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Cours et exercices corrigés en vidéo
Depuis près de 10 ans, je réalise des vidéos pédagogiques de mathématiques pour les manuels Nathan.
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Racine carrée d'un nombre réel |
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Calculer $\sqrt{a}$, c’est chercher un nombre dont le carré est $a$.
$\sqrt{ab}=\sqrt a\times\sqrt b$ pour $a\geqslant0$ et $b\geqslant0$.
$\sqrt{\dfrac ab}=\dfrac{\sqrt a}{\sqrt b}$ pour $a\geqslant0$ et $b>0$.
⚠️ En général, $\sqrt{a+b}\ne \sqrt a +\sqrt b$,
par exemple
$\underbrace{\sqrt{9+16}}_{\sqrt{25}=5}\ne \underbrace{\sqrt9+\sqrt{16}}_{3+4=7}$.
📺 REGARDE LE COURS EN VIDÉO 👇
Pour un nombre réel $a\geqslant0$, la racine carrée de $a$, notée $\sqrt a$, est le nombre positif dont le carré est $a$.
Chercher $\sqrt a$, c’est chercher un nombre positif dont le carré est $a$.
⚠️ Donc, dans $\sqrt a$ : $a$ doit être positif et on a toujours $\sqrt a\geqslant0$.
$\sqrt{36}=6$, car $6\geqslant0$ et $6^2=36$.
$\sqrt{0}=0$.
$\sqrt{1}=1$.
Connaître les carrés parfaits permet de calculer rapidement les racines carrées :
| $1^2=1$ | $2^2=4$ | $3^2=9$ |
| $4^2=16$ | $5^2=25$ | $6^2=36$ |
| $7^2=49$ | $8^2=64$ | $9^2=81$ |
| $10^2=100$ | $11^2=121$ | $12^2=144$ |
| $13^2=169$ | $14^2=196$ | $15^2=225$ |
$\sqrt{81}=9$ ; $\sqrt{144}=12$ ; $\sqrt{225}=15$.
📺 Savoir calculer une racine carrée en 3 minutes 👇
Dans $(\sqrt a)^2$, on calcule d’abord la racine, puis le carré. Il faut $a\geqslant0$.
$(\sqrt a)^2$ n’existe que si $a\geqslant0$, et on a alors $(\sqrt a)^2=a$.
Dans $\sqrt{a^2}$, on calcule d’abord le carré, puis la racine. Ici, $a$ peut être positif, négatif ou nul.
$\sqrt{a^2}$ existe que $a$ soit positif ou négatif, et on a $\sqrt{a^2}=|a|$.
Autrement dit : $\sqrt{a^2}=a$ si $a\geqslant0$ et $\sqrt{a^2}=-a$ si $a<0$.
$(\sqrt7)^2=7$.
$\sqrt{(-7)^2}=\sqrt{49}=7$.
⚠️ $(\sqrt{-7})^2$ n’a pas de sens dans $\mathbb{R}$.
Pour $a\geqslant0$ et $b\geqslant0$ :
$\sqrt{ab}=\sqrt a\times\sqrt b$.
Cette formule s’utilise dans les deux sens : pour séparer une racine ou pour regrouper deux racines.
$\sqrt{4900}=\sqrt{49\times100}=7\times10=70$.
$\sqrt3\times\sqrt{12}=\sqrt{36}=6$.
⚠️ Les deux nombres doivent être positifs ou nuls : on ne peut pas écrire $\sqrt{(-2)(-8)}=\sqrt{-2}\times\sqrt{-8}$ dans $\mathbb{R}$.
📺 Démonstration de la formule du produit 👇
Pour $a\geqslant0$ et $b>0$ :
$\sqrt{\dfrac ab}=\dfrac{\sqrt a}{\sqrt b}$.
Cette formule s’utilise aussi dans les deux sens.
$\sqrt{\dfrac{25}{49}}=\dfrac{\sqrt{25}}{\sqrt{49}}=\dfrac57$.
$\sqrt{0,49}=\sqrt{\dfrac{49}{100}}=\dfrac{\sqrt{49}}{\sqrt{100}}=\dfrac7{10}=0,7$.
$\sqrt{\dfrac{160}{9}}=\dfrac{\sqrt{16\times10}}3=\dfrac{4\sqrt{10}}3$.
$\dfrac{\sqrt{18}}{\sqrt2}=\sqrt{\dfrac{18}{2}}=\sqrt9=3$.
Pour simplifier une racine, cherche un carré parfait qui divise le nombre sous la racine.
1. Écris le nombre comme un produit contenant un carré parfait.
2. Utilise la formule de la racine d’un produit.
$\sqrt{72}=\sqrt{36\times2}=6\sqrt2$.
On obtient une écriture sous la forme $a\sqrt b$, avec $b$ entier naturel sans facteur carré autre que 1.
👉 Chercher le plus grand carré parfait possible évite plusieurs étapes.
Dans une addition ou une soustraction, on peut regrouper les termes qui ont la même racine, de la même façon qu'on le fait avec $x$.
⚠️ Mais attention, en général : $\sqrt{a+b}\ne\sqrt a+\sqrt b$.
$3\sqrt2+5\sqrt2=8\sqrt2$.
$7\sqrt3-2\sqrt3=5\sqrt3$.
⚠️ $\sqrt2+\sqrt3$ ne se regroupe pas en une seule racine !
📺 Les règles de calcul avec des racines carrées 👇
Pour encadrer une racine entre deux entiers consécutifs, cherche les deux carrés parfaits qui encadrent le nombre.
👉 La racine carrée conserve l’ordre : si $a\leqslant b$, alors $\sqrt a\leqslant\sqrt
b$
Pour $a\geqslant0$ et $b\geqslant0$, on a :
$\sqrt{a+b}\leqslant\sqrt a+\sqrt b$.
L’égalité a lieu lorsque $a=0$ ou $b=0$.
Pourquoi cette inégalité est-elle vraie ?
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