Fonctions : problèmes de maximum et minimum – Seconde

Un maître nageur dispose d'une corde de 160 m de longueur pour délimiter un rectangle de baignade surveillée. La corde est représentée en rouge sur le schéma ci-dessous. Il n'y a pas de corde le long du rivage.

ABCD est un carré de côté 10 cm et M est un point du segment [AB] et AMON est un carré de côté $x$.

Un pompiste vend le litre d'essence au prix de 1,20 €. Le prix d'achat est pour lui de 0,85 € le litre. Il sait qu'il peut compter sur une vente journalière de 1 000 litres et qu'à chaque baisse de 1 centime d'euro qu'il consent pour le prix du litre, il vendra 100 litres de plus par jour.
Le pompiste ne souhaite pas vendre à perte.
Soit $x$ le nombre de baisses de 1 centime d'euro qu'il consent. On note $f(x)$ le bénéfice (en euros) correspondant.

1. Expliquer pourquoi $x\in [0;35]$.
2. 1. Exprimer le prix de vente du litre en fonction de $x$.
   2. Exprimer le nombre de litres vendus par jour en fonction de $x$.
   3. En déduire que pour tout $x\in [0;35]$, $f(x)=-x^2+25x+350$
3. Montrer que pour tout $x\in [0;35]$, $f(x)=-(x-12,5)^2+506,25$
4. À quel prix doit-il vendre le litre d'essence pour faire un bénéfice maximal et quelle est la valeur de ce bénéfice maximal ?

\(\rm ABCD\) est un rectangle tel que \(\rm AB=10\) et \(\rm AD=6\).

On considère les points \(\rm M\), \(\rm N\), \(\rm P\) et \(\rm Q\) respectivement sur les segments \(\rm [AB]\), \(\rm [BC]\), \(\rm [CD]\) et \(\rm [AD]\). On note \({\rm AM}=x\).

1. Quelles sont les valeurs possibles pour $x$ ?
2. Montrer que l'aire du quadrilatère $\rm MNPQ$, en fonction de $x$, est égale à $2x^2-16x+60$.
3. Justifier que pour tout $x$ réel : $2x^2-16x+60=2(x-4)^2+28$.
4. Déterminer la position du point $\rm M$ pour que l'aire du quadrilatère $\rm MNPQ$ soit minimale et préciser la valeur de ce minimum.

On dispose d'une feuille de carton carrée de 18 cm de côté. On découpe dans chacun des quatre coins un carré de même taille. On replie ensuite les parties restantes pour fabriquer une boîte sans couvercle, en forme de pavé droit.

On note $x$ la longueur du côté des carrés découpés et $f(x)$ le volume de la boîte obtenue, en cm³.

1. À quel intervalle $\rm I$ appartient $x$ ?
2. Exprimer la longueur, la largeur et la hauteur de la boîte en fonction de $x$.
   En déduire l'expression de $f(x)$.
3. Démontrer que, pour tout $x\in {\rm I}$ : $f(x)-432=4(x-12)(x-3)^2$.
4. Déterminer la taille des carrés à découper pour obtenir une boîte de volume maximal. Préciser ce volume.