Il est important de comprendre les équations cartésienne de droite
avant d'attaquer les équations réduites de droite. Car les équations réduites de droites
sont un cas particulier d'équations cartésienne
de droite.
Seulement après, regarder la vidéo équations réduite de
droite
Faire les exercices
Seulement après regarder les démonstrations du cours
Conseils pour travailler efficacement
Conseils pour le jour du Bac
Équations réduites de droite
Cours
Les
équations réduites de droite
•
Équation réduite de droite
Propriété Dans le plan, il y a deux
familles de droites:
Les droites
parallèles à l'axe des
ordonnées
Les droites parallèles à l'axe des ordonnées
admettent une équation de la forme $\boldsymbol{x=k}$.
Les droites non
parallèles à l'axe des
ordonnées
Les droites non parallèles à l'axe des
ordonnées admettent une équation de la forme
$\boldsymbol{y=mx+p}$
Définition Cette équation
$\boldsymbol{y=mx+p}$ s'appelle l'
équation réduite de la droite. $\boldsymbol{m}$ s'appelle
le coefficient directeur de la droite. $\boldsymbol{p}$
s'appelle l'
ordonnée à l'origine de la droite.
Exemple La droite passant par les points $\rm
A(1,2)$ et $\rm B(1,-3)$
Comme les points $\rm A$ et $\rm B$ ont la même abscisse, cette droite est parallèle
à l'axe des ordonnées. Et donc cette droite admet une équation de la forme
$x=1$.
Car tous les points de cette droite ont pour abscisse $-1$. Donc une équation de
cette droite est $x=-1$.
Exemple La droite passant par les points $\rm
A(1,2)$ et $\rm B(3,-1)$
Comme les points $\rm A$ et $\rm B$ n'ont pas la même abscisse, cette droite n'est
pas parallèle à l'axe des ordonnées. Et donc cette droite admet une équation
de la forme $y=mx+p$
Pour déterminer les valeurs de $m$ et $p$, regarder la vidéo "coefficient
directeur et l'ordonnée à l'origine"
• Comment savoir si un
point appartient à une
droite
Méthode On remplace les coordonnées du point
dans l'équation de la droite. Si l'égalité est vérifiée alors le point appartient à la
droite. Sinon le point n'appartient pas à la droite.
Exemple Le point $\rm A(-5;6)$ appartient-il à
la droite $d$ d'équation $y=-2x-4$
On remplace $x$ par $-5$ dans l'équation: $-2\times (-5)-4=6$ donc le point ${\rm
A}\in d$.
Exemple Le point $\rm B(5;-15)$ appartient-il à
la droite $d$ d'équation $y=-2x-4$
On remplace $x$ par $5$ dans l'équation: $-2\times 5-4=-14\ne -15$ donc le point
${\rm B}\notin d$.
Cours
coefficient directeur
et l'
ordonnée à l'origine
• Déterminer le coefficient directeur
Propriété Soit $d$ une droite passant par les
points ${\rm A}(x_{\rm A};y_{\rm A})$ et ${\rm B}(x_{\rm B};y_{\rm B})$ avec $x_{\rm
A}\ne x_{\rm B}$ alors le coefficient directeur
de la droite est $m=\dfrac{y_{\rm B}-y_{\rm A}}{x_{\rm B}-x_{\rm A}}$
Autrement dit, $m=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$
Exemple $d$ une droite passant par les points
${\rm A(1;2)}$ et ${\rm B(5;4)}$. Déterminer le coefficient directeur de la droite $\rm
(AB)$
ou encore $m=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac 2 4=\dfrac 1 2$
• Déterminer l'ordonnée à l'origine
Méthode graphique
On cherche le point d'intersection de la droite et de l'axe des ordonnées
Méthode par le calcul
On commence par chercher $m$ puis on remplace les coordonnées d'un point de la
droite dans $y=mx+p$ puis on isole $p$.
Exemple Déterminer graphiquement l'ordonnée à
l'origine de la droite $d$ représentée dans ce repère
Déterminer graphiquement l'ordonnée à l'origine de la droite $d$ représentée dans ce
repère
La droite coupe l'axe des ordonnées en 3. Donc l'ordonnée à l'origine vaut $3$.
Exemple Déterminer par le calcul l'ordonnée à
l'origine de la droite $d$ représentée dans ce repère
Déterminer par le calcul l'ordonnée à l'origine de la droite $d$ représentée dans ce
repère
Solution
La droite n'étant pas parallèle à l'axe des ordonnées, elle admet une équation
de la forme $y=mx+p$. On cherche 2 points pratiques sur la droite. puis on détermine $\Delta x$ et $\Delta y$. Puis on déduit
$m=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac 23$. Donc la droite admet comme
équation $y=\dfrac 23x+p$. Puis on remplace les coordonnées de
$\rm A(2;1)$ dans $y=\dfrac 23x+p$. on obtient $1=\dfrac 23 \times 2+p$ donc
$p=1-\dfrac 43=-\dfrac 13$. Donc l'ordonnée à origine $p$ vaut $-\dfrac
13$.
• Déterminer une équation réduite de droite
Méthode Trouver une équation réduite de droite
revient à trouver $m$ le coefficient directeur et $p$ l'ordonnée à l'origine. Utiliser
les méthodes expliquées juste avant.
Exemple Déterminer l'équation réduite de la
droite passant par les points ${\rm A(-1;-3)}$ et ${\rm B(2;3)}$.
Solution
La droite n'étant pas parallèle à l'axe des ordonnées, elle admet une équation
de la forme $y=mx+p$. On détermine $\Delta x$ et $\Delta y$. Puis on déduit $m=\dfrac{\Delta
y}{\Delta x}=\dfrac 63=2$. Donc la droite admet comme équation
$y=2x+p$. La droite coupant l'axe des ordonnées en -1, on
déduit directement que l'ordonnée à l'origine $p=-1$. Donc l'équation réduite de
la droite est $y=2x-1$.
Exemple Déterminer l'équation réduite de la
droite passant par les points ${\rm A(2;1)}$ et ${\rm B(5;3)}$.
La droite n'étant pas parallèle à l'axe des ordonnées, elle admet une
équation de la forme $y=mx+p$. On détermine $\Delta x$ et $\Delta y$. On
déduit $m=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac 23$. Donc
la droite admet comme équation $y=\dfrac 23x+p$. Puis on remplace les
coordonnées de $\rm A(2;1)$ dans $y=\dfrac 23x+p$. on obtient $1=\dfrac 23 \times
2+p$ donc $p=1-\dfrac 43=-\dfrac 13$. Donc l'ordonnée
à origine $p$ vaut $-\dfrac 13$. Donc l'équation réduite de la droite ${\rm
(AB)}:~ y=\dfrac 23x-\dfrac 13$.
•
Droites parallèles
Propriété Deux droites sont parallèles
$\Leftrightarrow$ Leurs vecteurs directeurs sont colinéaires
Les vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires donc les droites
$d$ et $d'$ sont parallèles.
Les vecteurs $\vec u$ et $\vec w$ ne sont pas colinéaires donc les
droites $d$ et $d''$ ne sont pas parallèles et sont donc sécantes en
un point.
Comment savoir si les droites $d_1$ et
$d_2$ de vecteurs directeurs respectifs $\vec{u} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$
et $\vec{u} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}$
sont parallèles
Propriété Les droites $d_1$ et $d_2$ de
vecteurs directeurs respectifs $\vec{u} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ et
$\vec{v} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}$ sont
parallèles $\Leftrightarrow \vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires $\Leftrightarrow
\begin{vmatrix} x & x' \\ y & y' \end{vmatrix}=0$ $\Leftrightarrow xy'-yx'=0$.
Rappel $\begin{vmatrix} x & x' \\ y & y'
\end{vmatrix}$ s'appelle le déterminant des vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ et
$\begin{vmatrix} x & x' \\ y & y' \end{vmatrix}=xy'-yx'$
Comment savoir si les droites $d_1$ et
$d_2$ d'équations respectives $y=mx+p$ et $y=m'x+p'$ sont parallèles
Propriété les droites $d_1$ et $d_2$
d'équations respectives $y=mx+p$ et $y=m'x+p'$ sont parallèles $\Leftrightarrow
m=m'$.
Droites parallèles et droites sécantes
Propriété Dans le plan, deux droites sont
soit parallèles, soit sécantes.
Deux droites parallèles sont soit
strictement parallèles soit confondues.
Deux droites sécantes signifie
qu'elles se coupent en $1$ point.
Exemple
Les droites $d$ et $d'$ de vecteurs directeurs respectifs $\vec u \begin{pmatrix} 4
\\ -5 \end{pmatrix}$ et $\vec v \begin{pmatrix} -9 \\ 12 \end{pmatrix}$ sont-elles
parallèles?
Méthode On regarde si les vecteurs $\vec
u$ et $\vec v$ sont colinéaires ou pas. Pour cela on calcule leur déterminant:
Comme le déterminant ne vaut pas $0$, $\vec u$ et $\vec v$ ne sont pas
colinéaires donc les droites $d$ et $d'$ ne sont pas parallèles. Donc ces
droites sont sécantes en un point.
• Erreurs à ne pas faire
Une droite a-t-elle toujours une équation
réduite $y=mx+p$
Seule les droites non parallèles à l'axe des ordonnées admettent une équation
réduite $y=mx+p$.
Une droite parallèle à l'axe des ordonnées n'admet pas une équation de la
forme $y=mx+p$ mais une équation de la forme $x=k$.
Une droite a-t-elle toujours un coefficient
directeur et une ordonnée à l'origine
Seule les droites non parallèle à l'axe des ordonnées ont un coefficient directeur
et une ordonnée à l'origine. Cela n'a pas de sens de parler de coefficient
directeur et d'ordonnée à l'origine pour les droites
parallèles à l'axe des ordonnées.
Dit-on L'équation
cartésienne ou Une équation cartésienne
On ne dit pas L'équation cartésienne mais une équation cartésienne de la droite. Car
une même droite a une infinité d'équations cartésiennes. Par exemple, si une
droite $d$ a pour équation $3x-2y+5=0$ alors en
multipliant par exemple par 2, $d$ a aussi pour équation $6x-4y+10=0$. Donc une
droite n'a pas qu'une seule équation cartésienne.
Dit-on "l'équation
réduite ou Une équation réduite.
Si une droite a une équation réduite $y=mx+p$ alors celle-ci est unique. On dit donc
l'équation réduite de la droite.
CoursComment tracer une droite
• Si l'équation de la droite est de la forme $x=k$
Propriété Si l'équation est de la forme $x=k$
alors la droite est parallèle à l'axe des ordonnées
Exemple Tracer la droite $d$ d'équation $x=3$
• Si l'équation de la droite est de la forme
$y=mx+p$
Propriété Si l'équation de la droite est de la
forme $y=mx+p$ alors la droite n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées. De plus la
droite coupe l'axe des ordonnées en $p$. Et si
on avance de 1 unité horizontalement, on se déplace de $m$ unités verticalement.
Exemple Tracer la droite $d$ d'équation $y=3x+1$
La droite coupe l'axe des ordonnées en 1. Si on avance de 1 horizontalement, on se
déplace 3 unités verticalement.
Exercice
1:
Équation réduite de droite
Dans un repère du plan, on donne les points $\rm A(−2 ; −6)$ et $\rm B(3 ; 4)$.
Tracer la droite $\rm (AB)$.
Donner le coefficient directeur de la droite $\rm (AB)$.
Donner l’ordonnée à l'origine de la droite $\rm (AB)$.
Donner l'équation réduite de la droite $\rm (AB)$.
Le point $\rm C$ de coordonnées $(20;42)$ appartient-il à la droite $(\rm AB)$.
Exercice
2: Équation réduite de droite
Dans un repère, on considère la droite $d$ d'équation $y = 4x - 3$.
Le point $\rm A(2,5~;~7)$ appartient-il à $d$ ?
Quel point de $d$ a pour abscisse $-2$ ?
Quel point de $d$ a pour ordonnée $11$ ?
Calculer les coordonnées des points d'intersection de $d$ avec les axes du repère.
Exercice
3 Équation réduite de droite
On donne les points $\rm A(−2 ; 5)$ et $\rm B(1 ; 3)$. Déterminer l'équation réduite de la droite
$\rm (AB)$.
Exercice
4:
équation de droite et graphique
Déterminer une équation de chacune des droites de la figure en justifiant.
Exercice
5:
équation de droite et graphique
Déterminer une équation de chacune des droites de la figure en justifiant.
Exercice
6: Passer de l'équation cartésienne de droite à l'équation réduite
On considère la droite $d$ d'équation $4x + 5y - 8 = 0$.
Donner l'équation réduite de $d$.
Tracer $d$ dans un repère du plan.
Exercice
7:
Tracer des droites connaissant leur équation
Dans un repère du plan, tracer les droites suivantes dont on donne une équation :
$d_1 : y = 3x- 2$ $d_2 : y = \frac{3}{4}x$ $d_3 : y = -2$
$d_4 : x = 5$ $d_5 : y = -\frac{2}{5}x + 3 $
Exercice
8: équation réduite d'une droite parallèle à une autre
On considère la droite $d$ d'équation $y = -2x + 5$.
Déterminer l'équation réduite de la droite $d'$ passant par le point $A(-4~;~2)$ et parallèle à $d$.
Exercice
9: équation réduite de droite dépendant d'un paramètre
Soit $m$ un réel, on considère la droite ${\rm d}_m$ d'équation $y=(m-1)x-2m$.
Représenter graphiquement $\rm d_3$.
Montrer que le point de coordonnées $(2;1)$ n'appartient à aucune droite ${\rm d}_m$.
Pour quelle valeur de $m$, ${\rm d}_m$ est-elle parallèle à la droite d'équation $y=\dfrac 12 x-3$?
Montrer que toutes les droites ${\rm d}_m$ passent par un même point.
Ce site ne convient pas aux enfants de moins de 36 mois, sauf s'ils insistent vraiment.
Ne pas dépasser la dose prescrite.
Posologie: 1 fois/jour la semaine avant le contrôle.
L'efficacité du traitement dépend d'une prise régulière.
Effet secondaire: Peut procurer du plaisir surtout en cas de réussite !
En cas de persistance des difficultés, arrêter le traitement pendant une nuit, puis reprendre le
lendemain.
