarz - Première spé maths

Soit $\vec u$ et $\vec v$ deux vecteurs.
  1. Démontrer l'inégalité suivante appelée "Inégalité de Cauchy-Schwarz": $|\vec u \cdot \vec v|\leqslant ||\vec u||\times ||\vec v||$.
  2. Démontrer qu'il y a égalité si et seulement si $\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires.

Exercice 11: Produit scalaire et MA.MB - Première spé maths

  1. Démontrer que pour tout point M du plan: $\rm \overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=MI^2-\dfrac 14 AB^2$
  2. En déduire l'ensemble des point M tels que $\rm \overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=0$

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