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spé 1ère

Dérivation & Tableau de variations - Niveau 3 - Avec un quotient / fraction

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Conseils
Exercice type

pour savoir faire un tableau de variations avec des quotients (u/v)
• Méthode pour faire un tableau de variations
• Exemple Étudier les variations de la fonction définie sur sur $]0;+\infty[$ par $f(x)=x+\dfrac 1x$
Exercice 1:

Dérivée & tableau de variations avec 1/x (quotient/fraction) - première spécialité mathématiques

Dans chaque cas, étudier les variations de la fonction à l'aide de la dérivation:
\( \color{red}{\textbf{a. }} f(x) = x-\dfrac 1x\) sur $]-\infty;0[\cup]0;+\infty[$ $\color{red}{\textbf{b. }} f(x) = x+\dfrac 1x$ sur $]-\infty;0[\cup]0;+\infty[$ $\color{red}{\textbf{c. }} f(x) = \dfrac {x^2}{x+2}$ sur $]-\infty;-2[\cup]-2;+\infty[$
Exercice 2:

Dérivée & tableau de variations avec 1/x (quotient/fraction) - première spécialité mathématiques

Étudier les variations de la fonction définie sur $\mathbb{R}^*$ par $f(x)=2x+\dfrac 6x$.
Exercice 3:

Dérivée & tableau de variations u/v (quotient) - première spécialité mathématiques

Dans chaque cas, étudier les variations de la fonction à l'aide de la dérivation:
$ \color{red}{\textbf{a. }} f(x) = \dfrac {3-2x}{x-5}$ sur $]-\infty;5[\cup]5;+\infty[$ $\color{red}{\textbf{b. }} f(x) = \dfrac {10x}{x^2+9}$ sur $\mathbb{R}$
Exercice 4:

Dérivée & tableau de variations u/v (quotient) - première spécialité mathématiques

Dans chaque cas, étudier les variations de la fonction à l'aide de la dérivation:
$ \color{red}{\textbf{a. }} f(x) = \dfrac {x^2}{x+2}$ sur $]-\infty;-2[\cup]-2;+\infty[$ $ \color{red}{\textbf{b. }} f(x) = \dfrac {x^2+3x}{x-1}$ sur $]-\infty;1[\cup]1;+\infty[$
Exercice 5:

Dérivée & tableau de variations u/v (quotient) - première spécialité mathématiques

Étudier les variations de la fonction $f$ définie sur $]-\infty;-1[\cup]-1;+\infty[$ par $f(x) = x+2-\dfrac {3}{x+1}$ à l'aide de la dérivation.
Exercice 6:

Dérivée & tableau de variations u/v (quotient) - première spécialité mathématiques

Dans chaque cas, étudier les variations de la fonction à l'aide de la dérivation:
$\color{red}{\textbf{a. }} f(x) = \dfrac {7x+5}{2x-6}$ sur $]-\infty;-2[\cup]-2;+\infty[$ $\color{red}{\textbf{b. }} f(x) = \dfrac {x^2+8x+13}{x+2}$ sur $]-\infty;-2[\cup]-2;+\infty[$
Exercice 7:

Étude des variations d'une fonction homographique - dérivation d'un quotient u/v - première spécialité mathématiques

Dans chaque cas, dresser le tableau de variations de la fonction $f$ définie sur l'ensemble indiqué $\rm I$:
$ \color{red}{\textbf{a. }} {\rm I}=\mathbb{R} \setminus \{1\}$ et $f(x) = \dfrac{x + 4}{1-x}$ $\color{red}{\textbf{b. }} {\rm I}=\mathbb{R} \setminus \{-1\}$ et $f(x) = 4x + \dfrac{1}{x+1}$
Exercice 8:

Variations d'une fonction avec une fonction auxiliaire - première spécialité mathématiques

Soit $f$ la fonction définie sur $]-4~;~+\infty[$ par $f(x) = \displaystyle{\frac{x^3-2}{x+4}}$.
  1. Vérifier que pour tout réel $x$ appartenant à $]-4~;~+\infty[$, $f'(x) = \dfrac{2x^3+12x^2+2}{(x+4)^2}$.
  2. Soit $g$ la fonction définie sur $]-4~;~+\infty[$ par $g(x) = 2x^3+12x^2+2$.
    1. Étudier les variations de $g$ et en déduire que pour tout réel $x$ appartenant à $]-4~;~+\infty[$, $g(x) >0$.
    2. En déduire les variations de $f$.

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