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Spé maths

Utiliser le produit scalaire pour démontrer que des droites sont perpendiculaires

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Conseils
Montrer que des droites sont perpendiculaires à l'aide du produit scalaire
Exercice type

Montrer que des droites sont perpendiculaires avec le produit scalaire

Pour montrer que $(\rm AB)$ et $\rm (CD)$ sont perpendiculaires

Exercice 1: Produit scalaire pour montrer que des droites sont perpendiculaires - première spé maths

$\rm ABCD$ est un carré de côté $1$. $\rm I$ est le milieu de $\rm [BC]$ et $\rm J$ celui de $\rm [AB]$.
Démontrer que $\rm (AI)$ et $\rm (DJ)$ sont perpendiculaires:
  1. à l'aide d'un repère.
  2. sans utiliser de repère.

Exercice 2: produit scalaire & droites perpendiculaires - première spécialité mathématiques

ABCD est un carré. BJC est un triangle équilatéral. F est le milieu de [BC].
  1. Déterminer la longueur FJ.
  2. Les droites (IC) et (DJ) sont-elles perpendiculaires ? Justifier.

Exercice 3: Utiliser un produit scalaire pour montrer que des droites sont perpendiculaires - première spé maths

$\rm ABCD$ et $\rm AEFG$ sont des carrés.
Démontrer que les droites $\rm (AI)$ et $\rm (ED)$ sont perpendiculaires.

Exercice 4: Utiliser un produit scalaire pour savoir quand des droites sont perpendiculaires - première spécialité mathématiques

$\rm ABCD$ est un rectangle. $\rm AB=5$ et $\rm AD=3$. $\rm E$ est un point de $\rm [DC]$.
Où placer le point $\rm E$ sur $\rm [DC]$ pour que les droites $\rm (AE)$ et $\rm (BD)$
soient perpendiculaires ?

Exercice 5: Utiliser un produit scalaire pour montrer que des droites sont perpendiculaires - première spécialité mathématiques

Sur la figure ci-contre, $\rm ABCD$ est un carré. $\rm E$ est un point de $\rm [AB]$ et $F$ un point de $\rm [AD]$ tel que $\rm AE = AF$. $\rm G$ est le milieu de $\rm [DE]$.
Montrer que $(AG)$ et $(BF)$ sont perpendiculaires.

Exercice 6: Hauteurs d'un triangle concourantes à l'aide du produit scalaire - première spécialité mathématiques

Le but de cet exercice est de montrer que les hauteurs d'un triangle sont concourantes.
Soit $\rm ABC$ un triangle.
  1. Démontrer que pour tout point $M$ du plan, on a : $\overrightarrow{\rm AM}\cdot \overrightarrow{\rm BC} +\overrightarrow{\rm BM}\cdot \overrightarrow{\rm CA} + \overrightarrow{\rm CM}\cdot \overrightarrow{\rm AB} = 0$
  2. Soit $\rm H$ le point d'intersection des hauteurs du triangle $\rm ABC$ issues de $\rm A$ et $\rm B$.
    Démontrer à l'aide de l'égalité précédente que la troisième hauteur passe aussi par le point $\rm H$ et conclure.

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