Factoriser avec a²-b² - Identité remarquable - Cours et exercices corrigés

Conseils

Factoriser une expression - Identité remarquable $a^2-b^2$

Dans la page précédente, nous avons appris à factoriser une expression avec un facteur commun.

👉 Dans cette page, nous allons découvrir une deuxième méthode de factorisation : utiliser l'identité remarquable

\[ \boxed{a^2-b^2=(a-b)(a+b)} \]

Cette méthode permet par exemple de factoriser : \[ 25-x^2,\qquad 1-4x^2,\qquad 16-(2x-1)^2. \]
👉 Factoriser, c'est transformer une somme ou une différence en un produit.

$.....\color{red}{\boldsymbol{+\;\text{ou}\;-}}.....= .....\color{red}{\boldsymbol{\times}}.....$

🎯 Objectif : savoir reconnaître une différence de deux carrés et la factoriser avec l'identité remarquable $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.

📺 Tu trouveras ici le cours en vidéo et de nombreux exercices corrigés pour t'entraîner 💪

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📺 Exercice guidé : factoriser avec $a^2-b^2$ (en 3 min !) 👇

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📺 COURS : FACTORISER AVEC L'IDENTITÉ REMARQUABLE $a^2-b^2$ 👇

🎯 Factoriser avec $a^2-b^2$ - Cours

\[ \boxed{a^2-b^2=(a-b)(a+b)} \]

💡 Cette identité remarquable permet de factoriser une différence de deux carrés.

\[ \underbrace{a^2}_{\text{un carré}} - \underbrace{b^2}_{\text{un carré}} \]

⚠️ Attention :

Ne pas confondre $a^2-b^2$ avec $(a-b)^2$.

\[ a^2-b^2=(a-b)(a+b) \] tandis que \[ (a-b)^2=(a-b)(a-b). \]

💡 Méthode pour factoriser avec $a^2-b^2$

👉 Étape 1 : Vérifier que l'expression est une différence de deux carrés.

👉 Étape 2 : Faire apparaître les deux carrés.

👉 Étape 3 : Repérer $a$ et $b$.

👉 Étape 4 : Appliquer \[ \boxed{a^2-b^2=(a-b)(a+b)}. \]

🎯 Exemples pour savoir factoriser avec $a^2-b^2$
(Clique sur pour voir la solution)

•

$25-x^2$

•

$1-4x^2$

•

$16-(2x-1)^2$

⚠️ Ne pas confondre $x^2-4$ et $x^2-4x$

Ces deux expressions se ressemblent et pourtant, on ne les factorise pas du tout de la même manière !

👉 Dans \[ x^2-4=x^2-2^2, \] on reconnaît une différence de deux carrés : on utilise l'identité remarquable \[ a^2-b^2=(a-b)(a+b). \] Ainsi : \[ x^2-4=(x-2)(x+2). \]
👉 En revanche, dans \[ x^2-4x, \] ce n'est pas une différence de deux carrés : les deux termes ont $x$ comme facteur commun. On factorise donc par $x$ : \[ x^2-4x=x(x-4). \]

🎯 Piège classique : reconnaître un carré

Pour utiliser l'identité remarquable, il faut souvent réécrire un terme sous la forme d'un carré.

\[ 4x^2=(2x)^2 \] \[ 9x^2=(3x)^2 \]

⚠️ Par exemple :

$4x^2-25=(2x)^2-5^2$
$\phantom{4x^2-25}=(2x-5)(2x+5)$

🎯 L'essentiel

📌 À retenir :

Repérer une expression de la forme $a^2-b^2$.
Faire apparaître les deux carrés.
Utiliser \[ \boxed{a^2-b^2=(a-b)(a+b)}. \]
Attention : $a^2-b^2$ ne doit pas être confondu avec $(a-b)^2$.

Exercice 1: Factoriser une expression à l'aide d'une identité remarquable a^2-b^2 - Transmath Troisième

Factoriser les expressions suivantes:

$\color{red}{\textbf{a. }} 9-x^2$ $\color{red}{\textbf{a. }} x^2-4$ $\color{red}{\textbf{b. }} 1-x^2$ $\color{red}{\textbf{c. }} 5-x^2$

Exercice 2: Factoriser une expression à l'aide d'une identité remarquable $a^2-b^2$ - Transmath Troisième

On s'intéresse à l'expression ${\rm D}=25x^2-36$.

$\rm D$ est la différence des carrés de deux nombres $a$ et $b$. Quels sont ces nombres ?
Factoriser cette expression $\rm D$.
Vérifier la factorisation en calculant de deux manières la valeur de $\rm D$ pour $x=1$.

Exercice 3: Factoriser une expression à l'aide d'une identité remarquable a^2-b^2 - Transmath Troisième

Factoriser les expressions suivantes:

$\color{red}{\textbf{a. }} x^2-9x$ $\color{red}{\textbf{b. }} x^2-9$

Exercice 4: Factoriser une expression à l'aide d'une identité remarquable a^2-b^2 - Transmath Troisième

Factoriser les expressions suivantes:

$\color{red}{\textbf{a. }} {\rm A}=x^2-1$ $\color{red}{\textbf{b. }} {\rm B}=9-x^2$ $\color{red}{\textbf{c. }} {\rm C}=x^2-8$

Exercice 5: Factoriser une expression à l'aide d'une identité remarquable a^2-b^2 - Transmath Troisième

Factoriser les expressions suivantes:

$\color{red}{\textbf{a. }} {\rm A}=4x^2-121$ $\color{red}{\textbf{b. }} {\rm B}=9x^2-64$ $\color{red}{\textbf{c. }} {\rm C}=16x^2-3$

Exercice 6: Factoriser une expression à l'aide d'une identité remarquable a^2-b^2 - Transmath Troisième

Compléter le tableau:

Forme développée	Forme factorisée
	$(2x+1)(2x-1)$
$9x^2-16$
	$(5+5x)(5-5x)$
$81x^2-100$

Exercice 7: Factoriser une expression à l'aide d'une identité remarquable a^2-b^2 - Transmath Troisième

Factoriser les expressions suivantes:

$\color{red}{\textbf{a. }} {\rm A}=x^2-100$ $\color{red}{\textbf{b. }} {\rm B}=25-4b^2$ $\color{red}{\textbf{c. }} {\rm C}=9-(x-1)^2$

Exercice 8: Factoriser une expression à l'aide d'une identité remarquable a^2-b^2 - Transmath Troisième

Factoriser les expressions suivantes:

$\color{red}{\textbf{a. }} {\rm A}=x^2-4$ $\color{red}{\textbf{b. }} {\rm B}=9x^2-4$ $\color{red}{\textbf{c. }} {\rm C}=9x^2+4$ $\color{red}{\textbf{d. }} {\rm D}=9x^2-x$

Exercice 9: identités remarquables et calcul mental - mathématiques Cinquième Quatrième Troisième collège

Calcule avec une calculatrice $21\times 19-20^2$.
Calcule avec une calculatrice $1001\times 999-1000^2$.
Quelle formule a-t-on envie de déduire? Démontre-la.

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\(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\)

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